Решить задачу с использованием классического определения

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ

«УРАЛЬСКИЙ КОЛЛЕДЖ СТРОИТЕЛЬСТВА, АРХИТЕКТУРЫ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА»

Математика

(базовый уровень)

Методические указания и варианты контрольной работы

для студетов факультета заочного обучения

2016 г.

Выполнение и оформление контрольных работ

Слушатели выполняют контрольную работу в соответствии с учебным рабочим планом в сроки, установленные факультетом заочного обучения.

Слушатели должны выполнить один из 100 вариантов, номер которого определяется по двум последним цифрам номера зачетной книжки.

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клеточку ручкой любого цвета, кроме зеленого и красного, аккуратно и разборчивым почерком, чертежи выполняются простым карандашом с использованием инструмента.

На титульном листе следует указать фамилию, имя, отчество, номер зачетной книжки, номер варианта.

Задания в контрольных работах выполняются по порядку, согласно расположению их в варианте.

Варианты контрольной работы

Указания к выполнению контрольной работы

Примеры решения типовых задач

№ 1. Даны координаты вершин пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄.:

А₁ (0; 2; - 2), А₂ (1; 0; - 1), А₃ (0; 5; - 1), А₄ (0; 2; 1).

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂; 2) угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄; 3) площадь грани А₁ А₂ А₃; 4) объем пирамиды; 5) уравнение прямой А₁ А₂.

Решение

1. Найти длину ребра А₁ А₂.

(ед)

2. Найти угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄.

, отсюда

,

где и .

и ,

, значит, .

3. Найти площадь грани А₁ А₂ А_3.

Найдем векторное произведение векторов и .

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, т.е. S_{треугольника} = (ед2).

4. Найти объем пирамиды А1 А2 А3 А4.

Объем пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения трех векторов, т.е.

,

, и .

5. Составить уравнение прямой А₁ А₂.

- направляющий вектор прямой , точка лежит на прямой. Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид: , .

№ 2. Вычислить:

1) Примеры и решение пределов с использованием теорем о пределах:

(1+ ) = 1 + 0 = 1;

(4x3 - х + 2) = 4x3 - х + 2 =4( x)3 - х + 2= 4 * 1 - 1 + 2 = 5.

2) Примеры и решение пределов с использованием методов раскрытия неопределенностей, а также теорем о пределах:

= [ = 0, ( ) = 0] =

= =

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида , надо под знаком предела числитель и знаменатель разложить на множители и сократить их далее на общий множитель.

= = = = - 9.

=

Здесь мы также имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю (избавляемся от иррациональности в числителе):

= = =

= = =

= = = .

=

Здесь мы также имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы выражений и 1, чтобы получить разность кубов в числителе:

= = =

= = =

= = = .

3) Вычислить:

= =

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида , надо под знаком предела числитель и знаменатель дроби разделить на переменную х с наивысшим показателем.

= = =

Осталось воспользоваться теоремами о пределах, а также тем, что функции , и - бесконечно малые при х .

= = .

= =

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида , надо под знаком предела числитель и знаменатель дроби разделить на переменную х с наивысшим показателем.

= = =

Осталось воспользоваться теоремами о пределах, а также тем, что функции , и - бесконечно малые при х .

= = .

= =

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида , надо под знаком предела числитель и знаменатель дроби разделить на переменную х с наивысшим показателем.

= = =

Осталось воспользоваться теоремами о пределах, а также тем, что функции и - бесконечно малые при х .

= = .

4) Примеры и решение пределов с помощью замечательных пределов:

=

Домножим числитель и знаменатель дроби на «3» и получим:

= =

Используя теоремы о пределах и первый замечательный предел, получаем:

= 3 =3.

=

Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся предыдущим примером, получим:

= = .

=

Сведем данный предел к первому замечательному пределу, для этого сделаем замену у = х - . Тогда при х , а х = у + , откуда

= =

В числителе дроби используем формулу приведения, тогда

= = = .

(1 + ) =

В данном случае неопределенность вида , для ее раскрытия сделаем замену у = . Тогда при и исходный предел сводится ко второму замечательному пределу:

= = = = .

=

Поделив числитель и знаменатель дроби на х, сведем данный предел ко второму замечательному пределу, т.е.

= =

В числителе дроби сделаем замену у = , а в знаменателе дроби t = . Тогда и при и исходный предел сводится ко второму замечательному пределу:

= = = = .

5) Вычислить предел по правилу Лопиталя.

.

При вычислении производных используется таблица производных элементарных функций, применяются правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций, а также правило дифференцирования сложной функции.

№ 4. Найти производную сложной функции:

.

2)

.

3)

.

№ 5.1) Исследовать функцию и построить ее график.

Решение

1. Функция терпит разрыв при х = 1 и х = - 1. При всех других значениях аргумента она непрерывна. Область ее определения состоит из трех интервалов , а график из трех ветвей.

2. Функция является нечетной, так как у (-х) = -у (х), т.е.

.

Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат.

3. Найдем интервалы возрастания и убывания функции. Так как

, то

> 0 в области определения, и функция является возрастающей на каждом интервале области определения.

4. Исследуем функцию на экстремум. Так как , то критическими точками являются точки х = 1 и х = - 1 ( не существует), но они не принадлежат области определения функции. Функция экстремумов не имеет.

5. Исследуем функцию на выпуклость. Найдем :

.

Вторая производная равна нулю или не существует в точках х =0, х=1 и х =-1.

- 1 0 1 х

Точка О (0; 0) – точка перегиба графика функции.

График выпуклый вверх на интервале (-1; 0) и ; выпуклый вниз на интервалах и (0; 1).

6. Определим асимптоты графика функции. Прямые х=1 и х =-1 являются вертикальными асимптотами. Используя соответствующие формулы, выясним вопрос о наличии наклонной асимптоты:

( при ),

.

Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение у = 0.

7. Строим график:

у

- 1 0 1 х

2) Исследовать функцию у = х³ - 2х² +2х – 1 и построить ее график.

Решение

1. Область определения функции: D (f) = ( ). Функция непрерывна и определена при всех значениях х.

2. Найдем (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью ординат находим, подставив значение х = 0 в функцию у = х³ - 2х² +2х – 1:

у (0) = 0³ -2·0² + 2∙0 – 1 = - 1, откуда получаем у = - 1.

Точки пересечения с осью абсцисс находим из уравнения

х³ - 2х² + 2х – 1 = 0

Решим кубическое уравнение, для этого найдем один из корней.

При х = 1 получаем верное равенство, т.е. 13 -2∙12 + 2∙1 – 1 = 0.

Разделим х³ - 2х² + 2х – 1 на х – 1:

х³ - 2х² + 2х – 1 х – 1

х³ - х² х² – х + 1

– х² + 2х – 1

– х² + х

х – 1

х – 1

х³ - 2х² + 2х – 1 = (х - 1)(х² – х + 1).

Решим уравнение (х - 1)(х² – х + 1) = 0, х - 1 = 0 или х² – х + 1 = 0,

х = 1 D = - 3 < 0

Итак, функция проходит через точки (0; - 1) и (1; 0).

3. Исследуем функцию на четность, изменив знак аргумента на противоположный: у(- х)=(- х)³ – 2(- х)² + 2(- х) – 1 = - х³ - 2х² - 2х – 1 = - (х³ + 2х² + 2х + 1) у(х).

Получили совсем другую функцию, значит, исходная функция является функцией общего вида.

4. Функция является непрерывной, значит, нет вертикальных асимптот. Проверим, есть ли наклонная асимптота вида у = kx + b. Для этого найдем угловой коэффициент прямой:

Отсюда следует, что наклонной асимптоты нет.

5. Найдем интервалы монотонности. Вычислим производную и приравняем ее к нулю:

у' = (х³ - 2х² +2х – 1) = 3х² - 4х +2 = 0. Из уравнения 3х² - 4х +2 = 0 найдем критические точки: D = - 8 < 0. Критических точек нет, функция монотонно возрастает на всей области определения.

6. Точек экстремума нет.

7. Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции, если они есть. Вычислим вторую производную и приравняем ее к нулю:

у"= (3х² - 4х +2) = 6х – 4 = 0. Из уравнения 6х – 4 = 0 найдем точки, подозрительные на перегиб: .

Х
	–	+
У

1. На основании проведенного исследования построим график функции

у

- 1 0 1 х

- 1

№ 7.

1) Вычислить интеграл .

Решение

Данный интеграл вычисляется методом замены переменной.

Имеем:

= = = e + C = e +C.

Проверка

Если интеграл вычислен верно, то производная e +C должна равняться подынтегральной функции .

.

Вычислить интеграл .

Решение

Данный интеграл вычисляется методом замены переменной.

Имеем:

.

Проверка

Если интеграл вычислен верно, то производная должна равняться подынтегральной функции .

.

2) Вычислить интеграл .

Решение

Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим целую часть путем деления числителя на знаменатель.

=

(разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби)

,

, т.е.

.

Отсюда следует, что

и

.

Проверка

Найдем производную выражения .

.

Интеграл вычислен правильно, так как производная первообразной равна подынтегральной функции.

№ 8. Вычислить интеграл .

Решение

При вычислении определенных интегралов используются такие же методы, что и при вычислении неопределенных интегралов, но не стоит забывать о пределах интегрирования.

=

.

Решить задачу с использованием классического определения

Вероятности.

1) В урне содержатся 5 белых и 4 черных шара. Наудачу вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный.

Решение:

а) .

. Т.к. должны появиться следующие шары: , , , и т.д.

. Т.к. должны появиться следующие шары: , , , и т.д.

Поэтому .

б) . Т.к. должны появиться следующие шары: , , , , , и т.д.

.

.

2) В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что: а) все они одного цвета; б) все они разных цветов; в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш?

Решение:

а) Выбрать 3 синих карандаша из 5 можно ; 3 красных карандаша из имеющихся четырех можно выбрать способами; 3 зеленых из 3 зеленых - способами.

Следовательно, по правилу сложения, .

.

.

б) По правилу умножения число элементарных исходов, благоприятствующих событию, равно .

.

.

в) По правилу умножения .

.

.

3) Дано 6 карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются 6 карточек и располагаются в ряд в порядке появления.

Решение:

Шестибуквенные «слова» отличаются друг от друга лишь порядком расположения букв (НОЛМИЯ, ЯНОЛИМ, ОЛНИЯМ и т.д.). Их число равно числу перестановок из 6 букв, т.е. . Тогда вероятность появления слова молния равна .

№ 2.Решить задачу с использованием теорем сложения и умножения вероятностей.

1) В корзине находится 13 деталей, из них 7 стандартные. Из корзины наудачу берут последовательно (сначала одну, потом другую) две детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что обе детали стандартны.

Решение

Пусть событие С – обе взятые детали стандартные.

Событие С – сложное и состоит из двух простых событий А и В.

Сформулируем простые события А и В: событие А – первая взятая деталь стандартная; событие В – вторая взятая деталь стандартная.

Для того, чтобы наступило событие С, необходимо, чтобы события А и В произошли одновременно, следовательно, .

События А и В являются зависимыми, значит, для нахождения вероятности события С воспользуемся теоремой произведения вероятностей зависимых событий:

.

, .

Тогда .

2) Вероятность выхода из строя станка в течение одного рабочего дня равна 0,01. Какова вероятность того, что за 5 дней станок ни разу не выйдет из строя?

Решение

Вероятность того, что станок выйдет из строя в течение дня, равна . Тогда по теореме умножения вероятностей - вероятность того, что станок не выйдет из строя в течение 5 дней.

3) В ящике а белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой черный? (Вынутый шар в урну не возвращается).

Решение. Пусть:

событие А – появление белого шара при первом вынимании;

событие В – появление черного шара при втором вынимании;

событие С – появление черного шара при первом вынимании;

событие D – появление белого шара при втором вынимании.

Вычислим вероятность того, что первый вынутый шар белый, а второй черный: .

Найдем вероятность того, что первый вынутый шар черный, а второй белый:

.

Таким образом, вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный, определится по теореме сложения: , т.е.

.

№ 3.Решить задачу с использованием формулы Бернулли.

1) В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет два белых шара.

Решение.

Вероятность появления белого шара в каждом испытании равна , а вероятность не появления белого шара равна . По формуле Бернулли находим: .

№ 4.Решить задачу и использованием формулы полной вероятности или формула Байеса.

1) Имеются три одинаковые по виду урны. В первой урне 15 белых шаров, во второй – 10 белых и 5 черных, а в третьей – 15 черных шаров. Из выбранной наугад урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первой урны.

Решение.

Событие А – появление белого шара;

гипотеза - выбор первой урны;

гипотеза - выбор второй урны;

гипотеза - выбор третьей урны.

Имеем: , , , .

Искомую вероятность находим по формуле Байеса:

.

12
• 3
• 4
• Далее ⇒