Решение задач на компенсацию реактивной мощности

Задача № 1 . Решение.

1. Находим тангенс угла потерь tg φ: _________

________ tg φ = ( Sin φ / Cos φ ) = [ (Ö 1 – Cos ² φ ) / (Cos φ ) ] =

= [ (Ö 1 – 0,5 ²) / 0,5 ] = 1,73.

2. Из выражения 5.27 находим еакость фазосдвигающего конденсатора при полной компенсации сдвига фаз:

Выбираем конденсатор стандартной емкости С = 6 [ мкФ ].

Задача № 2. Решение.

1. Находим тангенс угла потерь потребителей tg φ ₁ и tg φ ₂:

________

tg φ ₁ = ( Sin φ₁/ Cos φ₁) =[ (Ö 1 – Cos ²φ₁) / Cos φ₁ ) ] =

________

= [( Ö 1 – 0,5 ²) / 0,5 ] = 1,73.

__________

tg φ ₂ = ( Sin φ₂/ Cos φ₂ ) =[ (Ö 1 – Cos ²φ ₂) / Cos φ ₂ ) ] =

________

= [( Ö 1 – 0,6 ²) / 0,6 ] = 1,6.

2. Из выражения 5.27 находим емкость фазосдвигающих конденсаторов при полной компенсации сдвига фаз потребителей:

С ₁ = [ (Р₁ ´tg φ₁) / (ω ´ U ² ) ] = [ (Р₁ ´tg φ₁) / ( 2 π ´ f ´U ² ) ] =

= [ (5000 ´1,73) / (2 ´ 3,14 ´ 50 ´ 220² ) ] = 569 ´ 10 ^–6 [ Ф ].

3 . Суммарная емкость фазосдвигающих конденсаторов:

С _Σ = С ₁ + С ₂ = 569 + 105 = 674 мкФ

Задача № 3. Решение.

Q C   φ Р       Q L S Рисунок 12.5 - Треугольник мощностей Р; Q ; S

2. Из выражения S = U ´ I [ ВАр ] находим полный ток I [ А ] в цепи некомпенсированного электропотребителя RL:

I = S / U = 10000 / 220 = 45,45 [ А ].

3. Из треугольника токов Cos φ = (I _АКТ / I ) находим активный ток I _АКТ:

I _АКТ = I ´ Cos φ = 45,45 ´ 0,5 = 22,725 [ А ].

4. Из треугольника токов находим реактивный (индуктивный) ток I _L:

_________ _______________ ___________

I _L = ÖI ²- I _АКТ² = Ö I ²- (I ? Cos φ)² = I ² Ö 1 - (Cos φ)² =

_________ __

= I ² Ö 1 - (0,5)² = 0,5 I ² Ö 3 = 0,5 ´45,45 ´1,73 = 39,3 [ А ].

5. Из треугольника мощностей находим реактивную (индуктивную) мощность Q _L: _______ ________

Q _L = Ö S ²- P ² =Ö10²- 5² = 8,6 [ кВАр ].

6. Используя закон Джоуля – Ленца находим реактивное (индуктивное) сопротивление потребителя Х _L: Х _L= Q _L / (I _L) ² = 8600 / 3,93 ² = 5,6 [ Ом ].

7. Используя закон Ома находим активное сопротивление потребителя R:

R = U / I _АКТ = 220 / 22,725 = 9,7 [ Ом ].

8. Найдем емкостное (реактивное) сопротивление Х_С фазосдвигающего конденсатора С (рисунок 12.1. ):

Х _С = 1 / ω С = 1 / 2 π fС = 1 / 2 ´ 3,14 ´ 50 ´0,0005 = 6,37 [ Ом ].

9. Определим полное сопротивление цепи Z [ Ом ] после шунтирования

ее фазосдвигающим конденсатором:

10. Вычислим полную мощность электропотребителя S_НК [ ВА ] при неполной компенсации сдвига фаз: S_НК = U ² / Z _НК = 220² / 7,4 = 6540 [ ВА ]

11. Из треугольника мощностей вычислим коэффициент мощности электропотребителя Соs φ _НК при неполной компенсации сдвига фаз:

Соs φ _НК= P / S_НК = 5 / 6,54 = 0,76 .

Задача № 4. Решение.

1. Найдем активный ток RL цепи ( рисунок 12.1 ):

I _А = I ₁ ´ Соs φ ₁ = 10 ´ 0,68 = 6,8 [ А ].

0 IА U   I2 Р I 2 I С I 1Р I 1   Рисунок 12.6 - Векторная диаграмма активно – реактивного потребителя электрической энергии с фазосдвигающим конденсатором.

2. Реактивный ток RL С цепи составит:

_____________ _______

I _{2 Р} = I ₂ ´ Sin φ ₂ = I ₂ Ö1 - ( Соs φ ₂ ) ² = 7,5Ö 1 - 0,9 ² = 3,3 [ А ].

4. Ток через конденсатор равен: I _С = I _1Р -I _{2 Р} =7,3 – 3.3. = 4 [ A ].

5. Реактивное сопротивление емкости определяется из соотношения:

Х _С = U / I _С = 220 /4 = 55 [ Ом ] .

6. Тогда емкость конденсатора будет:

С = 1 / ω Х _С = 1 / 2 π ´ f ´Х _С = 1 / 2 ´ 3,14 ´ 50 ´ 55 =

= 0,0000579 [ Ф ].= 57,9 [ мкФ ]..

Выбираем ближайшиее номинальное значение С = 60 мкФ.

Задача № 5. Решение.

1. Векторная диаграмма представлена на рисунке 12.7:

0 U IС φ1 IА=IRLC   I 1 I 1Р   Рисунок 12.7 - Векторная диаграмма активно – реактивного потребителя электрической энергии с фазосдвигающим конденсатором при полной компенсации угла сдвига фаз между векторами тока и напряжения

Сначала откладываем вектор напряжения U. Под углом φ₁ к нему в масштабе откладываем вектор тока I ₁. Проведя пунктинрую нормаль к вектору напряжения U находим вектор активного тока I _А . Проведя параллельно вектору напряжения U пунктирную линию восстановим из начала координат нормаль до пересечения с этой пунктирной линией; в результате получим вектор реактивного ( индуктивного ) тока I _1Р , который отстает от вектора напряжения U на угол 90 ⁰ . При полной компенсации угла сдвига фаз между векторами тока и напряжения вектор реактивного ( емкостного ) тока I _С опережает вектор напряжения U на угол 90 ⁰ , и равен по пбсолюной величине вектору индуктивного тока I _1Р . Сдвинув вектор реактивного ( емкостного ) тока из начала координат параллельно самому себе в конец ( на острие стрелки вектора индуктивного тока I _1Р ) получаем векторную диаграмму при полной компкнсации угла сдвига фаз.

2. Найдем активный ток RL цепи:

I _А = I ₁ × Соs φ ₁ = 10 ´ 0,68 = 6,8 [ А ].

3. Реактивный ток RL цепи составит:

_____________ ________

I _1Р = I ₁ ´ Sin φ ₁ = I ₁Ö1 - ( Соs φ ₁ ) ² = 10 Ö1 - 0,68 ² = 7,3 [ А ].

4. Ток через конденсатор равен: I _С = I _1Р =7,3 [ A ].

5. Определяем реактивное сопротивление емкости:

Х _С = U / I _С = 220 /7,3 = 30,137 [ Ом ] .

6. Тогда емкость конденсатора будет:

С = 1 / ω Х _С = 1 / 2 π ´ f ´ Х _С = 1 / 2 ´ 3,14 ´ 50 ´ 30,137 =

= 0,000096 [ Ф ].= 96 [ мкФ ]..

. 7. В этом случае ток через RLC цепи будет равен активному току :

I _RLC = I _А = 6,8 [ А ]

и наблюдается резонанс токов

.

Задача № 6. Решение.

1. Найдем реактивное сопротивление индуктивности ( реактора ) и емкости ( конденсатора ) :

Х _L = ω´L = 2 π ´ f ´ L = 2 ´ 3,14 ´ 50 ´ 0,1 = 31,4 [ Ом ];

Х _С = 1 / ω ´ С = 1 / 2 π ´ f ´ C = 1 / 2 ´ 3,14 ´ 50 ´ 0,00004 = 79,6 [ Ом ].

2. Определим полное сопротивление цепи до компенсации:

_______________ _________________

Z ₁ = Ö ( R_L + R ) ² + Х _L ² = Ö ( 10 + 90 ) ² + 31,4 ² = 104,8 [ Ом ].

3. Вычислим полный ток RL цепи до компенсации ( Рис. 6.):

I ₁ = U / Z ₁= 220 / 104,8 = 2,1 [ А ].

4. Реактивная Q ₁, активная Р ₁ и полная мощности S ₁ RL цепи до компенсации равны:

Q ₁ = Х _L´ I ₁ ² = 31,4 ´ 2,1 ² = 138,5 [ ВАр ] ;

Р ₁ = ( R_L + R ) ´ I ₁ ² = ( 10 + 90 ) ´ 2,1 ² = 441 [ Вт ] ;

S ₁ = Z ₁´ I ₁ ² = 104,8 ´ 2,1 ² = 462,2 [ ВА ] .

5. Коэффициент мощности RL цепи до компенсации составляет:

Соs φ ₁ = Р ₁ / S ₁= 441 / 462,2 = 0,95 .

6. Активный и реактивный токи RL цепи до компенсации определяются из соотношений : I _1А = I ₁ ´ Соs φ ₁ = 2,1 ´ 0,95 = 2 [ А ];

_____________ _________

I _1Р = I ₁ ´ Sin φ ₁ = I ₁Ö1 - ( Соs φ ₁ ) ² = 2,1 Ö 1 - 0,95 ² = 0,7 [ А ].

7. Векторная диаграмма RL цепи до компенсации - рисунок 5.10.

8. Определим полное сопротивление реактора до компенсации:

__________ __________

Z _Р = Ö R_L ² + Х _L ² = Ö 10 ² + 31,4 ² = 32,95 [ Ом ].

В комплексной форме:. __

Z _Р = R_L + j Х _L = 10 + j 31,4 [ Ом ].

0 φ1 I A1 U   I P1 I 1     Рисунок 12.8. Векторная диаграмма RL цепи до компенсации.

9. Полное сопротивление в комплексной форме записи фазосдвигающего конденсатора и реактора после компенсации определяются выражениями: __

Z _С = – jХ _С = – j 79,6 [ Ом ].

___ ___ __ __ __

Z _РК = (Z _Р ´ Z _С ) / (Z _Р + Z _С ) = (10 + j 31,4) (– j 79,6 ) / (10 + j 31,4 – j 79,6)=

= (2499 – j 796) / ( 10 – j 48,2) = (2499 – j 796) (10 + j 48,2) / (10 ² + 48,2 ²) =

= (24990 + 38367 + j 120452 – j 7960 ) / ( 100 + 2323) =

= ( 63357 + j 112492) / 2423 = 26,15 + j 46,43 [ Cм ].

Или: ___________ ______________

Z _РК = Ö R _РК ² + X _РК ² = Ö 26,15 ² + 46,43 ² = 53,3 [ Cм ]

10. Найдем полное сопротивление цепи после компенсации:

__ __ __

Z _К = Z _РК + Z _R = 26,15 + j 46,43 + 90 = 116,15 + j 46,43 [ Ом ].

Или: __________ ______________

Z _К = Ö R _К ² + X _К ² = Ö 116,15² + 46,43 ² = 125,1 [ Cм ]

11 . Реактивное сопротивление цепи после компенсации составило:

Х _К = 46,43 [ Ом ].

Так как реактивное сопротивление цепи увеличилось, следует говорить о недокомпенсации.

12. Активное сопротивление цепи:

R _A = 116,15 [ Ом ].

13. Вычислим полный ток RLС цепи ( Рис. 6.):

I _К = U / Z _К = 220 / 125,1 = 1,76 [ А ].

14 . Реактивная Q _К, активная Р _К и полная мощности S _К RLС цепи после компенсации равны:

Q _К = Х _К? I _К ² = 46,43 ? 1,76 ² = 143,8 [ ВАр ] ;

Р _К = R_А ´ I _К ² = 116,13 ´ 1,76 ² = 359,7 [ Вт ] ;

S _К = Z _К´ I _К ² = 125,1 ´ 1,76 ² = 387,5 [ ВА ] .

15. Коэффициент мощности RLС цепи после перекомпенсации:

Соs φ _К = Р _К / S _К= 359,7 / 387,5 = 0,93 .

16. Активный и реактивный токи RLС цепи после перекомпенсации определяются из соотношений : I _АК = I _К ´ Соs φ _К = 1,76 ´ 0,93 = 1,64 [ А ];

_____________ _________

I _ХК = I _К ´ Sin φ _К = I _КÖ1 - ( Соs φ _К ) ² = 1,76 Ö 1 - 0,93 ² = 0,65 [ А ].

17 . Векторная диаграмма RLС цепи после перекомпенсации:

0φК I AК U   I ХК I К   Рисунок 12.10 - Векторная диаграмма RLС цепи после компенсации.

Задача № 7. Решение.

1. Нпйдем полное сопротивление RL и RC цепей::

Z _RL = Ö R _L ² + X _L ² = Ö12 ² + 16 ² = 20 [ Oм ];

Z _RC = Ö R _C ² + X _C ² = Ö 12 ² + 16 ² = 20 [ Oм ].

Или в комплексной форме записи:

___ ___

Z _RL = R _L + jX_L = 12 + j16 [ Cм ]. Z _RC = R _C + jX_C = 12 – j16 [ Oм ].

2. Коэффициент мощности RL цепи составляет:

Соs φ _RL = R _L / Z _RL = 12 / 20 = 0,6 .

3. Полное сопротивление в комплексной форме записи RLRC цепи определяется выражением:

I _RL= U / Z _RL= 220 / (12 + j16 ) = 220 (12 – j16 ) / (12 ² + 16 ² ) = 6,6 – j8,8 [А];

__ __

I_RС = U / Z _RС= 220 / (12 – j16 ) = 220 (12 + j16 ) / (12 ² + 16 ² ) = 6,6 +j8,8 [ А ].

Или:

_________ ___________

I _RL = Ö I _AL² + I_XL ² = Ö 6,6 ² + 8,8 ² = 11 [ A ];

__________ ___________

I _RC = Ö I _AL ² + I _XL ² = Ö 6,6 ² + 8,8 ² = 11 [ A ]

I RС IXС   IХL I RL     I АС I АL   Рисунок 12.11 - Векторная диаграмма RLRC цепи.

4. Суммарный ток RLRC цепи:будет равен:

I = I _RL + I _RC = ( 6,6 – j8,8 ) ( 6,6 +j8,8 ) = 13,2 [ A ]

5. Векторная диаграмма RLRC цепи представлена на рисунке 4.2.6.

6. Активная мощность RLRC цепи:составит:

Р = U ´ I ´ Соs φ = 220 ´ 13,2 ´1 = 2904 [ A ]

Очевидно, что полная мощность равна активной мощности, так как коэффициент мощности RLRC цепи равен единице. Осуществлена полная компенсация реактивной мощности и наблюдается резонанс токов.

Задача № 9. Решение.

1. Резонансная частота ω [ 1 / с ] RLRC цепи определяется выражением: ω = ( R _L² – L / С ) ^0,5 ´ ( L ´ C ) ^–0,5 ´ ( R _С² – L / С ) ^–0,5

После преобразованитй получим:

ω²= ( R _L² - L / С ) ´ ( L ´ C ) ^{– 1} ´ ( R _С² – L / С ) ^{– 1} ;

ω²= [ ( R _L² С – L ) / С ] ´ [ ( L ´ C ) ´ ( R _С²´ С – L ) / С ] ^{– 1};

ω²= ( R _L² ´ С – L ) ´ ( R _С² ´ L С ² – L² ´ С ) ^{– 1};

ω² ( R _С² ´ L ´ С ² – L² ´ С ) = ( R _L² ´С – L ) ;

ω² ´ R _С² ´ L´ С ² – ω²´ L² ´ С – R _L² ´ С + L = 0 ;

( ω² ´ R _С² ´ L ) С ² – (ω² ´ L² + R _L² ) С + L = 0 .

Получили квадратное уравнение относительно емкости конденсатора С.

2. Найдем индуктивность дросселя:

L = X _L / ω = X _L /2 ´ π ´ f = 2 /2 ´ 3,14 ´ 50 = 2 / 314 = 0,00637 [ Гн ].

3. Подставим значения сопротивлений и индуктивности в квадратное уравнение и найдем емкость фазосдвигающего конденсатора С:

( 314 ² ´3 ² ´ 0,00637 ) С ² – ( 314 ² ´ 0,00637 ) С + 0,00637 = 0 ;

5653,51 С ² – 628,06 С + 0,00637 = 0 ;

___________________________

628,06 ± Ö 628,06 ² – 4 ´ 5653,51 ´ 0,00637 628,06 ± 627,95

С _1,2 = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––– =

2 ´ 5653,51 11307,02

= 0,05546 ± 0,055536 [ Ф ] ;

С ₁ = 0,9986 ´ 1 [ Ф ]; С ₂ = 0,0001 [ Ф ] = 100 [ мкФ ]

4. Вычислим реактивные сопротивления конденсаторов:

X _С1 = 1 /ω С₁ = 1 /2 ´ π ´ f´ С ₁ = 1 /2 ´ 3,14 ´ 50 ´ 1 = 0,003185 [ Ом ] ;

X _С2 = 1 /ω С₂ = 1 /2 ´ π ´ f ´ С ₂ = 1 /2 ´ 3,14 ´ 50 ´ 0,0001 = 31,85 [ Ом ] .

5. Полное сопротивление в комплексной форме записи RLRC цепи определяется выражением:

Р ₁ = U ² / R ₁ = 36 ² / 2,21 = 586 [ Вт ];

Р ₂ = U ² / R ₂ = 36 ² / 8,29 = 156 [ Вт ].

Так как коэффициент мощности этой цепи равен 1 ( Соs φ = 1 ), то полная мощность цепи соответсвенно равна:

S ₁ = U ² / Z ₁ = 36 ² / 2,21 = 586 [ ВA ];

S ₂ = U ² / Z ₂ = 36 ² / 8,29 = 156 [ ВA ].

Задача № 10. Решение.

1. Коэффициент мощности некомпенсированной RL цепи равен:

Соs φ = Р / S = Р / U ´ I = 1200 / 220 ? 11 = 0.455 .

2. После улучшения коэффициента мощности активная составляющая суммарного тока останется неизменной, поэтому справедливо равенство:

I _А = I ´Соs φ = I _К´Соs φ _К . [ А ].

Тогда ток компенсированной RLС цепи будет равен:

I _К = I ´Соs φ / Соs φ _К =11 ´ 0,455 / 0,91 = 0.455 [ А ].

3. Ток, протекающий через конденсатор С равен:

I _C = I ´Sin φ – I _К´ Sin φ _К = I ´ ( 1 – Cos ² φ ) ^0,5 – I _К´ ( 1 – Cos ² φ _К) ^0,5 =

= 11 ( 1 – 0,455 ²) ^0,5 – 5,5 ( 1 – 0,91 ²) ^0,5 =

= 11 ( 1 – 0,207) ^0,5 – 5,5( 1 – 0,83) ^0,5 = 11 ´ 0,793 ^0,5 – 5,5 ´0,17 ^0,5 =

= 11 ´ 0,89 – 5,5 ´0,41 = 9,8 – 2,25 = 7,55 [ А ].

4. Реактивная мощность конденсатора Q _C будет равна:

Q _C = I _C´ U = 7,55 ´ 220= 1661 [ ВАр ].

5. Емкость конденсатора составит:

С =1 / ω ´ Х_С = 1 /2 ´ π ´ f´ Х _С = I _С /2 ´ π ´ f´ U = I _С ´ U /2 ´ π ´ f´ U ² =