В статистической практике наиболее широко используют
следующие теоретические распределения:
• Биномиальное распределение – для описания распределения
Дискретного альтернативного признака. Оно представляет собой
Распределение вероятности исходов события, которые можно оценить как
Положительные или отрицательные.
• Распределение Пуассона - для изучения маловероятных
Событий в большой серии независимых испытаний (объем совокупностей
n ≥ 100 , доля единиц, обладающих данным признаком q ≤ 0,1). Например,
Количество бракованных деталей в массовом производстве, число отказов
автоматических линий – т.е. в статистическом контроле.
Вероятность появления таких событий подчиняется n P закону
Пуассона – «закону редких событий»:
n!
P e
n
n
λ ⋅ −λ
= ,
Где n P - вероятность события при одном испытании;
N - частота данного события
λ = n⋅ p - среднее число появления события в одинаковых условиях;
e = 2,72 - основание натурального логарифма.
Распределение Пуассона обычно применяется в статистическом
Контроле качества в массовом производстве.
• Распределение Максвелла применяется при исследовании
Признака, для которого заранее известно, что распределение имеет
Положительную асимметрию. Чаще всего Распределение Максвелла
Используется при описании технологических характеристик
Производственных процессов.
• Распределение «Стьюдента» применяют для описания
Распределения
ошибок в малых выборках ( n <30).
Плотность распределения ошибок малой выборки определяется как:
+
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⋅ +
k
T k
ϕ A t ,
Где
~
⋅ −
−
=
S n
T x x - отношение Стьюдента,
S– выборочное среднее квадратическое отклонение,
x ~
- выборочная средняя;
K=n-1- число степеней свободы при определении выборочной
Дисперсии,
K k
k
A
⋅ ⋅ ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⋅ ⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ +
⋅
=
γ π
γ
,
γ – значение γ_ функции.
Распределение Стьюдента используется только при оценке
Ошибок выборок, взятых из генеральной совокупности с нормальным
Распределением признака.
• Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Применяется для описания распределения признаков, на которые
Действуют множество независимых факторов, среди которых нет
Доминирующих.
Функция нормального распределения выглядит следующим
образом:
( )
'( ) 1 σ
σ π
ϕ
X x
X e
−
−
⋅
⋅
= ,
где ϕ '(x) - относительная плотность распределения (ордината кривой
Нормального распределения);
π =3,14, e = 2,72 - математические константы;
X - среднее значение признака в распределении;
σ- среднее квадратическое отклонение.
Для конкретного распределения среднее значение признака x и
среднее квадратическое отклонение σ являются постоянными величинами.
Графически нормальное распределение может быть представлено в
виде симметричной колоколообразной кривой (рис. 5.6):
Рис. 5.6. Нормальное распределение
К основным свойствам кривой нормального распределения
относятся:
• кривая распределения является одновершинной; координаты
вершины - {
σ 2π
; 1
⋅
x };
• кривая распределения симметрична относительно оси,
проходящей через центр распределения x = Mo = Me ;
• кривая имеет три точки перегиба: в вершине, на левой ветви
{
e
x
⋅ ⋅
−
σ π
σ
; 1 }, и на правой - {
e
x
⋅ ⋅
+
σ π
σ
; 1 };
Формат: Список
• кривая имеет две ветви, асимптотически приближающиеся к
Оси абсцисс, продолжаясь до бесконечности;
• если меняется значение x , кривая перемещается вдоль оси
Ординат, при этом форма кривой не меняется;
• если меняется значение σ , меняется форма распределения при
неизменном положении центра распределения: при уменьшении σ -
Уменьшается вариация, кривая становится более пологой, увеличивается
эксцесс; при увеличении σ - увеличивается вариация, эксцесс
Уменьшается;
• площадь, ограниченная кривой сверху и осью абсцисс снизу,
характеризует вероятность появления определенных значений признака:
если всю её принять за 100%, то в пределах x ±σ находится 68,3% всех
значений признака, в пределах x ± 2σ - 95,44% значений, в пределах x ± 3σ -
Значений признака.
Этот вывод называется правилом “трех сигм”, в соответствии, с