МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
В математической статистике вводятся числовые характеристики выборки аналогично числовым характеристикам случайных величин в теории вероятности.
Рассмотрим выборочные характеристики для выборки объёмом n: x1, x2, ...., xn.
Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины. Для дискретной случайной величины, математическим ожиданием М(Х) называется сумма произведений значений случайной величины на вероятность этих значений.
Выборочным математическим ожиданием (выборочным средним) называют среднее арифметическое выборки. Математическое ожидание можно найти по одной из трех формул:
1) 
= 
оценка математического ожидания служит выборочная средняя. (n-объем; х-значения выборочных данных)
2) = 
данные представлены в виде вариационного ряда
3) = 
найдена частота -р
Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего. Дисперсия вычисляется по формулам:
1) D = 
2) D = 
Найдем математическое ожидание и дисперсию для примера 12, для этого вычислим средние значения интервала:
| xi | 116,5 | 119,5 | 122,5 | 125,5 | 128,5 |
| pi | 0,125 | 0,333 | 0,25 | 0,167 | 0,125 |
= 
= 14,5625 + 39,7935 + 30,625+ 20,9585+16,0625»122
D = = (116,5 – 122)2 · 0,125 + (119,5 – 122)2 · 0,333 +
+ (122,5 – 122)2 · 0,25 + (125,5 – 122)2 · 0,167 + (128,5 – 122)2 · 0,125 » 13,25
Пример
Записать в виде вариационного и статистического рядов выборку: 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4.
Определить объем и размах выборки. Вычислить математическое ожидание, построить полигон частот.
Р е ш е н и е:
Математическая статистика позволяет получать обоснованные выводы о параметрах, видах распределений и других видах свойствах случайных величин по конечной совокупности наблюдений над ними – выборке.
Вариационным рядом выборки х1, х2, …, хn называется способ ее записи, при котором элементы упорядочиваются по величине, т. е. записываются в виде последовательности х(1), х(2), …, х(n), где х(1) £ х(2) £ … х(n). Разность между максимальным и минимальным элементами выборки х(n) – х(1) = w называется размахом выборки.
Пусть выборка (х1, х2,…, хn) содержит k различных чисел х1, х2, …, хк, причем хi встречается ni раз (i = 1, 2, …, k). Число ni называется частотой элемента выборки хi.
Очевидно, что 
.
Статистическим рядом называется последовательность пар i=1 (хi, ni). Обычно статистический ряд записывается в виде таблицы, первая строка которой содержит элементы хi, а вторая - их частоты, третья строка – относительные частоты.
Для данной задачи объем выборки n = 15,
размах выборки w = 10 – 2 = 8.
Упорядочив элементы выборки по величине, получим вариационный ряд:
2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10.
Различными в данной выборке являются элементы х1 = 2, х2 = 3, х3 = 4, х4 =5, х5 = 7, х6 = 10;их частоты соответственно равны n1 = 3, n2 = 1, n3 = 2, n4 = 3, n5 = 4, n6 = 2. Следовательно, статистический ряд исходной выборки можно записать в виде следующей таблицы:
| хi | ||||||
| ni | ||||||
| рi | 0,2 | 0,07 | 0,13 | 0,2 | 0,26 | 0,13 |
Для контроля правильности находим S ni = 15, Sрi = 1.
Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Математическое ожидание можно найти по одной из трех формул:
; 
; 
= 
(2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 7 + 7 + 7 + 7 + 10 + 10) » 5,3;
= (2 · 3 + 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 3 + 7 · 4 + 10 · 2) » 5,3;
= (2 · 0,2 + 3 · 0,07 + 4 · 0,13 + 5 · 0,2 + 7 · 0,26 + 10 · 0,13) » 5,3.
Полигон частот строится следующим образом:
По горизонтали откладываем значения элементов выборки, а по вертикали – соответствующие частоты, соединяем полученные точки ломаной линией. Для данной задачи получим:
