Электрический ток. Вектор плотности тока.
46. Закон Ома в дифференциальном и интегральном виде. Удельная проводимость и удельное сопротивление.
Немецкий физик Г. Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока, текущего по однородному (отсутствуют сторонние силы)металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения на проводнике: 
Сопротивление проводника. Величина R называется электрическим сопротивлением проводника. Единица сопротивления - 1 Ом. Для однородного цилиндрического проводника 
, где l - длина проводника; S - площадь его поперечного сечения; 
- зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением. В системе СИ единица измерения есть 
.
Удельное электрическое сопротивление вещества характеризует его способность проводить электрический ток. Единица измерения удельного сопротивления в СИ — Ом·м. Физический смысл удельного сопротивления в СИ: сопротивление однородного куска проводника длиной 1 м и площадью токоведущего сечения 1 м².
Удельное сопротивление можно определить также для неоднородного материала, свойства которого меняются от точки к точке. В этом случае оно является не константой, а скалярной функцией — коэффициентом, связывающим напряжённость электрического поля 
и плотность тока 
в данной точке 
Удельной проводимостью называют меру способности вещества проводить электрический ток. Согласно закону Ома в линейном изотропном веществе удельная проводимость является коэффициентом пропорциональности между плотностью возникающего тока и величиной электрического поля в среде: 
где σ — удельная проводимость, 
— вектор плотности тока, 
— вектор напряжённости электрического поля.
Величина, обратная удельной проводимости, называется удельным сопротивлением.
Дифференциальная форма закона Ома. Найдем связь между плотностью тока j и напряженностью поля Е в одной и той же точке проводника. В изотропном проводнике упорядоченное движение носителей тока происходит в направлении вектора Е. Поэтому направления векторов j и Е совпадают.
Рассмотрим в однородной изотропной среде элементарный объем с образующими, параллельными вектору Е, длиной 
, ограниченной двумя эквипотенциальными сечениями 1 и 2 .
Обозначим их потенциалы 
и 
, а среднюю площадь сечения через 
. Используя закон Ома, получим для тока 
, или для плотности тока 
, следовательно 
.
Перейдем к пределу при 
, тогда рассматриваемый объем можно считать цилиндрическим, а поле внутри него однородным, так что 
, где Е - напряженность электрического поля внутри проводника. Учитывая, чтоj и Есовпадают по направлению, получаем
. Это соотношение является дифференциальной формой закона Ома для однородного участка цепи. Величина 
называется удельной проводимостью.
На неоднородном участке цепи на носители тока действуют, кроме электростатических сил 
, еще и сторонние силы 
, следовательно, плотность тока в этих участках оказывается пропорциональной сумме напряженностей. Учет этого приводит к дифференциальной форме закон Ома для неоднородного участка цепи: 
.
От закона Ома в дифференциальной форме легко перейти к интегральной форме. Рассмотрим неоднородный участок цепи. Внутри этого участка выберем контур тока, удовлетворяющий следующим условиям: в каждом сечении, перпендикулярном к контуру, величины 
имеют с достаточной точностью одинаковые значения; векторы 
в каждой точке направлены по касательной к контуру.
Вследствие закона сохранения заряда сила постоянного тока в каждом сечении должна быть одинаковой. Поэтому величина 
постоянна вдоль контура. Тогда, заменяя j отношением 
, получаем 
.
Умножим это соотношение на dl и проинтегрируем вдоль контура: 
, где 
представляет собой суммарное сопротивление участка цепи, первый интеграл в правой части - разность потенциалов 
на концах участка, а второй интеграл определяет ЭДС 
, действующую на участке цепи. Таким образом 
.
ЭДС , как и сила тока I, величина алгебраическая. В случае, когда ЭДС способствует движению положительных носителей тока в выбранном направлении (в направлении 1-2), 
. Если ЭДС препятствует движению положительных носителей в данном направлении, то 
: 
.
Последняя формула выражает закон Ома для неоднородного участка цепи. Для замкнутой цепи закон Ома имеет вид
, где R - сопротивление нагрузки, r - внутреннее сопротивление источника тока.