Такие динамические ряды отражают развитие в геометрической
Прогрессии.
Параметр b называется коэффициентом регрессии,
Интерпретируется как средний темп роста изучаемого явления в единицу
Времени.
Для нахождения параметров модели функцию предварительно
логарифмируют:
ln y = ln a + t ⋅ lnb .
Система нормальных уравнений для нахождения параметров
трендового уравнения имеет вид:
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
⋅ = ⋅ + ⋅
= + ⋅
Σ Σ Σ
Σ Σ
Lg lg lg 2
Lg lg lg
Y t a t b t
Y n a b t
.
На практике выбор формы кривой может быть основан на анализе
Графического изображения уровней ряда динамики (линейной
Диаграммы). При этом целесообразно использовать графическое
Изображение сглаженных уровней, в которых погашены случайные
Колебания.
Для оценки близости трендового уравнения эмпирическому ряду
Динамики применяется критерий Фишера (F). Фактический (расчетный)
уровень F-критерия сравнивается с теоретическим (табличным) значением:
( ) 1 1 V
V
m
F n m
Т
Т
Расч
факт =
−
−
⋅
−
=
η
η ,
Где m - число параметров;
Т η - теоретический коэффициент детерминации.
2 1 ˆ
y
Y y
Т σ
σ
η − = − ,
y− yˆ σ - остаточная дисперсия,
y σ - общая дисперсия.
Остаточная дисперсия рассчитывается по
формуле:
n
Y y
n
i
I i
Y y
Σ=
−
−
= 1
ˆ
( ˆ )
σ ;
Общая дисперсия -
n
Y y
n
i
i
y
Σ=
−
= 1
( )
σ .
Для признания модели надежной необходимо соблюдение
условия: факт крит F > F .
крит F подбирается по специальным таблицам распределения Фишера при
1 1 v = m − , v = n − m 2 и задаваемом уровне значимости α .
Для динамических рядов, имеющих небольшую длину и подверженных
Значительным колебаниям, использовать метод аналитического
Выравнивания с помощью временной функции не рекомендуется, так как
Аппроксимация практически не адаптируется к изменяющимся условиям
Формирования уровней, при появлении новых данных нужно строить
Новые модели.
Для сглаживания таких рядов динамики используются методы
Адаптивного моделирования и прогнозирования. В основе указанных
Методов лежит модель экспоненциального сглаживания. Временной ряд
Сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, в которой веса
Распределяются по экспоненциальному закону.
В качестве примера применения метода аналитического
Выравнивания рассмотрим ряд динамики, приведенный в таблице 6.5.
Таблица 6.5.
Выравнивание ряда динамики выпуска продукции
Расчет
Параметров
Показа Расчет F-критерия
Тель
Времен
И i t
Услов
Ный
Показа
Тель
Времени
I t
I y
Млн
.
Руб.
t2 y ⋅t yˆ i i y − yˆ ( ˆ )2 i i y − y
y y i − ( y y)2 i −
Январь -6 190 36 -
6,0
-6 36 -45,0 2025
Феврал
ь
-5 210 25 -
2,5
-7,5 56,25 -25,0 625
Март -4 200 16 -800 20
9,0
-9 81,0 -35,0 1225
Апрель -3 220 9 -660 21
5,5
4,5 20,25 -15,0 225
Май -2 240 4 -480 22
2,0
18 324 5,0 25
Июнь -1 230 1 -230 22
8,5
1,5 2,25 -5,0 25
Июль +1 220 1 220 24
1,5
-21,5 462,25 -15,0 225
Август +2 240 4 480 24
8,0
-8 640 5,0 25
Сентяб
Рь
+3 260 9 780 25
4,5
5,5 30,25 25,0 625
Октябр
ь
+4 260 16 1040 26
1,0
-1,0 1,0 25,0 625
Ноябрь +5 280 25 1400 26
7,0
12,5 156,25 45,0 2025
Декабр
ь
+6 270 36 1620 27
4,0
-4,0 16,0 35,0 1225
Всего 0 282
1180 28
- 1249,5 - 8900
Выравнивание проводится по линейной модели yˆ = a + b⋅t . Оценка
Параметров уравнения регрессии выполнена методом наименьших
квадратов:
235,0
= = 2820 = Σ
n
y
A млн. руб.;
6,48 6,5
2 = = = ≈ Σ
Σ
t
Yt
B млн. руб.;
Трендовое уравнение имеет вид:
yˆ = 235,0 + 6,5t .
Для оценки надежности модели определим расчетное значение F-
Критерия. Для этого предварительно рассчитаем на основе данных
таблицы 5.5:
среднее значение уровней ряда y = 232,5млн. руб.;
Остаточную дисперсию 104,1
1249.5
( ˆ )
ˆ = ≈
−
=
Σ=
− n
Y y
n
i
I i
y y σ ;
Общую дисперсию уровней ряда 741.7
( )
2 = ≈
−
=
Σ=
n
Y y
n
i
i
y σ ;
Коэффициент детерминации 1 0,14 0,86
741.7
η 2 = 1− 104,1 = − = .
10 2,84 10 28,4
0,26
0,74
2 1
12 2
1 0,86
0,86
2 = ⋅ = ⋅ =
−
−
⋅
−
= расч F .
19,39
10, 1
0,95
1 2
=
= =
=
V V
Крит F
α
;
факт крит F > F , - уравнение прямой адекватно отражает сложившуюся в
Исследуемом ряду динамики основную тенденцию.
Параметры модели можно интерпретировать следующим образом:
Коэффициент регрессии b=6,5 – показатель силы связи, означающий,
Что ежемесячно объем выпуска продукции возрастал на 6,5 млн. рублей.
Анализ сезонных колебаний
Сезонными называют периодические колебания, возникающие под
Влиянием смены времени года и других причин природного или
Социально-культурного порядка. Они имеют устойчивый характер,
Повторяются регулярно с интервалом в один год.
Их роль велика в агропромышленном комплексе, строительстве,
Транспорте, здравоохранении, торговле и т.д. При этом сезонные
Колебания в одних отраслях экономики вызывает соответствующие
Колебания в других. Таким образом, проблема сезонности носит общий
Характер для экономики страны. Как правило, сезонность отрицательно