Кристаллографические проекции
При графическом изображении кристаллов широко пользуются различными их проекциями. Проекции применяются для решения ряда задач кристаллографии и рентгеноструктурного анализа: определения ориентировки кристаллов, индицирования рентгенограмм и т.д. Обычно ими пользуются тогда, когда нет необходимости определять межплоскостные расстояния, а требуется установить лишь взаимную ориентацию атомных плоскостей, граней и ребер кристалла. Поскольку расстояния между параллельными плоскостями кристалла равны, то всю совокупность параллельных плоскостей при построении проекций заменяют одной плоскостью, а все параллельные прямые - одной прямой.
В целом весь проектируемый кристалл заменяется пучком прямых и плоскостей, проходящих через одну точку. Полученное построение называют кристаллическим комплексом.
Таким образом, кристаллический комплекс - это совокупность прямых и плоскостей, параллельных ребрам и граням кристалла, проходящих через одну точку. Эта точка называется центром комплекса.
При проектировании кристаллического комплекса на плоскость получают линейную проекцию кристалла; при проектировании на сферу - сферическую. На линейной проекции плоскость изобразится прямой, являющейся ее следом; прямая - точкой. Неудобство этой проекции состоит в том, что для изображения всех плоскостей и прямых необходима бесконечно большая плоскость проекций. Поэтому линейная проекция применяется очень редко.
При построении сферической проекции центр сферы совмещается с центром комплекса. Очевидно, на сферической поверхности все плоскости кристаллического комплекса проектируются в виде больших кругов, стягиваемых сферой, прямые - двумя диаметрально противоположными точками. Неудобством сферической проекции при большом числе проектируемых плоскостей является сложность и громоздкость построения.
В кристаллографии, при решении многих задач, пользуются преимущественно обратным кристаллографическим комплексом, в котором плоскости заменяют нормалями к ним, а прямые - перпендикулярными к ним плоскостями. Полученная совокупность прямых и плоскостей, проходящих через одну точку 0, и носит название обратного или полярного комплекса. Точка 0 - центр комплекса.
Все проекции, полученные при проектировании полярного комплекса, имеют приставку “гномо”. Проекция полярного комплекса на плоскость носит название гномонической проекции. Плоскость (hkl) в ней изобразится точкой. Недостаток этой проекции тот же, что и у линейной, а именно для построения всей совокупности проекций плоскостей требуется очень большая площадь проекций. Чтобы устранить этот недостаток, плоскость проекций заменяют сферой. В результате получаем гномосферические проекции.
Проекцией плоскости (hkl) здесь будет точка пересечения M нормали со сферой. Положение точки M на сфере описывается в кристаллографии, выраженными в градусах: полярным расстоянием r, и долготой j. Полярное расстояние или широта отсчитывается обычно от полюса и меняется в пределах от 0 до 180° градусов.
Долготу отсчитывают от некоторого начального меридиана от 0 до 360° градусов по часовой стрелке, если смотреть с верхнего полюса.
Недостаток гномосферической проекции состоит в том, что определение положения точек на сфере проекций и решение ряда задач связано с гониометрическими измерениями (на сфере). Это неудобно.
Наиболее часто в кристаллографии пользуются гномостерео-графическими проекциями. Они включают в себя достоинства, свойственные линейным и гномоническим проекциям, а именно: комплекс проектируется на плоскость, которая ограничена кругом проекций. Здесь так же, как и в предыдущих случаях, центр полярного комплекса совмещается с центром сферы(рис.1.16). Через центр сферы проводится плоскость проекции P, которая пересекает сферу по большому кругу. Это сечение называется основным кругом проекции.
Рис.1.16. Гномостереографическая проекция.
Прямая, перпендикулярная к плоскости P и проходящая через центр О, пересекает сферу в двух точках N и S, которые называют полюсами проекций. При построении гномостереографической проекции плоскости (hkl) точку выхода ее нормали на сфере (точку M) соединяют с полюсом проекций, расположенным по другую сторону от плоскости Р. Точка пересечения прямой MS с плоскостью P (точка Q) и будет являться гномостереографической проекцией плоскости (hkl).
Легко видеть, что проекции всех плоскостей кристалла находятся в пределах большего круга. Таким образом, размеры проекции конечны и определяются радиусом сферы. В этом одно из достоинств гномостереографической проекции.
Построение гномостереографической проекции кристалла проводят, взяв только один из полюсов проекции, например S, и рассматривая нормали, направленные в одну сторону от плоскости проекций P. Тогда для каждой плоскости (hkl) получаем одну точку проекции (hkl), которую называют полюсом плоскости. Совокупность гномостереографических проекций плоскостей кристалла на большом круге проекций называется его полюсной фигурой (рис.1.17).
Рис. 1.17. Полюсные фигуры.
Вид полюсной фигуры зависит от симметрии кристалла, а также от его установки относительно плоскости проекций и прямой SN. При изменении установки кристалла все точки проекций на полюсной фигуре смещаются.
Плоскость или грань кристалла, перпендикулярная прямой SN, будет иметь проекцию в центре большого круга; все плоскости, параллельные прямой SN, спроектируются в виде точек на большом круге проекций. Все другие плоскости кристалла дадут точки проекций на остальной площади большего круга.
Рассмотрим, как будут располагаться на полюсной фигуре точки гномостереографической проекции какой-либо кристаллографической зоны (рис.1.18).
Рис. 1.18. Гномостереографическая проекция плоскостей одной зоны.
Для этого представим зону в виде полярного комплекса, выбрав за центр комплекса некоторую точку на оси зоны. В полярном комплексе зона изобразится в виде прямых - нормалей, лежащих в одной плоскости (рис.1.18), перпендикулярной оси зоны. Эта плоскость пересечет сферу по большому кругу, следовательно, выходы всех нормалей к плоскостям зоны будут также располагаться на большем круге сферы проекций.
Гномостереографической проекцией большого круга будет дуга, стягиваемая диаметром A¢A (рис.1.18). Таким образом, все точки проекций плоскостей одной кристаллографической зоны будут располагаться по дуге, стягиваемой на концах диаметром круга проекций. Если ось зоны совпадает с направлением SN, то ее проекция будет представлять собой ряд точек, расположенных по периметру большого круга проекций P. На рис.1.18 ось зоны не совпадает с направлением SN, а составляет с ней угол 90°. Индексы оси этой зоны для кубического кристалла совпадают с индексами центральной точки полюсной фигуры.
Сетки Вульфа и Закса
Для того, чтобы определить положение какой - либо плоскости или нормали в пространстве по точке ее гномостереографической проекции необходимо располагать соответствующей координатной сеткой. На сфере такими координатными линиями являются параллели и меридианы. С помощью их можно установить угловые координаты плоскости или нормали по положению точки пересечения нормали со сферой M.
На плоскости гномостереографических проекций подобную координатную сетку можно получить, проектируя на нее меридианы и параллели сферы. В зависимости от положения плоскости проекций относительно этих линий координатная сетка будет иметь различный вид.
Рассмотрим, как будут выглядеть проекции меридианов и параллелей, если плоскость проекций проходит через полюсы сферы (N и S на рис.1.18), т.е. вдоль одного из меридианов.
Полюс проекций S будет располагаться обязательно на экваторе. При этом все меридианы сферы спроектируются в виде дуг (рис.1.19,а), стягиваемых диаметром основного круга проекции BD. Параллелям также будут отвечать дуги, расположенные в поперечном направлении. Построенная координатная сетка была предложена Вульфом и носит его имя. Все дуги на сетке Вульфа соответственно также называются меридианами и параллелями, а окружность АВСД - окружностью основного круга проекций. Понятно, что система отсчета углов по сетке проекций иная, чем на сфере, но находится с ней в соответствующей зависимости. Поэтому сетка Вульфа позволяет установить угловые координаты нормали к плоскости (hkl).
Система отсчета по сетке Вульфа такова, что одна координата r отсчитывается от центра, а другая j - от правого конца экватора по основному кругу проекций (рис.1.19,а). С помощью сетки Вульфа решается большое число задач, причем в процессе их выполнения сетка перемещается только вокруг центра О.
Рис. 1.19. Сетки Вульфа (a) и Закса (б).
Если принять за плоскость гномостереографических проекций горизонтальную, пересекающую сферу проекций по экватору, то получим координатную сетку Закса (рис.1.19,б). Полюс проекций в этом случае будет совпадать с одним из полюсов сферы. Сетка Закса является полярной сеткой. Здесь меридианы образуют радиусы; а параллели - концентрические окружности. С помощью этой сетки легко строить проекцию плоскости или точки, откладывая одну координату, например, r от центра и угол j по окружности (рис.1.19,б). Однако она не дает возможности измерить углы между произвольными плоскостями по их проекциям, тогда как с помощью сетки Вульфа это делается просто.
Проекции параллелей и меридианов на сетках Вульфа и Закса наносятся через каждые 2°, что определяет точность построений. Иногда применяют комбинацию сеток Вульфа и Закса. Такие комбинированные сетки облегчают проведение различных построений и измерений.
Примеры построений и решения задач с помощью сетки Вульфа
1) Построить проекцию плоскости (hkl), если заданы сферические углы - координаты j и r в системе отсчета, соответствующей сетке Вульфа.
Для построения точки r, j откладываем на кальке по основному кругу угол j. Концентрическим поворотом кальки – при совмещении центра кальки и центра сетки Вульфа – приводим полученную точку на конец одного из диаметров сетки Вульфа (экватора или главного меридиана) и, отсчитав по нему угол r, наносим на кальке искомую точку r, j.
2) Измерить угол a между плоскостями (h1k1l1) и (h2k2l2) по точкам их гномостереографических проекций на полюсной фигуре.
Рис.1.20. Замер угла между плоскостями по сетке Вульфа.
Для этого совмещаем полюсную фигуру, скопированную на кальку, с сеткой Вульфа, равного диаметра. Поворачивая кальку вокруг общего центра, приводим обе проекции, т.е. точки h1k1l1 и h2k2l2 на один меридиан сетки (рис.1.20). Отсчет угла проводим вдоль этого меридиана.
Если выходы нормалей на сфере в процессе геометрических преобразований окажутся по разные стороны от плоскости проекций P (рис.1.16), то угол между ними измеряют следующим образом. Мы смотрим на сетку Вульфа со стороны диаметра, противоположному полюсу S. Точки проекций располагаем на симметричных меридианах. Отсчет угла производим вначале по одному меридиану от точки h1k1l1 до полюса, а затем по другому меридиану от полюса до точки h2k2l2 (рис.1.20).
3) При повороте кристалла проекция плоскости (hkl) смещается из положения 1 в положение 2. Определить угол и ось поворота.
Концентрическим поворотом приводим точки 1 и 2 на одну параллель; ось поворота совпадает при этом с вертикальным диаметром сетки; угол поворота равен углу между точками проекций, измеренному вдоль параллели.
4) Найти проекцию дуги большого круга, на которой лежат две заданные точки проекций h1k1l1 и h2k2l2.
Обе точки концентрическим поворотом кальки приводятся на один меридиан. Этот меридиан и есть искомая дуга большого круга. Две заданные точки проекций, так же как и все другие точки проекций, попадающие на один меридиан, будут являться проекциями плоскостей одной кристаллографической зоны. При этом точка с индексами оси зоны должна находиться на экваторе.
ГЛАВА II