Алгебраїчний матеріал в курсі математики 3-го класу.
Програмою з математики передбачається ,що учні початкової школи повинні отримати початкові уявлення про математичні вирази, числові рівності та нерівності, познайомитися з буквеною символікою, із змінною, навчитися розв’язувати нескладні рівняння та нерівності, набути вмінь розв’язувати деякі прості та складені задачі за допомогою рівнянь.
Мета вивчення алгебраїчного матеріалу полягає в більш глибокому розкритті арифметичних понять, в доведенні узагальнень учнів до високого рівня, а також у підготовці до подальшого засвоєння курсу алгебри.
Таким чином ,вивчення елементів алгебри в початковому навчанні математиці тісно пов’язано з вивченням арифметичного матеріалу. Це виявляється, наприклад, у тому що рівняння і нерівності розв’язуються без застосування алгебраїчного апарату (теорем про рівносильність рівнянь), а використовуючи властивості арифметичних дій, на підставі взаємозв’язку між компонентами та результатами арифметичних дій.
Основними алгебраїчними поняттями є “рівність”, ”нерівність”, ”вираз”, ”рівняння”. Означень цих понять в курсі математики початкової школи не дається. Учні засвоюють їх на рівні уявлень в процесі виконання спеціальних вправ.
| |||||||
 |  |  |
Математичні вирази: числові .
Основними задачами при вивченні математичних виразів є:
- навчити читати та записувати математичні вирази;
- навчити знаходити значення математичних виразів;
- навчити виконувати тотожні перетворення;
- навчити порівнювати математичні вирази;
- навчити складати вираз за текстом будь-якої простої або складеної задачі.
Математичний вираз – це запис, який складається із чисел та букв, які з’єднані знаками арифметичних дій та дужками. Наприклад :
3*2+24:6 а + 5*12 в:( 11-6 )
Якщо запис складається лише тільки із чисел, які з’єднані знаками арифметичній дій та дужками – це числовий вираз.
В 3-му класі учні уперше зустрічаються з математичними виразами, які містять три арифметичні дії. Наприклад:
32 – 24 + 64 : 8
8 * 9 – ( 42 – 7 )
56 : 8 + 64 : 8
24 – 18 : 3 + 7
8 * 2 – 6 : 2,
між тим, як у другому класі вивчалися вирази, які містили не більше двох арифметичних дій.
Знаходження значень математичних виразів.
В 2-му класі учня познайомилися з математичними виразами, які містили дві арифметичні дії різних ступенів , а також виразами, в яких числа поєднані знаками арифметичних дій множення та ділення; знаходили значення виразів з дужками. Але правила порядку дій не були введені.
З правилами порядку виконання дій у виразах учні знайомляться в 3-му класі. Звичайно це відбувалося під час вивчення теми „Таблиці множення та ділення”.
| |
1. Якщо у виразі без дужок є тільки додавання та віднімання, тоді їх виконують в тому порядку ,в якому вони записані: 40-12+8=36 57-9-20=28
2. Якщо у виразі без дужок є тільки множення та ділення, тоді їх виконують в тому порядку, в якому вони записані: 24:4:3=2 12:3*2=8 2*2*7=28
3. Якщо у виразі немає дужок, тоді спочатку виконують по порядку множення та ділення, а потім додавання та віднімання: 24-8:4=22 4*3+2*6=24 20+4*7=48
4. Якщо у виразі є дужки ,тоді спочатку виконують дії в дужках: 35-(41-24) 36 :(13-9)
Вчитель звертає увагу учнів на важливість притримування цих правил при обчисленнях, інакше можна одержати невірну відповідь: 20 – 15:5,
- за правилами порядку дії ,отримаємо: 1)15:5=3, 2)20-3=17,тому 20-15:5=17;
- якщо не притримуватися правил: 1)20-15=5, 2)5:5=1, 20-15:5=1 – невірно.
Для закріплення правил порядку дій учням пропонуються завдання :
- Розв’язок прикладів з поясненням порядку дій.
- Пояснення помилок у порядку виконання дій (завдання на критику помилок).
- Використовуючи дужки змінити порядок дій:
5+4*3 ( (5+4)*3 )
- Вправи на прикладання всіх правил порядку дій.
- Знайти значення виразів, у яких остання дія віднімання ( додавання й тощо):
8 – 8 : 2 32 + ( 17 – 8 ) 64 : 8 – 8
( 70 – 7 ) : 7 32 – ( 17 + 8 ) ( 64 – 8 ) : 8
- В кожному виразі поставити дужки так, щоб його значення збільшилося:
1 + 8 * 4 24 – 18 : 2 + 7 24 : 8 – 2
32 : 8 – 4 42 – 24 : 3 + 3 7 * 3 + 6
При розв’язанні цього завдання учні повинні міркувати так:
1) Яка остання арифметична дія в даному виразі? (1 + 8 * 4 – остання дія додавання.)
2) Яка арифметична дія повинна бути останньою, якщо змінити за допомогою дужок порядок дій? ( 1 + 8 * 4 – остання дія повинна бути множенням.)
3) Як повинен змінитися один з компонентів, щоб значення збільшилося? ( Добуток збільшується, якщо один з доданків збільшується.)
4) Як за допомогою дужок змінити цей компонент? ( Можна збільшити перший множник, якщо взяти у дужки суму 1 та 8. (1 + 8 ) * 4.)
Так можна міркувати при розв’язанні 1-го та 3-го стовпчиків завдань:
(1 + 8) * 4 24 : (8 – 2)
32 : (8 – 4) 7 * (3 + 6)
Міркування при виконанні завдань 2-го стовпчика можуть бути такими:
1) Яка арифметична дія остання в даному виразі? (18 : 2 + 7– остання дія додавання.)
2) Які дії можуть бути останніми при змінені порядку дій? ( Або віднімання, або ділення.)
3) При якій арифметичній дії з двох визначених, отримуємо більший результат? ( При відніманні отримуємо більший результат, ніж при діленні.)
4) Отже, яка дія повинна бути останньою? ( Віднімання.)
5) Як треба змінити один з компонентів дії, щоб результат збільшився? ( Щоб різниця збільшилася, треба щоб або зменшуване збільшилося, або від’ємник зменшився.)
6) Який компонент можна змінити? ( Можна змінити від’ємник. Від’ємник повинен зменшитися.)
7) Як можна цього досягти? ( Щоб від’ємник 18 : 2 + 7 зменшився, треба щоб останньою дією було ділення і щоб значення частки було меншим. Значення частки буде меншим, якщо дільник збільшиться. Маємо: 18 : (2 + 7). )
8) Запиши відповідь. (24 – 18 : (2 + 7) )
- Замість точок поставити такі знаки арифметичних дій, щоб отримати вірні рівності:
3...6...2= 9 25...5...4...2 = 22
9...3...9 = 36 9...3...6...2 = 6
При розв’язанні прикладів першого стовпчика треба:
1) Число, яке записано після знаку „=” подати у вигляді добутку ( частки, суми або різниці). (3...6...2= 9 , 9 = 3 * 3.)
2) Чи є серед чисел, що записані ліворуч від знака „=” один з компонентів? ( Так, е перший множник 3.)
3) Подумай, за допомогою якої арифметичної дії , яку треба виконати між двома іншими числами, щоб отримати інший компонент дії? ( Треба 6 : 2 = 3.)
4) Запиши відповідь. (3 * (6:2 )= 9 або 3 * 6 : 2 = 9)
Аналогічними міркуваннями дістаємо відповідь на друге завдання першого стовпчика:
1) 36 = 9 * 4 = 9 * 3 + 9
2) Є множник 9.
3) За допомогою чисел 3 та 9 або 9 та 3 не можна отримати другий множник 4. Тому користуємося поданням числа 36 у вигляді суми: 9 * 3 + 9.)
Бачимо перший доданок можна отримати, якщо 9 помножити на 3, а другий доданок – це число 9.
4) 9 * 3 + 9 = 36
Розглянемо міркування при розв’язанні прикладів другого стовпчика:
1) Число, яке записано після знаку „=” подати у вигляді добутку ( частки, суми або різниці). (25...5...4...2 = 22, 22 = 20 + 2.)
2) Чи є серед чисел, що записані ліворуч від знака „=” один з компонентів? ( так, є другий доданок 2.)
3) Подумай, як отримати інший компонент дії? ( 25 ... 5...4 = 20. 25 : 5 * 4 = 20)
4) 25 : 5 * 4 + 2 = 22
Аналогічно: 9...3...6...2 = 6
1) 6 = 3 * 2 , 6 = 3 + 3
2) Є множник 2.
3) Треба з чисел 9 ... 3 ... 6 = 3 – немає можливостей. Тому розглянемо суму: 6 = 3 + 3. Як отримати з чисел 9... 3 число 3 ? Дією ділення. Як отримати з чисел 6 та 2 число 3? Дією ділення.
4) 9 : 3 + 6 : 2 = 6.
- Розставити дужки так, щоб рівності були вірними:
12 : 2 + 2 * 2 = 6 32 : 8 – 2 * 2 = 4 72-24:6+2=66 (72-(24:6+2)=66)
12 : 2 + 2 * 2 = 2 32 : 8 – 2 * 2 = 8
Розглянемо першу рівність:
1) Число 6 можна подати у вигляді : 6 = 3 * 2, 6 = 4 + 2.
2) У вигляді суми подавати число 6 не можна, тому що 12 : 2 не дорівнює 4. Отже будемо виходити з добутку: 6 = 3 * 2. Другий множник, число 2 ми маємо.
3) Подумаємо, як дістати перший множник 3? 12 : 2 + 2 – треба розставити дужки так, щоб отримати число 3: 12 : ( 2 + 2 ).
4) 12 : ( 2 + 2 ) * 2 = 6.
Аналогічно міркуємо при розв’язанні другого завдання:
1) 2 = 1 * 2 ( Ми не дістанемо 1 – 12 : 2 + 2.) 2 = 12 : 6
2) Є ділене 12.
3) Треба подумати, як з решти чисел і знаків дій отримати число 6: 2 + 2 * 2 = 6.
4) 12 : ( 2 + 2 * 2 ) = 2
Аналогічно:
32 : 8 – 2 * 2 = 4 (32 : 8 – 2) * 2 = 4
32 : 8 – 2 * 2 = 8 32 : ( 8 – 2 * 2 ) = 8
72-24:6+2=66 72-(24:6+2)=66
Порівняння числових виразів.
Вирази порівнюються декількома способами:
1. Знаходимо значення кожного виразу і порівнюємо отримані числа. Більше той вираз, значення якого більше. І навпаки.
2. Порівнюємо вирази, аналізуючи їх: 3+5 …3+4 - обидва вирази – суми; в обох сумах однакові перші доданки, значить більший той вираз у якого другий доданок більший: 5 більш ніж 4,тому 3+5 більше 3+4.
3. Перетворення виразу й порівняння виразів 2-им способом: 3*2 + 3 … 3*4
В 3-му класі учням пропонується порівняти вирази і число, при чому вирази містять кілька арифметичних дій. Наприклад:
56 : 7 – 7 ... 5
Зрозуміло, що порівняння даного виразу і числа відбувається першим способом: обчислюється значення виразу: 56 : 7 – 7 = 1. Порівнюється отри мане число з даним: 1 < 5. Робимо висновок: 56 : 7 – 7 < 5
Цікавим є завдання: підібрати такі числа, щоб нерівності були вірними:
5 * 8 > 5 * … 4 * 7 < … * 8
При розв’язанні цього завдання треба застосувати другий спосіб порівняння виразів:
5 * 8 > 5 * …
1) Порівняйте вирази, записані зліва та справа. Що в них спільного? ( Обидва вирази добутки.)
2) Порівняйте компоненти цих виразів? ( В них однакові перші множники. В них повинні бути різними другі множники , тому що значення першого виразу більше.)
3) Як треба змінити один з компонентів, щоб значення виразу зменшилося ( збільшилося)? ( Щоб добуток зменшився, треба щоб і другий множник зменшився. Отже другим множником буде число, яке менше за 8 – це 7 або 6 або 5 або 4 або 3 або 2 або 1 або 0.
4 * 7 < … * 8
1) Порівняйте вирази, записані зліва та справа. Що в них спільного? ( Обидва вирази добутки.)
2) Порівняйте компоненти цих виразів? ( В них різні другі множники . При чому більше число містить вираз, значення якого більше. Тому якщо ці вирази містимуть однакові перші множники, то значення другого виразу буде все одно більшим! Отже : 4 * 7 < 4 * 8)
Тотожні перетворення виразів
Тотожні перетворення виразів – це заміна даного виразу іншим, значення котрого рівно значенню даного (зазначимо, що це означення вірно лише для чисел, які вивчаються в курсі початкової школи).
Тотожні перетворення в 3-му класі здійснюються на підставі властивостей арифметичних дій та їх наслідків:
1) переставної властивості множення та додавання;
2) сполучної властивості додавання та множення;
3) правил:
- віднімання суми від числа, числа від суми;
 |  |
- множення числа на суму, суми на число;
|
|
- ділення суми на число; ділення числа на добуток й тощо.
|  | |||
Вивчаючи властивості арифметичних дій діти впевнюються, що в деяких виразах можна виконувати дії по-різному, але значення їх при цьому не змінюється. Далі знання цих властивостей арифметичних дій учні застосовують для перетворення виразів у тотожні.
52 : 4 = ( 40 + 12 ) : 4 = 40 : 4 + 12 : 4 = 10 + 3 = 13
Важливо, щоб учні не тільки пояснювали на підставі чого вони отримають наступний вираз, але й розуміли, що всі ці вирази поєднує знак “=” тому ,що вони мають однакові значення.
Учні 3-го класу також виконують тотожні перетворення не тільки на підставі властивостей арифметичних дій, але й на підставі їх конкретного змісту дії множення:
3*4 = 3+3+3+3
В 3-му класі учні роблять висновок: якщо у виразі з дужками, дужки не впливають на порядок дій, тоді їх можна не ставити:
18+(8:2) = 18+8:2
Цей висновок роблять при розв’язанні задач за допомогою складання виразу та знаходження значення виразу по діях з поясненням.
Буквені вирази.
Якщо вираз складається також ще й з букв – це буквений вираз.
У процесі виконання завдань на знаходження значень виразів із змінною формується розуміння змінної як букви у виразі ,що може набувати деякої множини значень. В учнів має створитися чітке уявлення про те, що у виразу із змінною – буквою не має певного значення, воно залежить від того яке значення приймає буква.
В 3-му класі продовжується робота над виразами з однією змінною , а також вводяться вирази, які містять дві букви.
Спочатку учні знайомляться з буквеними виразами, які утримують дві однакові букви ,та вчаться знаходити їх числове значення при заданому значенні букви :
1. а + ( а +25 ) ,якщо а=12
2. Обчислити значення виразу ,якщо а=8: а+6*а
Обчислити значення цього виразу можливо декількома способами:
1 спосіб: підставити значення букви та обчислити значення виразу: а + 6*а ,якщо а=8,отримаємо
8 + 6*8 = 8 + 48 = 56
Цей спосіб передбачено підручником. Тому що, даний приклад пропонується після складання таблиці множення числа 6.Але в подальшому навчанні можна використовувати ще й інший спосіб обчислення значення буквеного виразу:
2 спосіб: виконати тотожні перетворення виразу:
1) переставимо місцями доданки: 6*а +а
2) переставимо місцями множники: а*6 + а
3) використаємо конкретний зміст дії множення: а * 7
4) підставимо значення букви та обчислимо значення виразу: 8*7=56.
Зазначимо ,що цей спосіб можна запропонувати дітям під час вивчення таблиці множення числа 8.Тобто можна ще раз повернутися до вже розв’язаного прикладу й показати інший засіб розв’язання.
3.Знайти значення виразу: а + а + а + а = а *4, якщо а=7
Тобто тут учні уперше зустрічаються з тим, що буква може бути однаковим доданком, суму однакових доданків можна замінити добутком. Таким чином виконано тотожнє перетворення буквеного виразу, а потім пропонується знайти значення отриманого буквеного виразу. Це означає, що у подальших прикладах на знаходження значень буквених виразів якщо можливо виконувати спочатку тотожні перетворення, які спрощують вираз, а тільки потім знаходити числове значення буквеного виразу при заданому значенні букви.
Далі пропонуються завдання на знаходження значення буквеного виразу, який містить дві різні букви.
При вивченні множення та ділення у межах 1000 букви широко застосовують для узагальнення правил множення та ділення з 1 та 0: пропонується знайти значення буквеного виразу при заданому значенні букви ,використовуючи попередні правила, тобто виконуючи тотожні перетворення буквених виразів:
1 * а ,якщо а=8 отримаємо 1 * а = а = 8
Взагалі, в 3-му класі новим є використання різних букв латинського алфавіту для позначення змінної; розгляд виразів , у яких змінна повторюється та виразів із двома буквами.
Також учні знайомляться з задачами, які містять буквене дане , та вчаться складати буквений вираз до задачі. У початкових класах вміння розв’язувати ці задачі не входить в обов’язковий мінімум, тому в контрольні роботи вони не включаються. У підручниках задачі з буквеними даними за математичним змістом для учнів не нові. Такі задачі вони вже розв’язували, але з числовими даними. Однією з особливостей в оформленні розв’язку задач з буквеними даними є те, що короткий запис варто поєднувати з розв’язанням задачі.
Наприклад: Від першої корови доярка надоїла а л молока, а від другої – на 3 л більше. Скільки літрів молока доярка надоїла від обох корів?
2.Прочитайте задачу та уявіть про що в ній говориться. Про що говориться в задачі?
3. 
Запишімо задачу коротко. Які ключові слова можна виділити?
1 корова – а л ? – це звичайний короткий запис.
2 корова - ?,на 3 л більше
4.За коротким записом (або текстом задачі) поясніть числа задачі. Яке запитання?
5.Скільки літрів молока надоїли від 1-ї корови? 1 корова - а л
6.Скільки літрів молока надоїли від 2-ї корови? 2 корова - (а + 3) л
(Ми не знаємо скільки літрів молока дала 2-га корова, але ми знаємо, що на 3 літри більше ніж 1-ша корова, на 3 л більше – це означає стільки ж скільки 1-ша корова а л, та ще 3 л, тому 2-га корова дала ( а + 3) л молока.
7.Яке запитання задачі? Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання задачі? Якою дією відповімо на запитання задачі?
.. а + (а + 3) л надоїла доярка від двох корів.
Роботу над задачами, які містять буквене дане можна проводити і за звичайним порядком – за пам’яткою № 3:
Задача. З одного рядка зібрали 6 гарбузів , а з другого а гарбузів. Усі гарбузи розклали в 2 ящики, порівну у кожний. Скільки гарбузів клали в один ящик?
- Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі? ( Треба знати два числові значення: 1 – скільки всього гарбузів зібрали з двох рядків, не відомо, та П – скільки було ящиків, відомо, 2.)
- Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? ( Дією ділення, тому що розклали порівну.)
- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? ( Ні, ми не знаємо, скільки всього гарбузів зібрали з двох рядків.)
- Що треба знати, щоб про це дізнатися? ( Треба знати два числові значення: 1 – скільки зібрали з 1 –го рядка, відомо, 6, та П – скільки зібрали з другого, відомо, а.)
- Якою арифметичною дією відповімо на запитання? ( Дією додавання.)
- Чи можна відразу відповісти на це запитання? ( Так, відомі обидва числові значення.) Ми від запитання задачі перейшли до числових даних. Аналіз закінчено.
?
? : 2
6 + а
- Запишіть розв’язання задачі ви разом.
( 6 + а ) : 2
|
Відповідь: ( 6 + а ) : 2 л.
Рівняння.
В 3-му класі вводяться поняття: «рівняння», «розв'язати рівняння»; діти вчаться розв'язувати найпростіші рівняння на знаходження невідомого компонента дій додавання і віднімання, множення і ділення двома способами: підбором та на основі взаємозв'язку між результатом і компонентами цієї дії; вчаться доводити, що дане число є розв’язком рівняння.
Ознайомлення з поняттям «Рівняння».
- Знайдіть значення буквеного виразу при х = 4: х + 2.
(Учні вирішують це завдання усно, а вчитель оформляє рішення на дошці)
Рішення.
При х = 4, х + 2 = 4 + 2 = 6
- А тепер змінимо завдання: при якому значенні букви х, буквений вираз має значення 6?
- Виходячи з попереднього завдання, багато хто з вас уже відповіли на це питання. Але нас цікавить, насамперед, як варто міркувати при рішенні цього завдання?
- Звичайно, можна підбирати числа і підставляти замість ікса у вираз і потім знаходити його значення; а потім порівняти отримане число з числом 10. Якщо одержимо вірну рівність, то це шукане значення букви, тобто – рішення завдання.
- Однак, такі міркування дуже довгі. Як відразу одержати рішення?
- Запишемо:
.х + 2 = 6
- Що ми записали?
- Чим відрізняється ця рівність від числових рівностей?
- Чим відрізняється цей запис від буквеного виразу?
- Що в них спільного?
- Отже, рівність, що містить букву – змінну, називається рівнянням.
- Розв'язати рівняння – це значить знайти числове значення букви – змінної, при якому рівність буде вірною.
- При розв’язанні рівняння будемо міркувати так:
Прочитайте рівність.
Що невідомо?
Як знайти невідомий доданок?
Виконайте дії.( х = 6 – 2 , х = 4.)
- Перевіримо, чи буде рівність вірною при х=4. Для цього в буквений вираз замість букви підставляємо знайдене числове значення букви ікс: 4 + 2; значення цього вирази повинне дорівнювати числу 6: 4 + 2 = 6 . Обчислюємо значення буквеного виразу при х = 4: 4 + 2 = 6 – значення буквеного виразу при х = 4. Порівняємо знайдене значення з числом, що стоїть праворуч від знака рівності: 6 = 6 – одержали вірну рівність.
- Робимо висновок: число 4 є розв’язком даного рівняння, тому що при підстановці даного значення букви, ми одержуємо вірну рівність.
- Отже, ми розв’язали рівняння.
- Розв’язок рівняння треба оформляти так: х + 2 = 6
х = 6 - 2
х = 4……
4 + 2 = 6
6 = 6
Відповідь: 4.
- Поясніть, чому число 4 є розв’язком рівняння.
- Чим відрізняється це завдання від попереднього? (У попередньому завданні потрібно було знайти значення виразу при даному значенні букви, а в даному – ми знаходили значення букви при даному значенні виразу.)
- Скільки може мати розв’язків буквений вираз? (Багато , для кожного значення букви.) Скільки розв’язків може мати рівняння? (Тільки одне, тому що тільки при єдиному значенні букви , рівність буде вірним.)
- Таким чином, розв'язати рівняння – це значить знайти числове значення букви, при якому рівність буде вірним.
- Отже, рівняння – це рівність з буквою – змінною. Розв'язати рівняння це значить знайти числове значення букви, при якому рівність буде вірною.
- Поняття „рівняння” має дві істотні ознаки:
1) це рівність;
2) містить змінну.
- Наведіть приклади числових виразів. Як знайти їхнє значення.
- Наведіть приклади числових рівностей. Що можна про них сказати? Вони вірні чи невірні?
- Наведіть приклади буквених виразів. Що потрібно задати, щоб обчислити їхнє значення? Як обчислити значення буквених виразів.
- Наведіть приклади рівностей, що містять букву. Як вони називаються?
- Що значить розв'язати рівняння?
Перші рівняння з якими знайомляться діти носять назву найпростіших. До найпростіших рівнянь відносяться рівняння на знаходження невідомих доданка ,зменшуваного, від’ємника, множника, діленого та дільника ,наприклад :
. х – 7 = 3 6 – х = 4 х * 3 = 15 х : 3 = 6 18 : х = 9
х = 3+7 х = 6-4 х = 15:3 х = 6*3 х = 18:9
х = 10 х = 2 х = 5…..х = 18 х = 2
10 – 7= 3 6 – 2 = 4 5 * 3 = 15 18 : 3= 6 18 : 2 = 9
3= 3 4 = 4 15= 15 6= 6 9 = 9
Відповідь:10. Відповідь:2. Відповідь:5. Відповідь:18. Відповідь: 2.
Всі ці рівняння розв’язуються способомна підставі зв’язку між результатами та компонентами дій за допомогою пам’ятки:
|
Але деякі рівняння пропонується учням розв’язати й способом підбору: почергово підставляються у рівняння замість змінної запропоновані значення; значення, при якому отримаємо вірну числову рівність і є розв’язанням рівняння.
Додатково можна познайомити учнів з способом розв’язування рівнянь на підставі властивостей рівності. Розглянемо кілька прикладів.
|
2. Подамо праву частину у вигляді різниці з від’ємником 7. (З якого числа треба відняти 7, щоб отримати 3? Це 10.)
3.Порівняємо дві різниці:
- Чим вони схожі? ( В них однакові від’ємними.);
- Чим вони відрізняються? ( Зменшуваними.);
- Зроби узагальнюючий висновок. ( Дві різниці з однаковими від’ємниками рівні тоді і тільки тоді, коли й зменшувані рівні.)
4. Запиши відповідь.
На підставі розв’язання аналогічних завдань і їх аналізу учні узагальнюють спосіб розв’язування рівнянь на підставі властивостей рівності:
- Коли його можна застосовувати цей спосіб? ( Якщо і праворуч і ліворуч записані однакові математичні вирази, які містять однаковий компонент.)
- В чому він полягає? ( Треба порівняти математичні вирази: якщо між однаковими математичними виразами, які містять спільний компонент , стоїть знак рівності, то й другий компонент в них так само, однаковий.)
Розглянемо ще один приклад рівняння, яке так само можна розв’язати зазначеним способом: 40 + х = 44
-
|
- Прочитайте праву частину рівняння.
- Що записано в лівій частині? ( Сума чисел 40 та х).
- Що записано в лівій частині? ( Число 44).
- Для того, щоб розв’язати це рівняння способом на підставі властивостей рівності, що потрібно бути в правій частині? ( Потрібно, щоб справа була сума.)
- Чи будь-яка сума нас задовольнить? ( Ні потрібно, щоб була сума, що міститиме доданок – 40.)
- Заміни праву частину таким самим виразом з даним числовим компонентом. Замініть число 44 такою сумою. ( 44 = 40 + 4.)
- Таким чином, отримаємо рівняння: 40 + х = 40 + 4.
- Порівняй вирази, записані ліворуч та праворуч. Зроби узагальнюючий висновок. ( Справа та зліва записані суми, які містять спільний доданок – число 40; між цими сумами стоїть знак рівності, тому інший доданок також однаковий. Отже х = 4.)
- Запиши відповідь.
Узагальнюємо міркування і формулюємо пам’ятку:
| |||||||||||
|
|
|
|
Отже, в 3-му класі рівняння розв’язуються трьома способами:
1. Способом підбору:
знайдіть серед чисел те, при якому рівність буде вірною: 6,9,11 а – 2 = 7
2.Спосібом на підставі взаємозв’язку між результатом та компонентами арифметичних дій.
3. Способом на підставі властивостей рівності.
Наприклад:
Розв’язування задач способом складання рівняння.
Мета: формувати уміння розв'язувати найпростіші рівняння. Познайомити учнів з розв’язанням простих задач на знаходження невідомого доданка, зменшуваного і від’ємного , способом складання рівнянь навчити складати рівняння по тексту простої задачі.
Задача.Невідоме число збільшили на 12 і отримали 36. Знайди невідоме число.” За цією умовою склади рівняння і розв’яжи його.
- Про що йде мова в задачі? (В задачі говориться про невідоме число, яке збільшили на 12 й отримали 36)
- Що означає ,що число збільшили на 12? (Це означає ,що до цього числа додали 12)
- Скільки отримали в результаті додавання? (36)
- Що є шуканим в задачі? (Шуканим є число, яке невідоме.)
- Позначимо невідоме число буквою, наприклад х. Нагадайте ,що відбулося з цим числом? (До числа х додали 12 і отримали 36.)
- Запишіть рівність. ( х + 12 = 36)
- Що ми отримали? (Рівняння.) Розв’яжемо рівняння і дізнаємося про шукане число.
- Прочитайте рівняння. Що невідомо? (Невідомий перший доданок.)
- Як знайти перший доданок? (Щоб знайти перший доданок, треба від суми відняти другий доданок.)
- Виконайте дії. ( х = 36 – 12
х = 24)
- Зробіть перевірку. ( до 24 додати 12 повинно бути 36: 24+12 = 36; додаємо до 24 число 12, буде 36, таким чином отримали вірну рівність : 36=36 , тому х = 24 , є розв’язком рівняння, а значить і шуканим числом.)
- Запишіть відповідь.(Відповідь: 24 – невідоме число.)
- Як можна було по-іншому розв'язати цю задачу? Іншим способом? (Можна було міркувати так: два числа в сумі складають 36, причому друге число – 12; потрібно знайти перше число. Отже сума - 36 складається з двох доданків, другий з яких 12. Невідомо перший доданок. Для того, щоб відповісти на запитання задачі досить знати два числових значення: 1 – суму, відомо – 36, і П – другий доданок , відомо – 12. Відповімо на запитання дією віднімання, тому що, якщо із суми двох чисел відняти один доданок, то залишиться другий доданок. Розв’язання . 36 – 12 = 24. Відповідь: 24 – невідоме число.)
- Чим відрізняється цей спосіб розв’язання від попереднього? ( Тут ми розв’язували задачу виконанням арифметичної дії – віднімання між двома даними числами. А в попередньої – ми складали і розв’язували рівняння.)
-
|
Нерівності із змінною.
Ознайомлення з нерівностями із змінною відбувається в 3-му класі .
Під час введення поняття про нерівності із змінною пропонується бесіда:
- Як називаються записи: 37 – 29 , 14 : 2 + 4 ? ( Це вирази.)
- Як називаються записи: а + 25 , 12 : в + 7? ( Це буквені вирази, вираз із змінною.)
- Чим відрізняється перша група виразів від другої? ( Перша група виразів – це числові вирази – вони містять лише числа, які з’єднані знаками арифметичних дій; а друга група – це вирази із змінною – вони містять крім чисел ще й букву.)
- Як називаються записи: 12 < 16 ; 25 – 6 > 17? ( Це нерівності.) Два числа або два вирази, які поєднані знаками : >, < , = - називаються нерівностями.)
- Як би ви назвали запис: 25 – с > 17? ( Це нерівність, яка містить букву – нерівність із змінною.)
- Буквена нерівність, або нерівність із змінною, є правильною ,якщо с набуває значень 1 або 2 або 3 або 4 або 5 або 6 або 7. Буквені нерівності ми будемо розв’язувати добором і випробуванням обраних чисел: кожне з даних чисел підставляється у нерівність замість букви; якщо отримуємо вірну числову нерівність, то дане число є розв’язком; якщо отримуємо невірну числову нерівність, то це число не є розв’язком нерівності із змінною..
1. Із даних чисел 6,7,8,9,10 виписати ті, для котрих вірна нерівність:
k + 2 > 10.
Працювати над цією вправою ми будемо за пам’яткою:
| |
Пам’ятка.
1)Знайти значення буквеного виразу при заданому значенні букви.
2)Порівняти ці числа.
3)Якщо числова нерівність є вірною, тоді це значення букви є розв’язком.
Розв’язання
k + 2 > 10.
1) При к = 6, 6 + 2 > 10
2) 8 > 10 – невірна нерівність
3) Число 6 не є розв’язком нерівності к + 2 > 10
1) При к = 7, 7 + 2 > 10
2) 9 > 10 – невірна нерівність
3) Число 7 не є розв’язком нерівності к + 2 > 10
1) При к = 8 , 8 + 2 > 10
2) 10 > 10 – невірна нерівність
3) Число 8 не є розв’язком нерівності к + 2 > 10
1) При к = 9 , 9 + 2 > 10
2) 11 > 10 – вірна нерівність
3) Число 9 є розв’язком нерівності к + 2 > 10
1) При к = 10 , 10 + 2 > 10
2) 12 > 10 – вірна нерівність
3) Число 10 є розв’язком нерівності к + 2 > 10
З цього випливає, що при к >8нерівність k + 2 > 10 буде вірною.
Відповідь: 9, 10.
На перших етапах засвоєння розв’язування нерівностей із змінною слід запропонувати учням для розв’язання певну кількість завдань, при чому, кожний етап розв’язання ,згідно пам’ятці, записуємо у зошит; далі міркуємо усно, записуючи лише відповідь.
2. Знайди два таких значення к , щоб нерівність к * 7>40 була вірною.
Розв’язуючи це завдання учні самі повинні підібрати числа, які слід випробувати за пам’яткою. Підбор значень змінної к здійснюється на підставі знання таблиці множення числа 7. Учням пропонується назвати добутки із таблиці множення числа 7, які більше числа 40 ( це 42, 49, 56, 63, 70) ; встановити множенням яких чисел на 7 вони отримані ( 6, 7, 8, 9, 10) ; перевірити і довести, що ці числа є розв’язками даної нерівності ( за пам’яткою № 1 ).
При к>5, нерівність к * 7>40 буде вірною.
Відповідь: 6; 7; 8; 9...
3. Для кожної нерівності добери два значення букви а , щоб нерівність була вірною: 20 – а > 15 а * 4 < 36 а : 8 > 4
При розв’язанні цих нерівностей можна запропонувати учням раціональний прийом підбору змінної у нерівності:
| |
Пам’ятка № 2:
1) Навожу до рівняння. Визначаю при якому значенні букви отримаємо вірну рівність.
2) Записую отримане число, підкреслюю його і записую його сусідів.
3) Підставляю число , 
до знайденого і встановлюю чи є воно розв’язком нерівності.
4) Роблю висновок: якщо так, то виписую декілька чисел ,які при рахунку називаються 
знайденого числа.
Цей спосіб розв’язання нерівностей із змінною називається наведенням до рівняння.
Розв’язання
20 – а > 15
1) 20 – а = 15
а = 20 – 15
а = 5
2) … 5 …; … 4, 5 , 6 …
3) 20 – 4 > 15
16 >15 –вірна нерівність, тому число 4 є розв’язком нерівності
4) 4, 3, 2, 1, 0.
Відповідь: 4, 3, 2 , 1, 0.
а * 4 < 36
1) а * 4 = 36
а = 36 : 4
а = 9
2) … 9 …; … 8, 9 , 10 …
3) 8 * 4 < 36
32< 36 – вірна нерівність, тому число 8 є розв’язком нерівності
4) 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.
Відповідь: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.
а : 8 > 4
1) а : 8 = 4
а = 4 * 8
а = 32
2) … 32 …; записуємо із таблиці ділення на 8 ділені, що менше за 32 та більше за 32:
… 24, 32, 40 …
3) 40 : 8 > 4
5> 4 – вірна нерівність, тому число 40 є розв’язком нерівності
4) виписую із таблиці ділення на 8 всі ділені, починаючи з 40: 40, 48, 56, 64, 72, 80.
Відповідь: 40, 48, 56, 64, 72, 80.
Третій спосіб розв’язання нерівностей із змінною полягає на залежності між результатами і компонентами арифметичних дій.
25 – в > 20
- Прочитайте ліву частину нерівності.
- Прочитайте праву частину нерівності.
- Подайте праву частину у вигляді різниці.
- Що істотного повинно бути в цій різниці? ( Зменшуване – число 25).
- Замінюємо праву частину нерівності різницею з зменшуваним 25 (20 = 25–5), таким чином отримаємо: 25 – в > 25 – 5.
- Порівняйте дві різниці з однаковими зменшуваними. ( В цих різницях однакові зменшувані, а відрізняються вони від’ємниками. Різниця в лівій частині більша за різницю в правій частині.)
- Згадайте в яких випадках різниця збільшується при зміні від’ємника. ( Різниця збільшується, якщо від’ємник, навпаки зменшується.)
- Який висновок можна зробити? ( Із двох різниць з однаковими зменшуваними більша та, в якій від’ємник менший.)
- Якщо від’ємник повинен бути меншим, то які значення набуває змінна в? ( в<5. Відповідь: 0;1;2;3;4.)
x * 70 < 280 . Подамо праву частину нерівності , число 280, добутком двох чисел з другим множником 70: 280 = 4 * 70. Отримаємо нерівність x * 70 < 4 * 70. Порівнюємо добутки, записані в правій та лівій частині. Згадуємо взаємозв’язок між добутком і множниками: добуток зменшується, коли множник зменшується. З двох добутків з однаковим другим множником менше той, у якого перший множник менше. Робимо висновок: x < 4 Відповідь: 0;1;2;3.
Зразок запису в зошиті:
x * 70 < 280
x * 70 < 4 * 70
x < 4
Відповідь: 0;1;2;3.
x + 40 < 45. Алгоритм розв’язання:
| 1) Подаю праву частину , 45, сумою з другим доданком 40. 45 = 5 + 40. | x + 40 < 5 + 40 |
| 2) Порівнюю суми. Згадую зв’язок суми і доданка: сума зменшується, якщо доданок зменшується. Отже, із двох сум з однаковими другими доданками менша та, в якій перший доданок менше. | |
| 3) Робимо висновок. | x < 5 Відповідь: 0;1;2;3;4. |
120 : x > 24
| 1) Подаю праву частину, 24, у вигляді частки з діленим 120. 24 = 120 : 5 | 120 : x > 120 : 5 |
| 2) Порівнюю частки. Згадую залежність між часткою та діленим. Частка збільшується, якщо дільник зменшується. З двох часток з однаковими діленими більше та, в якій дільник менше. | |
| 3) Роблю висновок. | x < 5 Відповідь: 0;1;2;3;4. |
Таким чином, нерівності із змінною розв’язуються трьома способами:
1. Способом підбору.
2. Способом наведення до рівняння.
3. Способом на підставі взаємозв’язку між результатами і компонентами арифметичних дій.
Наприклад:
Геометричний матеріал в курсі математики 3-го класу.
Геометрична фігура – це множина точок площини. В 3-му класі не вивчаються нові геометричні фігури, а розглядаються лише ті, що були введені у попередніх класах: точка, пряма та крива лінії, відрізок, ламана, многокутники: трикутник, чотирикутник, п’ятикутник ..., з чотирикутників – прямокутник і квадрат, коло і круг. Але, завдяки введенню латинського алфавіту, коли кожна точка отримує ім’я у вигляді великої літери латинського алфавіту відбувається систематизація, узагальнення і поглиблення раніш отриманих знань.
Згідно нової програми в 3-му класі учні креслять і вимріють довжину відрізків, ламаної лінії; визначають периметр многокутника, в тому числі прямокутника і квадрата, знаходять сторони квадрата за його периметром; будують прямокутники і квадрати на папері в клітинку за даними сторін.
Засвоєння геометричного матеріалу відбувається головним чином під час практичних робіт ( вимірювання, викреслювання та моделювання) і розв’язування задач, а не в результаті вивчення теорії. Тому ми пропонуємо класифікацію задач з геометричним змістом і наводимо приклади задач кожної групи.
1 група задач – задачі на повторення усіх вивчених геометричних фігур.
Завдання 1. За малюнком назвати геометричні фігури і розповісти про кожну фігуру.
 |  | |||||
 | ||||||
 | ||||||
 |
Завдання 2.
1) Назви кожну фігуру, яка не є многокутником. 
2) Скільки многокутників, назви кожний. 
Завдання 3.
1) Назви геометричні фігури
 |
2) Чим відрізняються квадрати, які
зображено ліворуч від квадратів праворуч?
П група. Позначення геометричних фігур літерами латинського алфавіту і правильне їх читання.
Завдання 1. Назви, які фігури зображено.
А В – відрізок АВ. А кут АОВ або кут О
N О В АОВ , О
Трикутник М N О М N прямокутник МNОК. Не можна
читати МNКО або МКNО. Букви
М N О 
читають послідовно!
M O
К О
Завдання 2.
А В К М А К А В А 1) Перевір, чи вірно записані
назви усіх прямокутників і
М О квадратів:
D C M K
M P
P O
Прямокутники: АВС D; КМРО; АВКМ; МАОР.
Квадрати: АВС D; МАОР.
2) Який прямокутник називається квадратом?
Ш група . Задачі на належність точок та відрізків даній фігурі.
Завдання 1. О
| |
А С В
 | |||
 |
К
Р
1) Назви точки, які належать прямій ( А; В; С).
2) Назви точки, які не належать прямій. ( К; О; Р).
Завдання 2.
К 1) Назви точки, які належать кругу. ( А;О;Е; N).
N 2) Назви точки, які не належать кругу. ( С;В;К).
Е
О В
А
С
Завдання 3. Назви трикутники з спільною стороною ВС. ( АВС та ВСК)
В
А С К
Завдання 4. Назви фігури, яким належить точка О. ( АВСD, АВFK)
B F C
 |
O
A K D
Завдання 5. Назви фігури, які містять кут А. ( АВК; 
АВ D; чотирикутник АВС D)
В С
 |
А К D
1У група. Задачі на побудову відрізків та порівняння їх довжин.
Завдання 1. Накресли такі самі відрізки, виміряй їх довжину і порівняй довжини цих відрізків.
А В
С D
( АВ = 2 см, С D= 6 см; 6 : 2 = 3. Відрізок С D довше відрізка АВ в 3 рази. Відрізок АВ коротше відрізка С D в 3 рази.)
Завдання 2. Виміряй відстань між точками С та D; А та В і порівняй довжини відрізків С D та АВ.
С
В
А
D
 |
Завдання 3. Накресли пряму лінію, відклади на ній відрізок, який дорівнює сумі відрізків АВ та М N.
А В
С N
Розв’язання
Р С К
Завдання 4. Накресли такий самий прямокутник АВСД, накресли довільну пряму і від точки О відклади послідовно усі сторони прямокутника. Виміряй довжину отриманого відрізку.
В С
А Д
Розв’язання
О К
У група. Задачі на ділення фігур на частини і назву фігур.
Завдання 1. Накресли довільний відрізок АВ. На цьому відрізку познач дві точки С і Д. Назви і запиши усі утворені відрізки.
Розв’язання
А С Д В
АС; АД; АВ; СД; СВ; ДВ.
Щоб не загубити відрізки або не назвати один й той самий відрізок двічі запам’ятай:
1) Назви усі відрізки з початком в точці А ( їх три: АС; АД; АВ;);
2) Назви усі відрізки з початком в точці С ( їх два: СД; СВ);
3) Назви відрізок з початком в точці Д ( один: ДВ).
Завдання 2. Накресли довільний кут АОВ. Проведи в ньому два променя ОС та ОД. Назви і запиши утворені кути.
Розв’язання
А С
Д
О В
АОС ; АОД ; АОВ; СОД; СОВ; ДОВ.
