Противоречия между несмещенностью и минимальной дисперсией
Установлено, что для оценки желательны несмещенность и наименьшая возможная дисперсия. Эти критерии совершенно различны, и иногда они могут противоречить друг другу. Может случиться так, что имеются две оценки теоретической характеристики, одна из которых является несмещенной (A на рис. 8), другая же смещена, но имеет меньшую дисперсию (B).
Рис. 8.
Оценка A хороша своей несмещенностью, но преимуществом оценки B является то, что ее значения практически всегда близки к истинному значению. Какую из них выбрать?
Данный выбор зависит от обстоятельств. Если возможные ошибки не очень тревожат при условии, что за длительный период они «погасят» друг друга, то, по-видимому, вы выберете A. С другой стороны, если для вас приемлемы малые ошибки, но неприемлемы большие, то вам следует выбрать B.
Формально говоря, выбор определяется функцией потерь, стоимостью сделанной ошибки как функцией ее размера. Обычно выбирают оценку, дающую наименьшее ожидание потерь, и делается это путем взвешивания функции потерь по функции плотности вероятности.
Влияние увеличения размера выборки на точность оценок
Будем по-прежнему предполагать, что мы исследуем случайную переменную x с неизвестным математическим ожиданием 
и теоретической дисперсией 
и что для оценивания используется 
. Каким образом точность оценки x зависит от числа наблюдений n?
При увеличении n оценка , вообще говоря, становится более точной. В единичном эксперименте большая по размеру выборка необязательно даст более точную оценку, чем меньшая выборка, но общая тенденция должна быть именно такой. Поскольку дисперсия выражается формулой 
, она тем меньше, чем больше размер выборки, и, значит, тем сильнее «сжата» функция плотности вероятности для .
Это показано на рис. 9. Предположим, что x нормально распределена со средним 25 и стандартным отклонением 50. Если размер выборки равен 25, то стандартное отклонение величины , равное 
, составит: 
. Если размер выборки равен 100, то это стандартное отклонение равно 5. На рис. 9 показаны соответствующие функции плотности вероятности. Вторая ( 
) выше первой в окрестности , что говорит о более высокой вероятности получения с ее помощью аккуратной оценки. За пределами этой окрестности вторая функция всюду ниже первой.
Рис. 9.
Чем больше размер выборки, тем уже и выше будет график функции плотности вероятности для . Если n становится действительно большим, то график функции плотности вероятности будет неотличим от вертикальной прямой, соответствующей 
. Для такой выборки случайная составляющая x становится действительно очень малой, и поэтому обязательно будет очень близкой к . Это вытекает из того факта, что стандартное отклонение , равное , становится очень малым при больших n.
В пределе, при стремлении n к бесконечности, стремится к нулю и стремится в точности к .
Состоятельность
Вообще говоря, если предел оценки по вероятности равен истинному значению характеристики генеральной совокупности, то эта оценка называется состоятельной. Иначе говоря, состоятельной называется такая оценка, которая дает точное значение для большой выборки независимо от входящих в нее конкретных наблюдений.
В большинстве конкретных случаев несмещенная оценка является и состоятельной.
Иногда бывает, что оценка, смещенная на малых выборках, является состоятельной (иногда состоятельной может быть даже оценка, не имеющая на малых выборках конечного математического ожидания). На рис. 10 показано, как при различных размерах выборки может выглядеть распределение вероятностей. Тот факт, что при увеличении размера выборки распределение становится симметричным вокруг истинного значения, указывает на асимптотическую несмещенность. То, что, в конечном счете, оно превращается в единственную точку истинного значения, говорит о состоятельности оценки.
Рис. 10.
Оценки, типа показанных на рис. 10, весьма важны в регрессионном анализе. Иногда невозможно найти оценку, несмещенную на малых выборках. Если при этом вы можете найти хотя бы состоятельную оценку, это может быть лучше, чем не иметь никакой оценки, особенно если вы можете предположить направление смещения на малых выборках.
Приложение 2