Функция. Основные свойства функций
Переменная величина, характеризующая какой-то процесс, обычно возникает не индивидуально, а в связи с другими переменными величинами. Дело в том, что процессы, протекающие в окружающем мире, являются достаточно сложными и характеризуются многими переменными величинами, связи между которыми составляют закономерности, проявляющиеся в ходе данного процесса. Кроме того, любой процесс происходит не изолированно, а во взаимодействии с другими процессами.
Пример. Состояние газа при фиксированной температуре характеризуется давлением 
и объемом 
, занятым газом. Эти переменные величины связаны зависимостью 
, где 
- постоянная (закон Бойля-Мариотта).
Математическую основу изучения связей между переменными величинами составляет понятие функциональной зависимости переменных величин или понятие функции.
Определение. Функциейf с областью определения D и областью значений Е называется некоторое отображение из D в Е, т. е. соответствие, при котором каждому элементу 
сопоставляется единственный элемент 
.
Буква 
(или 
) употребляется для обозначения функции чаще других, так как является пер-
вой буквой слова "funktion" - "функция". Иногда функции записываются и так: 
; 
и т.д. При таких записях как бы "экономят" букву: и значение функции, и закон соответствия обозначают одной буквой. Понятие функции является основным понятием математического анализа. Что надо знать, чтобы была задана функция? Прежде всего, должна быть известна область значений аргумента 
. Эта область значений аргумента называется областью определения функции. Затем мы должны знать, как по любому значению из области определения находится соответствующее ему значение
. Правило 
, согласно которому по любому значению из области определения находится соответствующее этому значение , называется законом соответствия для данной функциональной зависимости.
Таким образом, для того чтобы функция была определена, надо знать: а) область определения; б) закон соответствия. Обычно функция задается аналитически - какой-нибудь формулой. Иногда закон соответствия задается разными формулами на разных участках ее области определения.
Примеры
1) Если D - множество всех студентов КазНТУ, а. Е -множество всех его институтов, то в качестве функции можно взять соответствие каждому студенту института у, на котором он учится.
2) Пусть D - множество всех векторов в пространстве, а 
.
Функция 
сопоставляет каждому вектору 
D его модуль у Е .
3) Площадь круга радиуса : 
Область определения этой функции 
, т.е. 
; закон соответствия задан формулой 
.
4) 
Область определения этой функции - отрезок 
; закон соответствия задан разными формулами на разных участках: 
при 
и 
при 
.
5) 
. Область определения [0;4]. Область значений [0;2].
Способы задания.
а)Табличный. Функция может быть задана в виде таблицы.
Например, пусть температуру Т воздуха измеряют через каждый час. Тогда каждому моменту времени t= 0,l,...,24 соответствует определенное число 
(таблица 1):
Таблица 1
| t | ... | ||||
| Т | Т 
| T 
| Т 
| ... | T24 |
Таким образом, получена функция 
, определённая на множестве целых чисел от 0 до 24, заданная таблицей. Этот способ не даёт полной характеристики функции, поскольку в таблицу часто невозможно внести все точки из области определения функции.
Например,
Таблица 2
| х | –1 | ||
| у |
соответствует и функции 
и 
.
б) Графический. Графиком функции называется множество точек (х,у) плоскости 
таких, что 
и 
. График даёт наглядное представление о характере поведения функции.
Пусть задана функция . Возьмем на плоскости систему декартовых координат XOY. Рассмотрим множество 
точек на плоскости 
, абсциссами которых являются значения аргумента , а ординатами -соответствующие значения функции 
. Множество называется графиком функции .
Y Г
 |
0 x
Рис. 6
Построение графика функции дополняет аналитический {или какой-нибудь другой) способ задания функции, так как делает наглядным ход ее изменения. Во многих технических устройствах график функции возникает и как самостоятельный способ задания функции. Приборы вычерчивают график зависимости одной величины от другой (чаще всего от времени).
в) Аналитический. Аналитическим способом, т. е. с помощью одной формулы можно задавать только элементарные функции. Это самый универсальный способ задания функции, из которого можно получить и таблицу и график.