От неравномерной осадки опор и

Основные теоремы строительной механики.

Определение перемещений

Общие понятия

– перемещения от внешних воздействий;

– перемещения от единичных безразмерных сил

 

_iF = _iFF

_iF = _iFF_n

Работа сил. Потенциальная энергия деформации

dT = dF_id_i

(теорема Б. Клайперона)

 

 

 

.

 

M_i, Q_i и N_i – силы, совершающие работу

M_k, Q_k и N_k – силы, вызывающие деформации

 

 

T = – W

Принцип возможных перемещений

(принцип Ж. Лагранжа)

 

Для того, чтобы система, имеющая идеальные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней сил на любой совокупности возможных перемещений равнялась нулю.

 

– R_qК + R_{B B} – F_1С + F_2F = 0

R_q = 1,2q

_С = _B = /1,2

_К = 0,5 _F = 0,25

 

–1,2ql0,5 + R_B /1,2– 0,5ql + +ql0,25 = 0

 

R_B = 1,02 ql

 

 

Если упругая деформируемая система под действием приложенных к ней внешних сил находится в равновесии, то при всяком возможном бесконечно малом перемещении точек этой системы сумма работ её внешних и внутренних сил равна нулю.

Основные теоремы строительной

Механики

Теорема о взаимности возможных рабоn

(теорема Бетти)

T_i= 0,5 F_{i ii} + F_{i ik} + 0,5 F_{k kk}

T_k = 0,5 F_{k kk} + F_{k ki} + 0,5 F_{i ii}

T_i = T_k

F_{i ik} = F_{k ki}

T_ik = T_ki

 

Возможная работа сил состоянияi на перемещениях, вызванных силами состояния k, равна возможной работе сил состояния k на перемещениях, вызванных силами состоянияi.

Теорема о взаимности возможных

перемещений

(теорема Максвелла)

 

_ki = _kiF_i

_ik = _ikF_k

F_iik = F_{k ki}

F_iikF_k = F_kkiF_i

_ik =_ki

 

Возможное перемещение по направлениюi от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению k, численно рано возможному перемещению по направлениюk от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению i.

Теорема о взаимности возможных реакций

(теорема Рэлея)

R_ii0 – R_kik = – R_iki + R_kk0

R_kik = R_iki

R_ki = r_kii R_ik = r_ikk

r_kiik = r_{ikk i}

r_ik = r_ki

 

Возможная реакция в связиi от единичного смещения связи k численно равна возможной реакции в связи k от смещения связи i.

Определение перемещений от внешней нагрузки

Т_Fk = 1_kF

 

 

при определении перемещений в фермах

 

 

при определении перемещений в изгибаемых системах

 

при определении перемещений в комбинированных системах

Вспомогательные состояния при определении перемещений

 

 

 

 

Способы “перемножения” эпюр

 

способ Верещагина

 

M_k = x tg

M_F dx = d

xM_F dx = xd

 

Площади и центры тяжести простейших геометрических фигур

 

 

 

 

 

, y₀₁= 1;

 

₂ = 0,5484 = 96, y₀₂ = 22/3 = 4/3;

₃ = ₂ = 96, y₀₃ = y₀₂ = 4/3;

₄ = ₁ = 128/3, y₀₄ = y₀₁ = 1;

₅ = 0,5324 = 64, y₀₂ = 12/3 = 2/3.

 

 

 

использование формул “перемножения” эпюр

 

 

 

 

h₁ = 0,52 = 1,

h₂ = 0,52 = 1,

f₁ = 0,548 + 8·4²/8 = 40,

f₂ = 0,5(48 –32) + 8·4²/8 = 24.

Пример 2

 

 

Пояса :

80 х 50 х 6 (A₁ = = 27,55 = 15,1 см²)

EA₁ = 2,0610⁸15,110^-4 = 31,10610⁴ кН= EA

Решётка:

50 х 5 (A₂ = 24,8 = 9,6 см²)

EA₂ = 2,0610⁸9,610^-4 = 19,77610⁴ кН= 0,636EA

 

Определить изменение угла между левой стойкой и раскосом во второй панели

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение перемещений от теплового воздействия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T_tk = 1 _kt

T_tk = – W_tk

 

Формула для определения перемещений от теплового воздействия

 

 

.

 

Пример 5

 

Левая стойка:

t₀₁ = 0,5(– 45^º + 15^º) = –15^ºС;

t₁ = |15^º – (– 45^º)| = 60^ºС

Правая стойка:

t₀₂ = 0,5(45^º + 15⁰) = 30^ºС;

t₂ = |15^º – 45^º | = 30^ºС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Удлинения стержней:

левая стойкая

l_1t=_tt₀₁l₁= 12010^-7(– 15^º)4,5 =

= – 0,08110^{-2 м;}

правая стойка

l_2t=_tt₀₂l₂= 12010^-730^º 4,5 = 0,16210^-2 м

 

 

 

 

Определение перемещений

от неравномерной осадки опор и