ФОРМУЛА ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ
Нехай події 
утворюють повну групу подій, тобто вичерпують усі можливі результати даного експерименту. Подія 
може відбутися за умовою появи однієї з гіпотез 
з деякою ймовірністю 
. Тоді ймовірність події обчислюється за формулою повної ймовірності
,
де 
, тобто дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з гіпотез 
на відповідну умовну ймовірність події .
Нехай тепер відомо, що результатом експерименту є подія . Її поява зумовить переоцінку апріорних (a priori (лат.) – відомих до спроби) ймовірностей гіпотез, які можна обчислити у цьому випадку за формулами Байєса
,
де 
– апостеріорні (a posteriori (лат.) – після експерименту) ймовірності гіпотез після випробування, коли стало відомо, що його результатом є подія ; – ймовірність події при умові ; 
– ймовірність події , знайдена за формулою повної ймовірності.
Формули Байєса дають можливість переоцінити ймовірності гіпотез з урахуванням результату досліду.
Задача . У комп’ютерному магазині за рік продано 1000 моніторів, 300 принтерів і 100 сканерів. Протягом гарантійного терміну в сервісний центр надходять на ремонт у середньому 0,5% моніторів, 1% принтерів і 1,5% сканерів. 1) Визначити ймовірність того, що навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару надійде протягом гарантійного терміну на ремонт у сервісний центр. 2) Навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару надійшла протягом гарантійного терміну на ремонт у сервісний центр. Яка ймовірність того, що це монітор?
Розв’язання. 1) Нехай А – подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару надійде протягом гарантійного терміну на ремонт у сервісний центр. Введемо гіпотези: Н1 – подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару – монітор; Н2 – подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана одиниця товару – принтер; Н3 – подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана одиниця товару – сканер. Події Н1, Н2, Н3 утворюють повну групу попарно несумісних подій. За умовою задачі
, 
, 
.
Перевірка: 
.
Крім того, маємо умовні ймовірності 
, 
, 
.
За формулою повної ймовірності
.
2) Нехай тепер А – подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару надійшла протягом гарантійного терміну на ремонт у сервісний центр. Введемо ті ж самі гіпотези Н1, Н2, Н3, що й у першому пункті задачі. Тоді за формулою Байєса
.
Тема 5. СХЕМА БЕРНУЛЛІ.
Нехай ймовірність появи події в кожному з 
незалежних аналогічних дослідів 
є однаковою і незалежною від результатів інших спроб тієї ж серії (ймовірність протилежної події 
). Ймовірність того, що в дослідах рівно 
разів буде успіх, тобто поява події А, обчислюється за формулою Бернуллі
.
Ймовірність того, що подія відбудеться не менш ніж 
разів, дорівнює
.
Ймовірність того, що подія настане хоча б один раз, обчислюється за формулою
.
Задача. Два шахісти умовились зіграти десять результативних партій. Ймовірність виграшу кожної окремої партії першим гравцем дорівнює 
, другим – 
(нічиї не враховуються). Чому дорівнює ймовірність: 1) виграшу всієї гри (потрібно виграти понад п’ять партій) а) першим гравцем, б) другим гравцем; 2) загального нічийного результату?
Розв’язання. Визначимо події 
: А – виграє перший гравець, В – виграє другий гравець, С – нічийний результат. Для того щоб гру виграв перший гравець, йому необхідно виграти 6, 7, 8, 9 або 10 партій. Тому, за формулою Бернуллі і теоремою додавання ймовірностей
.
Події А, В, С складають повну групу, тому
.
ПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ
САМОСТІЙНОГО
ОПРАЦЮВАННЯ МАТЕРІАЛУ