Высказывания и высказывательные формы
А — «фигура является многоугольником», составное предложение: «Не А» — «фигура не является многоугольником».
Взаимосвязь оценки воспитателя и выбора ребенка можно увидеть на рисунке 15.
Если предложение А — элементарное высказывание, то для построения отрицания следует либо предварить его словами «неверно, что...», либо поставить частицу «не» перед сказуемым (если А содержит частицу «не», то отбросить ее).
Высказывания с кванторами
Высказывательные формы можно обратить в высказывание, не только подставив значения переменных. Иногда используют другие способы.
Задание 9
Запишите натуральные числе от 1 до 9. Определите значение истинности предложений:
«Числа однозначные»; «Числа отрицательные»;
«Числа четные».
Нельзя ответить на вопрос, истинны или ложны эти предложения, так как они являются высказывательными формами. Для обращения их в высказывания необходимо уточнение, о каких числах идет речь. Для этого можно, например, в начале данных предложений поставить слова «все» или «некоторые».
Слова, которые превращают высказывательную форму в высказывание, называются кванторами. Кванторы бывают двух видов: кванторы общности («все», «любой», «всякий», «каждый?) и кванторы существования («некоторые», «существуют», «имеются», «найдется», «есть», «хотя бы один»).
При изменении вида квантора значение истинности высказывания может поменяться, а может сохраниться. Например, для чисел из задания 9 предложения: «Все числа однозначные», «Имеются однозначные числа», «Некоторые из данных чисел четные» — истинные высказывания; а предложения: «Некоторые числа отрицательные», «Все числа отрицательные», «Все числа четные» — ложные высказывания.
Обычно мы определяем значение истинности интуитивно верно. При затруднении, чтобы установить значение истинности высказываний с кванторами, надо знать некоторые правила.
Истинность высказываний с квантором общности устанавливается путем доказательства. Чтобы убедиться в ложности, достаточно привести контрпример.
Истинность высказывании с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в его ложности, необходимо провести доказательство.
Например, рассмотрим предложения для чисел из задания 9:
«Все числа однозначные» - истинное высказывание, так как, проверив каждое число (способ доказательства - полная индукция), мы убеждаемся в справедливости высказывания.
«Все числа четные» — ложное высказывание, так как, например, число 5 не является отрицательным (контрпример).
«Некоторые из данных чисел четные» — истинное высказывание, так как, например, число 4 — четное (пример).
«Некоторые числа отрицательные» — ложное высказывание, так как, проверив каждое число (способ доказательства — полная индукция), можно в этом убедиться.
В предложенных примерах использовался такой способ доказательства, как полная индукция (рассматривался каждый частный случай), возможны и другие способы доказательств (см. п. 1.9).
Часто в математических предложениях кванторы общности опускаются, но подразумеваются. Например, в предложении «Сумма углов треугольника равна 180°» квантор общности явно не звучит, но подразумевается: «Сумма углов любого треугольника равна 180°».
Задание 10
Установите значение истинности денных предложений. Свои ответы обоснуйте:
• «Любой прямоугольник является квадратом».
• «У всех выпуклых четырехугольников сумма углов рана 360°».
• «Существуют треугольники, у которых все углы тупые».
• «Существуют равносторонние треугольники».
Уже в дошкольном возрасте детей учат правильно рассуждать. Например.
Имея математическое предложение: «Хотя бы один из
предметов - мяч», рассуждаем в соответствии с правилами логики (рис. 18).