Отражение звуковой волны от плоской границы при нормальном падении
Рассмотрим плоскую границу двух сред. Пусть волновое сопротивление первой среды равно ρ1с1, а волновое сопротивление второй среды ρ2с2 (здесь ρ – плотность соответствующей среды, а с – скорость звука в данной среде). Выберем систему отсчета таким образом, что ось Ox направлена перпендикулярно границе, которая расположена при x=0, а ось Oy направлена вдоль границы (рисунок 5.1).
Пусть плоская гармоническая звуковая волна нормально падает на границу двух сред. Звуковое давление и колебательная скорость движения частиц в первой среде могут быть представлены в виде суммы соответствующих характеристик падающей и отраженной волны:
, (5.1)
. (5.2)
Здесь ω – циклическая частота колебаний в волне, k1 = ω/c1 – волновое число в первой среде.
Во второй среде будет распространяться только прошедшая волна:
, (5.3)
, (5.4)
где k2 = ω/c2 – волновое число во второй среде.
На границе раздела (при x = 0) в соответствии с третьим законом Ньютона звуковые давления должны быть равны:
. (5.5)
Кроме того, скорость движения частиц первой и второй среды на границе также равны (вследствие закона неразрывности):
. (5.6)
Подставляя выражения (5.1) – (5.4) в граничные условия (5.5) и (5.6), получаем:
(5.7)
(5.8)
Между давлением и колебательной скоростью частиц в звуковой волне существует соотношение:
(5.9)
где знак “+” соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси, а знак “-“ – обратной волне.
С учетом соотношения (5.9) выражение (5.8) запишется в виде:
(5.10)
Решив совместно уравнения (5.7) и (5.10), получим формулы для коэффициентов отражения и прохождения звуковой волны (по давлению):
(5.11)
(5.12)
Аналогично, коэффициенты отражения и прохождения для колебательной скорости равны:
(5.13)
(5.14)
Проанализируем полученные выражения. Если ρ2с2 > ρ1с1, то есть вторая среда акустически более “жесткая”, чем первая, то r > 0, а rv < 0. Это означает, что при отражении от более “жесткой” среды скорость частиц меняет фазу на противоположную, а фаза давления остается неизменной. Если отражение происходит от абсолютно жесткой поверхности (ρ2с2 → ∞), то амплитуда звукового давления на границе удваивается по сравнению с падающей волной, а амплитуда колебательной скорости равна нулю. Таким образом, на жесткой стенке имеет место пучность стоячей волны для давления и узел стоячей волны для колебательной скорости.
При ρ2с2 < ρ1с1 (вторая среда акустически более “мягкая”) фаза колебательной скорости не изменяется, а фаза давления изменяется на π. Это означает, что на абсолютно “мягкой” границе (ρ2с2 → 0) будет узел звукового давления и пучность колебательной скорости частиц.
Наконец, при ρ2с2 = ρ1с1 коэффициент отражения равен нулю. Это означает, что отраженной волны не возникает и звук беспрепятственно проходит во вторую среду. В этом случае говорят, что среды согласованы по акустическому сопротивлению.
Так как между звуковым давлением и интенсивностью звуковой волны существует соотношение:
(5.15)
то энергетический коэффициент отражения звука от границы равен:
(5.16)
Величина, равная отношению интенсивности звуковой волны, прошедшей во вторую среду, к интенсивности падающей на границу волны, называется коэффициентом звукопоглощения поверхности раздела двух сред:
(5.17)
При нормальном падении звуковой волны на плоскую поверхность коэффициент звукопоглощения с учетом формулы (5.11) равен:
(5.18)
Рассмотрим практически важный случай, когда звуковая волна из воздуха (ρ1с1 = ρ0с ≈ 420 
) падает на плоскую поверхность материала с волновым сопротивлением R = ρ2с2. В этом случае формулы для коэффициента отражения (5.11) и коэффициента звукопоглощения (5.18) принимают вид:
(5.19)
(5.20)
Величина R1 = R/ρ0c называется волновым сопротивлением, выраженным в долях волнового сопротивления воздуха, или безразмерным волновым сопротивлением (импедансом) среды.
Если среда не является бесконечной и звуковая волна при распространении в ней поглощается, то волновое сопротивление среды является комплексным числом:
(5.21)
где R – активная часть импеданса, а Y – реактивная часть импеданса. Безразмерный импеданс:
(5.22)
Физически наличие реактивной составляющей импеданса означает, что между звуковым давлением и колебательной скоростью частиц среды существует фазовый сдвиг. Коэффициент отражения от среды с комплексным импедансом также является комплексным числом:
(5.23)
Коэффициент звукопоглощения при нормальном падении звуковой волны из воздуха на поверхность с комплексным импедансом равен:
(5.24)
Анализ формулы (5.24) показывает, что для достижения максимального значения коэффициента звукопоглощения (α = 1) необходимо, чтобы активная часть импеданса поверхности, на которую падает звуковая волна, была равна волновому сопротивлению воздуха (R = ρ0c или R1 = 1), а реактивная часть импеданса Y1 должна стремиться к нулю. При разработке звукопоглощающих материалов и конструкций ориентируются именно на эти показатели.