Підставляючи значення , і r у вираз (11), одержимо відповідь

Відповідь:а = 1,65 м/c².

Приклад 4 На похилій площині, що утворює з горизонтом кут , знаходиться тіло масою = 2 кг (рис. 5). Тіло рухається вгору по похилій площині під дією зв'язаного з ним невагомою і нерозтяжною ниткою, перекинутою через блок, вантажу масою = 20 кг. Початкові швидкості тіла і вантажу дорівнюють нулю, коефіцієнт тертя тіла = 0,1. Визначити прискорення, з яким рухаються тіла, і силу натягу нитки. Блок вважати невагомим, тертям знехтувати.

исунок 5 - Тіло на похилій площині

Розв'язання. На тіло , яке рухається по похилій площині, діє сила тяжіння , сила натягу нитки , сила

тертя і сила реакції опори . На вантаж діє сила тяжіння і сила натягу нитки . Тут – прискорення вільного падіння. Другий закон Ньютона (рівняння руху) для цих тіл буде мати вигляд

, (12)

, (13)

де , - прискорення руху тіл.

Із умови невагомості і нерозтяжності нитки та відсутності тертя випливає, що , .

Виберемо для тіла систему відліку хОу так, як показано на рисунку 5. Тоді рівняння руху цього тіла в проекціях на осі х і у запишеться так

, (14)

. (15)

Із співвідношення (15) знайдемо та підставимо у рівняння (14), врахувавши, що , тоді отримаємо

, (16)

де - коефіцієнт тертя.

Рівняння руху вантажу у проекції на вертикальну вісь має вигляд

. (17)

Розв'язавши систему рівнянь (16) та (17) відносно а, після простих перетворень отримаємо

. (18)

Знаючи а, підставивши співвідношення (18) у вираз (17) знайдемо силу натягу нитки

.

Після підстановки числових значень фізичних величин отримаємо

м/c²,

=28,2 Н.

Перевіримо розмірності отриманих величин

,

.

Відповідь: 8,4 м/c², 28,2 Н.

Приклад 5 По дотичній до шківа маховика у вигляді диска діаметром D = 75 см і масою m = 40 кг прикладена сила F=1 кН (рис.6). Визначити кутове прискорення і частоту обертання n маховика через час t = 10 c після початку дії сили, якщо відстань, на якій прикладається сила (радіус шківа) дорівнює r = 12 см. Силою тертя знехтувати.

Рисунок 6 – Обертання маховика під дією сили

Розв’язання.Запишемо для маховика основне рівняння динаміки обертального руху

M = Je , Þ e = , (19)

де e - кутове прискорення маховика; І – момент інерції; М – момент прикладеної сили.

Момент інерції диска дорівнює

, (20)

де – радіус диска; - його діаметр.

Момент сили F знайдемо зі співвідношення

М=Fd =Fr, (21)

де d – плече сили.

Підставивши співвідношення (20), (21) в (19), отримаємо

. (22)

Рух під дією сталої сили є рівноприскореним. Звідси кутова швидкість диска

.

За визначенням w=2pn, де - частота обертання диска. У результаті отримаємо

,

. (23)

Підставивши числові значення величин у співвідношення (22), (23), знайдемо остаточно

рад/с²,

с^-1.

Перевіримо розмірності отриманих величин

,

.

Відповідь: e = 42,67 рад/с²; n = 67,9 с^-1.

Приклад 6 Блок, що має форму диска масою m = 0,4 кг, обертається під дією сили натягу нитки, до кінців якої підвішені тягарці масами m₁= 0,3 кг і m₂= 0,7 кг (рис.7). Визначити сили натягу T₁ і T₂ нитки з обох сторін блока.

Рисунок 7 – Рух зв’язаних тіл під дією сил

Розв’язання. Для розв’язання задачі скористаємося рівняннями обертального і поступального руху тіл. Оскільки m₂>m₁, то m₂g>T₂. Рівнодійна сил тяжіння і натягу нитки викликає рівноприскорений рух системи, при цьому обертання блока здійснюється за годинниковою стрілкою (рис.7). Для тіл, що рухаються поступально, можна записати другий закон Ньютона:

,

де - прискорення вільного падіння.

У проекціях на вісь x ці рівняння будуть мати вигляд

, (24)

х

, (25)

де - прискорення вільного падіння.

Згідно з основним рівнянням обертального руху, для блока отримаємо вираз

, (26)

де М – момент сил, прикладених до блока; J – момент інерції блока; e - кутове прискорення блока.

Визначимо обертальний момент сил. Врахуємо при цьому, що прискорення вантажів однакові . Сили натягу ниток діють не тільки на вантажі, але й на диск. За третім законом Ньютона сили і , що прикладені до блока, дорівнюють відповідно силам Т₁ і Т₂, але за напрямком протилежні їм. При русі вантажів блок прискорено обертається за годинниковою стрілкою, отже, . Для обертального моменту сил, що прикладені до блока, можна записати:

. (27)

Кутове прискорення блока пов’язане з лінійним прискоренням вантажів співвідношенням

. (28)

Підставивши вирази (26) та (28) у (27), отримаємо

. (29)

Момент інерції блока дорівнює

. (30)

Тоді

.

Після скорочення отримаємо

. (31)

Враховуючи, що , а , одержимо

. (32)

Розв’яжемо спільно систему трьох рівнянь (24), (25) і (32). З рівняння (24) а дорівнює

. (33)

Підставивши це рівняння у (25), отримаємо

або

. (34)

Підставивши дане рівняння у (32), знайдемо

. (35)

Після ряду перетворень співвідношення (35) визначимо T₁

,

(36)

Підставивши даний вираз у (34), отримаємо

. (37)

Після підстановки числових значень величин у співвідношення (36) та (37), отримаємо кінцевий результат

Н,

Н.

Зрозуміло, що одиниця вимірювання отриманих величин - ньютон.

Відповідь: Т₁=1,96 Н; Т₂=9,15 Н.

Приклад 7 Човен довжиною =3 м і масою =120 кг стоїть на спокійній воді. На носі і кормі знаходяться два рибалки масою =60 кг і =90 кг (рис.8). На скільки зміститься човен відносно води, якщо рибалки поміняються місцями?

Розв’язання. Запишемо закон збереження імпульсу для механічної системи „рибалки-човен”. Врахуємо, що в початковий момент часу система знаходилась у стані спокою, а при русі рибалок зі швидкістю u відносно човна почнеться його

рух зі швидкістю u відносно дна озера. У вибраній системі

Рисунок 8 – Зміщення човна при русі рибалок

відліку(відносно землі) закон збереження імпульсу має вигляд

. (38)

У проекції на вісь х співвідношення (38) запишеться так

.

Розв’яжемо це рівняння відносно u:

,

,

,

.

Помноживши обидві частини цього рівняння на час руху t, визначимо зміщення човна

,

але ; .

Звідси

. (39)

Після підстановки числових значень величин у співвідношення (39) знайдемо х

м.

Знак мінус свідчить про те, що переміщення відбулося в напрямку, протилежному напрямку осі x.

Відповідь: х = 0,33 м.

Приклад 8 Куля масою =1 кг рухається зі швидкістю =4 м/с і зіштовхується з кулею масою =2 кг, що рухається назустріч їй зі швидкістю =3 м/с (рис.9). Які швидкості і куль після удару? Удар вважати абсолютно пружним, прямим, центральним.

Рисунок 9 – Швидкості куль до та після пружного удару

Розв’язання.При пружному центральному ударі справедливі закони збереження імпульсу і механічної енергії. Запишемо їх для даної системи:

(40)

Спроектуємо рівняння (40) на вісь х

(41)

Розв’яжемо спільно систему рівнянь (41)

(42)

(43)

Розділивши друге співвідношення на перше, отримаємо таку систему рівнянь

. (44)

Визначивши u₁ з першого рівняння і підставивши його у друге, одержимо

. (45)

Після ряду перетворень співвідношень (45) знайдемо u₂:

. (46)

Підставивши дане рівняння у (45), отримаємо

. (47)

Підставивши числові значення величин у вирази (46) та (47), отримаємо відповідь

м/с,

м/с.

Видно, що одиниця вимірювання отриманих величин - м/с.

Відповідь: u₁= 5,33 м/с; u₂= 1,67 м/с.

Приклад 9 По горизонтальній площині котиться диск зі швидкістю = 8 м/c (рис.10). Визначити коефіцієнт опору, якщо диск зупинився, пройшовши шлях S = 18 м.

Рисунок 10 – Рух диска під дією сили тертя

Розв’язання.Для розв’язання задачі скористаємось законом збереження енергії. У точці А (рис.10) тіло має кінетичну енергію E_k, яка складається з енергії поступального та обертального руху. У точці В ця енергія дорівнює 0. Кінетична енергія витрачається на виконання роботи проти неконсервативних сил (сили тертя )

, (48)

, (49)

де - момент інерції диска; - його кутова швидкість.

Робота, що здійснюється тілом, дорівнює

А=-FS=-mmgS, (50)

де - коефіцієнт тертя.

Підставивши співвідношення (49) і (50) в (48), отримаємо

. (51)

Для диска момент інерції дорівнює

, (52)

де - радіус диска.

Кутову швидкість обертання диска знайдемо із співвідношення

. (53)

Звідси, підставивши вирази (31) і (32) у (30), отримаємо

. (54)

Після ряду перетворень це співвідношення набуде вигляду

. (55)

Із виразу (55) знайдемо m:

. (56)

Після підстановки числових значень величин у (56) отримаємо

Перевіримо одиниці отриманої величини

Відповідь: m = 0,27.

Приклад 10 Платформа у вигляді суцільного диска радіусом R=1,5 м і масою =180 кг обертається навколо вертикальної осі з частотою n =10 хв^-1. У центрі платформи стоїть людина масою = 60 кг. Яку лінійну швидкість відносно підлоги приміщення матиме людина, якщо вона перейде на край платформи (рис.11)?

Рисунок 11 – Рух системи платформа-людина до і після переміщення людини

Розв’язання. Згідно з умовою задачі, момент зовнішніх сил відносно осі обертання z, що збігається з геометричною віссю платформи, можна вважати таким, що дорівнює нулю. За цієї умови проекція моменту імпульсу системи платформа - людина залишається сталою:

(57)

де - момент інерції платформи з людиною відносно осі z; - кутова швидкість платформи.

Момент інерції системи дорівнює сумі моментів інерції тіл, що входять до складу системи, тому в початковому стані а в кінцевому стані .

З урахуванням цього співвідношення (57) набуде вигляду

(58)

де значення моментів інерції і платформи і людини відповідно відносяться до початкового стану системи; і - до кінцевого.

Момент інерції платформи відносно осі z під час переходу людини не змінюється: Момент інерції людини відносно тієї самої осі буде змінюватися. Якщо розглядати людину як матеріальну точку, то її момент інерції в початковому стані (в центрі платформи) можна вважати таким, що дорівнює нулю. В кінцевому стані (на краю платформи) момент інерції людини дорівнює . Врахуємо, що , а , де - частота обертання платформи; - швидкість людини відносно підлоги.

Підставимо у формулу (58) вирази для моментів інерції, початкової кутової швидкості обертання платформи з людиною і кінцевої кутової швидкості:

Після скорочення на і простих перетворень знаходимо швидкість

(59)

Після підстановки числових значень фізичних величин у співвідношення (59) проведемо обчислення

Перевіримо розмірність отриманої величини

Відповідь:

Приклад 11На лаві Жуковського стоїть людина і тримає в руках стрижень вертикально вздовж осі лави. Лава з людиною обертається з кутовою швидкістю w₁= 4 рад/с (рис.12). З якою швидкістю w₂ почне обертатися лава, якщо людина поверне стрижень так, що він набуде горизонтального положення. Сумарний момент інерції людини і лави J = 5 кг×м². Довжина стрижня l = 1,8 м, його маса m = 6 кг. Вважати, що центр мас стрижня з людиною знаходиться на осі платформи.

Рисунок 12 – Рух системи платформа-людина до і після зміни положення стрижня

Розв’язання.Для розв’язання задачі скористаємося законом збереження моменту імпульсу відносно осі z, навколо якої відбувається обертання:

, (60)

де J₁ та J₂ – моменти інерції системи в початковий та кінцевий моменти часу; w₁, w₂ – відповідні кутові швидкості.

Момент інерції системи дорівнює сумі моментів інерції тіл, що входять в систему:

J₁=J+J₁′, (61)

J₂=J+ J₂′, (62)

де J, J₁′, J₂– моменти інерції людини та лави до та після повороту стрижня.

Врахуємо, що

J₁¢=0; J₂¢= . (63)

Після підстановки виразів (61) - (63) в (60) отримаємо

Звідси

. (64)

Після підстановки числових значень фізичних величин у співвідношення (64) знайдемо

рад/с.

Видно, що одиниця отриманої величини - рад/с.

Відповідь: w₂=3,02 рад/с.

Приклад 12 Однорідний стрижень довжиною м і масою M = 0,7 кг підвішений на горизонтальній осі, що проходить через верхній кінець стрижня. В точку, що знаходиться на відстані , абсолютно пружно вдаряє куля масою г, що летить перпендикулярно до стрижня і його осі. Після удару стрижень відхилився на кут (рис.13). Визначити швидкість кулі.

Розв’язання.Запишемо закон збереження моменту імпульсу для системи „куля-стрижень”. Оскільки і удар абсолютно пружний, будемо вважати, що швидкість кулі до і після удару однакова за модулем. Тоді можна записати

Рисунок 13 – Взаємодія стрижня з кулею

, (65)

де – кутова швидкість стрижня; - його момент інерції відносно точки О.

З урахуванням того, що , співвідношення набуде вигляду

. (66)

Скористаємося законом збереження енергії. У нижній точці стрижень має кінетичну енергію, у верхній – потенціальну, тобто:

. (67)

З рисунка видно, що

. (68)

Підставивши даний вираз у (62), отримаємо

або після скорочення та простих перетворень

. (69)

Підставимо рівняння (69) в (66) і розв’яжемо отримане співвідношення відносно :

(70)

Підставивши в рівняння (70) числові значення величин, отримаємо кінцевий результат

м/с.

Перевіримо розмірність отриманої величини

Відповідь: u = 134 м/с.

Приклад 13 У балоні об’ємом V=10 л знаходиться гелій під тиском - 1 МПа при температурі = 300 К. Після того як з балона було узято m = 10 г гелію, температура в балоні знизилася до = 290 К. Визначити тиск гелію, що залишився в балоні.

Розв’язання. Для розв’язання задачі скористаємося рівнянням Менделєєва-Клапейрона, застосувавши його до кінцевого стану газу:

(71)

де - маса гелію в балоні в кінцевому стані; - молярна маса гелію; R - молярна газова стала.

З рівняння (71) знайдемо тиск газу

(72)

Масу гелію визначимо через масу , що відповідає його початковому стану, і масу m гелію, узятого з балона:

. (73)

Масу гелію також знайдемо з рівняння Менделєєва - Клапейрона, застосувавши його до початкового стану газу

. (74)

Підставивши вираз маси в (73), а потім вираз в (72), знайдемо

або

(75)

Після підстановки числових значень фізичних величин отримаємо

Па.

Перевіримо розмірність одержаної величини. Для цього в праву частину виразу замість символів величин підставимо їх одиниці. У правій частині співвідношення маємо два доданки. Очевидно, що перший із них дає одиницю тиску, оскільки складається з двох множників, перший з яких (( ) – безрозмірний, а другий – тиск. Перевіримо другий доданок:

Відповідь: Па.

Приклад 14 При адіабатичному стисканні тиск повітря збільшився від P₁= 50 кПа до P₂= 0,5 МПа. Потім при незмінному об’ємі температура повітря була знижена до початкової (рис.14). Визначити тиск газу P₃у кінці процесу.

Розв’язання.У випадку адіабатного процесу параметри системи змінюються у відповідності до рівняння

, (76)

де - стала Пуассона.

Рисунок 14 – Зміна параметрів газу при термодинамічному процесі

Теплоємності при сталому тиску С_P і об’ємі С_Vдорівнюють у випадку двохатомного газу(і=5)

, (77)

, (78)

де i – число ступенів вільності молекули газу; R - газова стала.

Звідси .

Другий процес є ізохорним, у цьому випадку

Þ . (79)

Рівняння (76) перепишемо з використанням закону Менделєєва-Клапейрона

. (80)

Підставивши вираз (80) в (79), отримаємо

. (81)

Підставивши в дане співвідношення числові значення фізичних величин, отримаємо

Па.

Видно, що отримана величина має розмірність - Па.

Відповідь: Р₃=0,52 Па.

Приклад 15 Визначити роботу , яку виконує азот, якщо йому при сталому тиску надати кількість теплоти =21 кДж. Знайти також зміну внутрішньої енергії газу.

Розв’язання.У випадку ізобаричного процесу P=const перший закон термодинаміки має вигляд

Кількість теплоти, робота газу та його внутрішня енергія визначаються за формулами:

, (82)

, (83)

, (84)

де R- газова стала; - маса газу; - молярна маса; С_Р, С_V – теплоємність газу при сталому тиску і об’ємі.

Знайдемо відношення А до DQ і DU до DQ:

, (85)

. (86)

У випадку двохатомного газу число ступенів вільності молекули газу і=5, звідси:

, (87)

. (88)

З урахуванням співвідношень (87) та (88) вирази (85), (86) набудуть вигляду

, (89)

. (90)

Із рівнянь (89) і (90) отримаємо

, . (91)

Підставивши у (91) значення фізичних величин, отримаємо:

Дж,

Дж.

Відповідь: А = 6×10³ Дж; DQ = 15×10³ Дж.

Приклад 16 Яку роботу треба виконати при видуванні мильної бульбашки, щоб збільшити її об’єм від см до 16 см (рис.15)? Вважати процес ізотермічним.

Рисунок 15 - Зміна об’єму мильної бульбашки в процесі її роздування

Розв’язання.Робота, яка здійснюється при видуванні мильної бульбашки, йде на приріст енергії її поверхні:

А=Е₂-Е₁_,(92)

де Е₁, Е₂ – енергія у кінцевому та початковому станах бульбашки.

У мильної бульбашки є дві поверхні – зовнішня та внутрішня, площі яких майже однакові через малу товщину мильної плівки, тому вільна енергія поверхні (внутрішньої та зовнішньої разом) мильної бульбашки дорівнює

Е₁=2sS₁, (93)

E₂=2sS₂ , (94)

де s - коефіцієнт поверхневого натягу; S₁, S₂ – площа поверхні бульбашки в початковий момент і в кінці процесу.

Врахуємо, що площа поверхні сфери дорівнює

S₁=4pr₁², (95)

S₂=4pr₂², (96)

де r₁ та r₂ - радіуси бульбашок на початку та в кінці процесу.

Відповідні радіуси бульбашок знайдемо, знаючи, що об’єм

, Þ , (97)

,Þ . (98)

З урахуванням співвідношень (92)-(98) отримаємо

. (99)

Підставивши числові значення фізичних величин в співвідношення (95), отримаємо

= Дж.

Перевіримо розмірність фізичної величини.

Відповідь: А = 0,9×10^-2 Дж.

Приклад 17 Три точкові заряди нКл розташовані у вершинах рівностороннього трикутника (рис.16). Який заряд потрібно помістити в центрі трикутника, щоб система зарядів знаходилася в рівновазі?

Рисунок 16 – Умова рівноваги системи зарядів

Розв’язання. Всі три заряди, розташовані у вершинах трикутника, знаходяться в однакових умовах. Тому достатньо розглянути умову рівноваги будь-якого з трьох зарядів, наприклад . Заряд буде знаходитися в рівновазі, якщо векторна сума сил, що діють на нього, дорівнює нулю (рис.16):

(100)

де - сили, з якими відповідно діють на заряд заряди ; - рівнодійна сил і .

Оскільки сили і направлені за однією прямою у протилежні сторони, векторну рівність (100) можна замінити скалярною: F- = 0, звідки =F. Виразимо в останньому співвідношенні F через і . Враховуючи, що = , отримаємо