Задания для самостоятельной работы к теме №1
1. Начертите три объекта, принадлежащие объему понятия:
• геометрическая фигура,
• прямоугольник,
• квадрат.
2. Назовите три существенных свойства понятия:
• треугольник,
• ромб,
• трапеция.
3. Назовите два понятия, которые находятся в отношении рода и вида. Сравните объемы и содержание этих понятий.
4. Приведите примеры явных и неявных определений. Выявите структуру явного определения через род и видовое отличие.
5. Приведите примеры истинных и ложных высказываний с логическими связками «и», «или», «не». Установите их значение истинности.
6.Приведите примеры истинных и ложных высказываний с кванторами общности и существования. Установите их значение истинности. Ответ обоснуйте.
7. Приведите примеры дедуктивных рассуждений по правилам заключения, отрицания, силлогизма.
8. Предложите высказывание (или найдите в школьных учебниках теорему) и докажите его истинность. Проведите логический анализ своего доказательства.
9. Найдите или придумайте софизмы и выявите ошибки в этих рассуждениях.
ТЕМА 2
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Понятие множества и элемента множества
В конце XIX века возникла новая область математики — теория множеств, одним из создателей которой был немецкий математик Георг Кантор (1845 — 1918). Эта теория, несмотря на небольшой возраст, стала фундаментом всей математики.
Множество — одно из основных математических понятий, поэтому не имеет явного определения, а поясняется на примерах. Оно возникло как обобщение таких понятий, как класс, группа, совокупность, набор, стая, стадо и др.
Можно говорить о множестве домов на улице, о множестве пальцев на руке у человека, множестве углов у квадрата, множестве натуральных чисел.
Элементы множества — объекты, из которых образовано множество.
Различают множества конечные и бесконечные. Например, множество страниц в книге - это конечное множество, а множество точек на прямой — бесконечное множество.
В русском языке слово «множество» обозначает большое число предметов. В математике рассматривают не только множества с большим числом элементов, но и одноэлементные множества, а также пустое множество, которое не содержит ни одного элемента.
На рисунке 26 можно увидеть примеры различных множеств.
Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С. Для некоторых числовых множеств приняты стандартные обозначения:
N - множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Q — множество рациональных чисел;
/ - множество иррациональных чисел;
R - множество действительных чисел.
Ø — символ, обозначающий пустое множество.
Способы задания множеств
Так как понятие множества не имеет явного определения, необходимо научиться узнавать, является ли данная совокупность множеством или нет. Считают, что множество определяется своими элементами.
Множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству либо не принадлежит.
Способы задания множеств:
• перечислить все его элементы (применяется для задания множеств с небольшим количеством элементов, иногда для бесконечных, если понятно, какие элементы не указываются):
Названные способы задания множеств взаимосвязаны — если конечное множество задано с помощью характеристического свойства, то можно его элементы перечислить, и наоборот.
Задание 19.
