Первый замечательный предел. Непрерывность функции в точке
Примеры.
1)
2)
3)
4)
5)
Непрерывность функции в точке
Приращение функции в точке х0 определяется по формуле: DF = F(x0 + Dx) – F(x0)
· Функция F(x), определенная на множестве D, называется непрерывной в точке х0, если:
1) х0 Î D т.е. существует значение F(x0)
2) существует или
2¢) существует т.е.
Непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. функция ведет себя гладко, без разрывов. График непрерывной функции сохраняет целостность.
· Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва . В них нарушается и целостность графика функции.
Классификация точек разрыва
Классификация точек разрыва функции осуществляется по виду односторонних пределов в этих точках.
· Если существуют конечные односторонние пределы , то точка х0 называется точкой разрыва 1-го рода, а величина разности В - А называется скачком функции в точке х0.
· В частности, точка разрыва 1-го рода называется устранимой( или точкой устранимого разрыва), если односторонние пределы А и В совпадают ( но не совпадают со значением функции в этой точке, иначе была бы непрерывность)
· Все остальные точки разрыва, а именно, когда хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует, относятся к точкам разрыва 2-го рода.
· Если односторонние пределы в точке х0 конечны, равны между собой и равны значению функции в точке, то х0 является точкой непрерывности, т.е. разрыва в ней нет.
Примеры.
Исследовать функции на непрерывность:
1) Исследуем на непрерывность точку х0 = 1.
Вычисляем односторонние пределы:
Пределы конечные, одинаковые.
В этом случае смотрим на значение функции в точке х0 = 1: F ( 1 ) = - 1.
Следовательно, F ( 1 – 0) = F ( 1 + 0) ≠ F ( 1 ).
В этом случае рассматриваемая точка является точкой устранимого разрыва.
…………………………………………………………………………………………………
2)
В данном случае точкой «стыковки» графиков опять является х0 = 1.
Односторонние пределы в этой точке :
Пределы конечные, разные. Следовательно, х0 = 1 является точкой разрыва 1-го рода.
……………………………………………………………………………………………………
3) Исследуем на непрерывность точку х0 = 0
Левосторонний предел бесконечен.
Следовательно, х0 = 0 является точкой разрыва 2-го рода.
…………………………………………………………………………………………………
4) Исследуем точку х0 = 0:
Пределы конечны, одинаковы, но не совпадают со значением функции в этой точке:
F(1) = 1. Следовательно х0 = 0 является точкой устранимого разрыва.
…………………………………………………………………………………………………
5) Исследуем точку х0 = 4:
Пределы конечны и одинаковы. В этом случае могут быть устранимый разрыв или непрерывность. Значение функции в этой точке F(4) = (4 – 2)2 = 4.
Следовательно, тройное равенство: F (4 – 0) = F(4 + 0) = F( 4 )
В этом случае разрыва в точке нет, т.е. х0 = 4 – точка непрерывности функции.
……………………………………………………………………………………………………..
6) . Точками разрыва являются корни знаменателя, т.к. в них значения функции не существуют. Таких точек две: х = 2 и х = - 2. Находим односторонние пределы в точке
х = 2:
Аналогично:
Следовательно, х = 2 является точкой разрыва 2-го рода.
Пределы в точке х = -2:
Пределы конечны, одинаковы, но значения функции в этой точке не существует. Следовательно, х = - 2 – точка устранимого разрыва.
……………………………………………………………………………………