Разработка прогноза с помощью метода наименьших квадратов

Экстраполяция - это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования. К методам экстраполяции относятся метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов.

Рабочая формула метода наименьших квадратов:

Yt+1 = а ∙ Х + b,

где t + 1 – прогнозный период; Yt+1– прогнозируемый показатель; a и b - коэффициенты; Х - условное обозначение времени.

Расчет коэффициентов a и b осуществляется по следующим формулам:

 

где, Yф – фактические значения ряда динамики; n – число уровней временного ряда;

Сглаживание временных рядов методом наименьших квадратов служит для отражения закономерности развития изучаемого явления. В аналитическом выражении тренда время рассматривается как независимая переменная, а уровни ряда выступают как функция этой независимой переменной.

Развитие явления зависит не от того, сколько лет прошло с отправного момента, а от того, какие факторы влияли на его развитие, в каком направлении и с какой интенсивностью. Отсюда ясно, что развитие явления во времени выступает как результат действия этих факторов.

Подбор вида функции, описывающей тренд, параметры которой определяются методом наименьших квадратов, производится в большинстве случаев эмпирически, путем построения ряда функций и сравнения их между собой по величине среднеквадратической ошибки, вычисляемой по формуле:

  ,

где Yф – фактические значения ряда динамики; Yр – расчетные (сглаженные) значения ряда динамики; n – число уровней временного ряда; р – число параметров, определяемых в формулах, описывающих тренд (тенденцию развития).

Таблица 3.1

Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь
15,249 13,566 13,413 13,056 12,24 11,8104 10,4804 9,1504 8,2992 7,5544

 

- построить прогноз на ноябрь, декабрь, январь, используя метод наименьших квадратов;

- рассчитать ошибки полученных прогнозов при использовании данного метода;

- сделайте заключительные выводы.

Решение:

Для решения составим таблицу (Таблица 3.2), в которой будем производить необходимые расчеты:

Таблица 3.2

Месяцы Исходные данные, Yф Условное обозначение времени, Х Yф ∙ Х Х2 Расчет средней относительной ошибки, |Yф-Yр|/Yф∙100, %  
 
 
Январь 15,249 15,249 15,17974545 0,004541579  
Февраль 13,566 27,132 32,00298667 1,35905843  
Март 13,413 40,239 48,00448 2,578951763  
Апрель 13,056 52,224 64,00597333 3,902418301  
Май 12,24 61,2 80,00746667 5,536557734  
Июнь 11,8104 70,8624 96,00896 7,129187834  
Июль 10,4804 73,3628 112,0104533 9,687612432  
Август 9,1504 73,2032 128,0119467 12,98976511  
Сентябрь 8,2992 74,6928 144,01344 16,35268942  
Октябрь 7,5544 75,544 160,0149333 20,18168661  
Итого: 114,8188 563,7092 - 79,72246921  
Прогноз Ноябрь 6,555266667          
Прогноз декабрь 5,859806061          
Прогноз январь 5,164345455          

 

Определим условное обозначение времени как последовательную нумерацию периодов базы прогноза (графа 3). Рассчитаем графы 4 и 5. Расчетные значения ряда Yр определим по формуле Yt+1 = а*Х + b, где t + 1 – прогнозный период; Yt+1 – прогнозируемый показатель; a и b - коэффициенты; Х - условное обозначение времени.

 

Коэффициенты a и b определим по следующим формулам:

где, Yф – фактические значения ряда динамики; n – число уровней временного ряда.

= = 16,00149333

 

Далее определяем прогнозное значение:


Y ноябрь = * 11 + 16,00149333= 6,962266667
Y декабрь = = 6,140518788
Y январь = = 5,318770909

Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:

ε = 79,72246921/10 = 7,97% < 10% - точность прогноза высокая.