Логическая корректность рассуждения 2 страница

В зависимости от характера подтверждающих следствий из индуктивного предположения можно сформулировать производные схемы индуктивного вывода.

Рассмотрим пример. Допустим, надо выяснить личностные качества определенного человека, кото­рые по предположению являются достаточно высо­кими (Т). Что мы в этом случае делаем? Обращаемся к его товарищам, хорошо знающим образ жизни это­го человека. Каждая полученная от них положитель­ная характеристика (А1Г ..., Ап) делает предположе­ние Т все более и более правдоподобным. Индуктив­ная схема рассуждения в таком случае имеет следующий вид:

Ах, ..., Ап_х — ранее подтвержденные следствия

А истинно

Т несколько более правдоподобно

Теперь обратимся с тем же вопросом к коллеге, знающему интересующего нас человека по работе. Как его подтверждение (Ап+1) положительной харак­теристики личности будет влиять на степень досто­верности индуктивного предположения Т? Очевидно, что подтверждение нового следствия Ап+1 имеет го­раздо большее значение, чем сделанные ранее, так как оно отличается от однопорядковых подтвержде­ний А1? ..., Ап. Индуктивная схема рассуждения в этом случае выглядит следующим образом.

Т=>АХ, ..., Т=»Ап, Т=>Ап+1

At, ..., А — ранее подтвержденные однопорядко-вые следствия

Ап+1 отличается от А1? ..., Ап

Ап+1 истинно

Т значительно более правдоподобно.

Итак, в индуктивном рассуждении подтвержде­ние нового следствия имеет большее или меньшее значение в зависимости от того, более или менее это новое следствие отличается от ранее подтвержден­ных следствий.

Другой пример. В квартирной краже подозревает­ся приходящая домработница (Т), которая имела свои ключи от квартиры (Ах) и обычно занималась убор­кой во время, совпадающее с моментом совершения кражи (А2). Схема индуктивного рассуждения в этом случае имеет следующий вид.

aj вполне вероятно

Ах истинно

Т правдоподобно

А2 маловероятно без Т

Т значительно более правдоподобно.

Итак, в индуктивном рассуждении подтвержде­ние следствия имеет большее или меньшее значение в зависимости от того, более или менее само по себе вероятно данное следствие. Подтверждение наиболее неожиданного следствия является наиболее убеди­тельным.

До сих пор мы рассматривали случаи индуктив­ных рассуждений, в которых индуктивные подтвер­ждения являлись дедуктивными следствиями ин­дуктивного предположения. Такого типа рассужде­ния характерны для операции и vkthbhoto обобщения. Изменим несколько рассматриваемую ситуацию.

Допустим, требуется опровергнуть предположение Т. Попытка его дедуктивного опровержения, то есть доказательства -т Т, не принесла успеха, но в процес-


се анализа выяснилось, что предположение Т явля­ется дедуктивным следствием из общего основания А, относительно которого можно сказать определен­но, истинно оно или ложно. Тогда возможны две схе­мы логического контроля за рассуждением — де­дуктивная и индуктивная.

Доказательная схема подтверждения А=>Т

А истинно

Т истинно

Итак, когда основание, подтверждающее индуктив­ное предположение, опровергается, степень правдопо­добности данного предположения в индуктивном рассуждении уменьшается.

Исследуем два противоречивых предположения Tj и Т2, соперничающих между собой. С точки зре­ния классической логики ясно, что если Т1 истин­но, то Т2 ложно, и наоборот. В научно-исследова­тельской практике этот ответ не столь однозна­чен, так как здесь принцип двузначности не всегда предполагается; поэтому конкурирующие гипоте­зы скорее несовместимы, то есть не могут быть совместно истинными, чем противоречивы. Если доказано, что одно из предположений, скажем, Тг истинно, то, конечно, гипотеза Т2 опровергается. Однако, если Tj ложно, то Т2 может быть и истин­ным и ложным, но, скорее всего, истинным, так как данные два предположения конкурируют меж­ду собой. Таким образом, имеются две схемы рас­суждений.


Доказательная схема Эвристическая схема

выбора выбора

Tj несовместимо с Т2 Tt несовместимо с Т2

Tj истинно Tj ложно

Т2 ложно Т2 более правдоподобно

Итак, если в индуктивном рассуждении опровер­гается конкурирующее данному индуктивное пред­положение, то степень правдоподобности данного предположения увеличивается.

«Мы знаем, что вероятность хорошо установлен­ной индукции велика, но когда нас просят назвать ее степень, мы этого сделать не можем. Здравый смысл говорит нам, что некоторые индуктивные аргументы сильнее, чем другие, и что некоторые являются очень сильными. Но насколько сильнее или насколько сильными, выразить мы не можем» (Джон Кейнс).

Упражнения

4.7. Определите, какие из приведенных ниже рассуждений являются дедуктивными, а какие индуктивными? Укажите схему рас­суждения.

1. Мыслю, следовательно, существую.

2. Существую, следовательно, мыслю.

3. Понять — значит — решить.

4. Решить — значит — понять.

5. Подтвердил, следовательно, доказал.

6. Доказал, следовательно, подтвердил.

7. 3 < 4, следовательно, 3 < 5.

8. 3 < 4, следовательно, 5 < 6.

4.8. Найдите индуктивное обобщение, то есть пра­вило, которому подчиняются следующие по­следовательности . 1.0,1,4,9,16,25,36...

2. -1,1, 3, 5, 7, 9,11...

3. -2,0,2,4,6,8,10... 4.2,3,4,6,8,12,14...

4.9. Два игрока поочередно покрывают круглый стол одинаковыми монетами по одной за каждый ход. Игрок, который кладет на стол последнюю монету, забирает все деньги. Ка­кой игрок должен выиграть, если каждый играет наилучшим образом? Найдите реше­ние задачи в случаях, когд'а стол имеет квад­ратную, прямоугольную, любую форму. Ука­жите типы индуктивных рассуждений, при­мененных в решении задачи. (Начните решение с крайнего частного случая, когда стол настолько мал, что покрывается моне­той с первого хода.)

4.10. Решите следующие анаграммы и определи­те недостающее слово. Укажите тип приме­няемого индуктивного рассуждения.

1. КЕАР РЕОЗО РЕОМ ?

2. ? ЯРМЯПА СПОЛЬСТОК.

3. ЩИНЕЯХИ: ? БАРЖЕГ ЗАЙРОБ.

4.11. Решите пример из раздела «Элиминативная индукция ».

4.12. Решите следующие анаграммы и распреде­лите полученные слова по группам. Укажите

виды логических операций и типы рассуж­дений, используемых при решении задачи.

КИЛАОГ СТОРПОКУП КЕТАФИОН
СПЕРУТПЕЛИНЕ КИРТАРИО

КАСТИССИН ШОНВАРЕНИРАПУ
ФОГИЛЯМОРО ТАКИЕКИДАЛ.

4.13. (Д.Пойя) Подсудимый обвиняется во взры­ве яхты отца своей приятельницы. Обвине­ние предъявляет суду документ, подтвержда­ющий покупку обвиняемым накануне неко­торого количества динамита. Постройте схему индуктивного рассуждения и определите сте­пень достоверности подтверждения, предъяв­ленного стороной обвинения.

4.4. Рассуждение по аналогии

Рассуждением по аналогии называется тип правдоподобного рассуждения, в котором делается вывод о принадлежности некоторого признака од­ной системе на основании принадлежности данно­го признака другой системе, если две сравнивае­мые системы сходны по ясно определенным кри­териям.

Аналогия свойств — рассуждение, в котором делается вывод о принадлежности некоторого свой­ства элементу одной системы на основании при­надлежности подобного свойства элементу другой системы, сходной с первой по ясно определенным критериям.

 


 


СТРОНЦИЙ АСПЕКТ ПРИПЕВ ?

Аналогия отношений — рассуждение, в кото­ром делается вывод о некотором отношении между элементами одной системы на основании установлен­ного подобного отношения между элементами дру­гой системы, сходной с первой по ясно определен­ным критериям.


 


1. СОФА 2. НОС ? 2. НОС 3. ?

Аналогией предметов называется рассуждение, в котором делается вывод о принадлежности некото­рого элемента одной системе на основании принад­лежности подобного элемента другой системе, если две системы сходны по ясно определенным крите­риям, а сравниваемые элементы аналогичны по свой­ствам или отношениям.


?

•

миля

досьол

(анаграмма)

ДОЛЯ

 


Распространенная аналогия — рассуждение, в котором делается вывод от сходства явлений к сходству причин. Примером распространенной ана­логии является диагностирование.

Строгая аналогия — рассуждение, в котором делается вывод от сходства двух предметов по одно­му признаку к их сходству по другому признаку, если сравниваемые признаки взаимозависимы.

Упражнение

4.14. Решите все задачи, приведенные в каче­стве примеров рассуждения по аналогии. Составьте свои примеры для всех типов ана­логии.

4.5. Силлогистика

Исторически первой дедуктивной теорией рассуж­дения является учение Аристотеля о силлогизмах, которое в последующем получило название «тради­ционная логика». В силлогистике анализируются правила заключения из посылок, выраженных в ка­тегорической форме безусловных атрибутивных суждений о принадлежности данного свойства рас­сматриваемому предмету.

Категорические суждения по качеству делятся на утвердительные и отрицательные. Структура утвердительных категорических суждений имеет вид 5 есть Р, где S является субъектом суждения, то есть термином, обозначающим понятие предмета суж­дения; Р — предикат суждения, то есть термин, обо­значающий понятие свойства, приписываемого предмету суждения. Пример утвердительного сужде­ния: «Человек — это разумное существо». Отри­цательные категорические суждения имеют струк­туру S не есть Р. Например, «Обвиняемый не обя­зан доказывать свою невиновность».

Категорические суждения по количеству делятся на общие и частные. Суждение называется общим, если объем понятия, обозначенного субъектом суж­дения, полностью включается в объем понятия, обо­значенного предикатом суждения, либо полностью исключается из этого объема. Структура общих кате­горических суждений имеет вид Все S есть Р или Все S не есть Р. Например, «Все люди смертны», «Лю­бое простое число не делится на 12». Утвердительное суждение называется частным, если пересечение объе­мов субъекта и предиката суждения, по крайней мере, не пусто. Например, «Существует простое четное чис­ло». Отрицательное суждение называется частным, если, по крайней мере, один элемент объема субъекта суждения не включается в объем предиката сужде­ния. Например, «Некоторые студенты не посещают занятия». Структура частных категорических суж­дений имеет вид Некоторые S есть Р или Некото­рые S не есть Р. Таким образом, можно различать общеутвердительные (А), общеотрицательные (Е), час-тноутвердительные (1) и частноотрицательные (0) ка­тегорические суждения.

Простым категорическим силлогизмом на­зывается рассуждение в форме последовательности трех категорических суждений, заключение которого имеет субъектно-предикатную структуру (есть Р), а две посылки объединены средним термином (М). Простой категорический силлогизм имеет следую­щий вид:

Е Любой честный человек не любит лжецов М Р
А Каждый принципиальный человек честен SM

Е Все принципиальные люди не любят лжецов SP

Квалификация категорических суждений, образу­ющих простой категорический силлогизм, по каче­ству и количеству называется модусом силлогизма. Таким образом, представленный выше силлогизм имеет модус ЕАЕ. Распределение среднего термина в посылках простого категорического силлогизма определяет фигуру силлогизма. Возможны следую­щие четыре фигуры силлогизма:

1 фигура 2 фигура 3 фигура 4 фигура

МР РМ МР РМ

SM SM MS MS

SP SP SP SP

Таким образом, представленный выше силлогизм имеет первую фигуру.

Совершенным силлогизмом называется логи­чески корректный силлогизм, в котором заключе­ние логически следует из посылок. Каждой фигу­ре силлогизма соответствует последовательность модусов, определяющих совершенный категоричес­кий силлогизм.

1 фигура: ААА ЕАЕ All ЕЮ (AAI ЕАО)

2 фигура: ЕАЕ АЕЕ ЕЮ АОО (ЕАО АЕО)

3 фигура: AAI IAI АН ЕАО ОАО ЕЮ

4 фигура: AAI АЕЕ IAI ЕАО ЕЮ (АЕО) д В скобках указаны производные модусы совер­шенных силлогизмов. Например, модус AAI первой фигуры произведен от модуса ААА. Таким образом, приведенный выше простой категорический силлогизм относится к числу совершенных силлогизмов, так как имеет первую фигуру и модус ЕАЕ, содержа­щийся в таблице модусов для первой фигуры.

Проверка логической корректности простого ка­тегорического силлогизма может осуществляться совмещением круговых схем, построенных для каждой из двух посылок. В совершенном сил­логизме такая операция иллюстрирует соотноше­ние объемов субъекта и предиката, утверждаемое в заключении силлогизма. Для приведенного выше категорического силлогизма круговые схемы име­ют следующий вид:

 

Из схемы видно, что объемы субъекта и предика­та не пересекаются.

Простой категорический силлогизм может быть логически корректным, но ненадежным, если одна из посылок в нем окажется ложной. Рассмотрим при­мер такого силлогизма.

МР SM

Е Все выдающиеся писатели не люди SP

Силлогизм относится ко второй фигуре и имеет модус АЕЕ. Проверка по таблице модусов совершен­ных силлогизмов показывает, что он является логи­чески корректным рассуждением. Однако, в зависи­мости от конкретной интерпретации термина «смер­тей» — физической или же социальной — одна из посылок оказывается ложной. Таким образом, дан­ный силлогизм логически корректен, но не надежен. Если же в первой посылке средний термин интерпре­тировать как «физически смертей», а во второй посылке — «социально бессмертен», то возникает ошибка подмены понятий в среднем термине. То есть посылки в рассуждении не объединены средним тер­мином (одним и тем же по значению) и данное рассуждение вообще не является силлогизмом.

Рассуждения в обычном разговорном языке не всегда имеют стандартную форму простого катего­рического силлогизма, поэтому проверке логической корректности силлогизма должен предшествовать этап его стандартизации. Рассмотрим следующий пример силлогизма:

Только люди верят в конец света

Нет человека, не верящего в гармонию мира

Никто из неверящих в гармонию мира не верит в конец света.

Ни одно из категорических суждений, образую­щих данный силлогизм, не имеет стандартной струк­туры. Преобразуем каждое суждение силлогизма в стандартную форму следующими операциями:

Обращение: Все, кто верят в конец света,

являются людьми.

Превращение: Все люди верят в гармонию мира.
Противопоставление Все, кто верят в конец света, верят
предиката: в гармонию мира.

Обращением называется преобразование сужде­ния, в результате которого субъект исходного сужде­ния становится предикатом результирующего, а пре­дикат исходного — субъектом результирующего. Превращением называется преобразование суждения в суждение, противоположное по качеству с предика­том, противоречащим предикату исходного суждения. Противопоставлением предикату называется пре­образование суждения, в результате которого субъек­том становится понятие, противоречащее предикату, а предикатом — субъект исходного суждения.

Наконец, переставим местами посылки рассуж­дения и получим стандартную форму простого кате­горического силлогизма:

А Все люди верят в гармонию мира М Р
А Все, кто верят в конец света, являются людьми SM

А Все, кто верят в конец света, верят и в гармонию
мира SP

Полисиллогизмом называется последователь­ность простых категорических силлогизмов, в кото­рой заключение предшествующего силлогизма явля­ется посылкой последующего. Например, «Никто не верит политикам. Каждый верит в себя. Верящий в себя, не верит политикам. Политик верит в себя. Зна­чит, он не верит политикам».

Энтимемой называется простой категоричес­кий силлогизм, в котором опущена посылка или

заключение. Например, «Действительность разумна. Следовательно, действительность подвержена сомнению». Соритом называется полисиллогизм с опу­щенными промежуточными посылками или заклю­чениями. Например, «Девушки не любят, когда с ними спорят. Девушки не могут быть философами. Поэто­му некоторые девушки никогда не ошибаются».

Упражнения

4.15. Проверьте логическую корректность силло­гизма, полисиллогизма, знтимемы и сорита, представленных выше в качестве примеров, на круговых схемах. Для энтимемы и сори­та предварительно реконструируйте опущен­ные промежуточные шаги рассуждения.

4.16. Проверьте логическую корректность и надеж­ность следующих простых категорических силлогизмов, предварительно представив их в стандартной форме. Проверку проведите по таблицам совершенных силлогизмов и ме­тодом круговых схем.

1. Только в споре рождается истина.

Кет такого спора, в котором бы один не был глупцом, а другой мошенником.

Истина открывается глупцом или мошенником.

2. Некоторые высказывания противоречивы. Лишь непротиворечивое возможно.

Существуют невозможные высказывания.

3. Если и есть любители получать двойки, то это не студенты. Все студентки любят мороженое.

Некоторые любители мороженного не любят получать двойки.


Классическая логика

 


5.1. Язык классической логики

Классическая логика предикатов является рас­ширением классической логики высказываний за счет более глубокого и детального анализа структу­ры языковых выражений. Элементарными осмыслен­ными выражениями языка логики высказываний являются атомарные формулы и соответствующие им атомарные высказывания типа: «Сегодня прекрас­ная погода», «Я получил двойку на экзамене» или «Политическая ситуация в настоящее время харак­теризуется стабильностью». Однако логика выска­зываний обладает слабыми выразительными возмож­ностями своего формального языка. В ней с помо­щью логических операторов и связок — отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивален-ции, изучаются логические правила построения или образования структурно более сложных формул язы-

ка, а также логические правила преобразования од­них логических структур языка в другие методом эквивалентных преобразований, либо методом дедук­тивного вывода некоторой формулы языка из пред­шествующих ей в логическом выводе формул. Ска­жем, высказывание «Если я не принесу цветы, то она обидится на меня», то есть —iA—»В, эквивалентно пре­образуется в высказывание «Неправда, что я не при­несу цветы, но она не обидится», —|(-|Ал —iB). Вы­сказывание «Он знает логику», А, логически выводи­мо из пары высказываний: «Если он не знает логику, то он глуп», —1 А—>В, и «Он не глуп», —iB, то есть име­ется дедуктивный вывод: —iA->B, —iB=>A.

Очевидная слабость выразительных возможнос­тей формального языка логики высказываний за­ключается в том, что в нем не проводится логичес­кий анализ структуры самого атомарного высказы­вания. Тот факт, что этот недостаток языка логики высказываний не является тривиальным, можно про­демонстрировать на следующих примерах. Интуи­тивно ясно, что высказывание «Все политики — болтуны» можно эквивалентно преобразовать в вы­сказывание «Не существует молчаливых не болтли­вых политиков», однако данная логическая интуи­ция не может быть прояснена средствами логики высказываний. Другой пример: этих средств недо­статочно для обоснования вывода: Бога нет («меди­цинский факт»). Значит, я не бог. Примеры пока­зывают ограниченные выразительные возможности языка логики высказываний и определяют необхо­димость его расширения.

Формальный язык классической логики преди­катов полностью содержит все логические прави­ла образования и преобразования формул языка,

принятые в логике высказываний. В то же время в нем проводится дальнейший анализ, связанный со структурой атомарных высказываний. По аналогии с силлогистикой, в которой простое категорическое суждение рассматривается в его субъективно-пре­дикатной структуре, в атомарном высказывании языка логики предикатов выделяются предметные или индивидные символы и предикатные символы. Индивидные символы выражают в языке логики предикатов, как обычно, собственные имена или еди­ничные термины, которые в качестве своих значе­ний указывают на отдельные предметы, индивиды из фиксированного предметного индивидного уни­версума мышления. Например, собственное имя «Анна» указывает в качестве своего значения на человека в контексте фиксированной группы лю­дей. Имя «Венера» в контексте астрономии указы­вает на планету Солнечной системы, а в контексте древнегреческой мифологии — на богиню любви. На отдельные, единичные, индивиды из предметно­го универсума указывают и такие термины, как «этот человек», «данный прецедент», «определенная выше ситуация» и так далее. Термины, указывающие на единичные предметы из универсума мышления в качестве своих значений, будем называть индивид­ными константами.

Индивидные термины естественного языка и ин­дивидные символы языка логики предикатов могут не указывать явным образом на определенный еди­ничный индивид в качестве своего значения в неко­тором фиксированном предметном универсуме. К таким терминам можно отнести выражения «кто-то», «что-то», «некто», «нечто» и так далее. Значения

подобных терминов мыслятся как «пробегающие» по предметному универсуму, когда каждый индивид из универсума мог бы быть, а мог бы и не быть значени­ем данного термина. Следующие примеры наглядно иллюстрируют подобную интерпретацию терминов: «Он всегда подписывается псевдонимом "Друг"», «Кто-то потушил свет», «Что-то здесь не сходится», «Я уже видел нечто подобное». Термины, которые не указывают явным образом на конкретный единич­ный индивид в качестве своего значения, но предпо­лагают наличие такого значения в фиксированном предметном универсуме, будем называть индивид­ными переменными.

Таким образом, формальный язык классической логики предикатов включает в себя не только вы­сказывания, но и индивидные константы и перемен­ные. Это, конечно, расширяет его выразительные воз­можности и логический потенциал.

Структура атомарного высказывания языка ло­гики предикатов помимо индивидных символов — индивидных констант и переменных — содержит так называемые предикатные символы. Предикатные символы, или просто — предикаты, указывают в ка­честве своего значения на определенные свойства индивидов или на некоторые отношения между ин­дивидами. Схемы предикатных выражений языка могут выглядеть следующим образом: « - прекра­сен», « - любит -»,«-,-,- определяют деловой тре­угольник в советский период». Предикатные выра­жения языка фиксируют свойства, приписываемые некоторому индивиду в атомарном высказывании, — «Аполлон прекрасен», двуместные отношения между индивидами — «Миша любит Машу», трехместное

отношение — «Администрация, партком и профком составляли рабочий треугольник учреждения в со­ветский период», «Маша, Миша и Коля составляют пресловутый любовный треугольник», четырехмест­ные отношения — «АВ, ВС, CD, DA — упорядоченная четверка, образующая стороны квадрата». Таким образом, каждое атомарное высказывание языка ло­гики предикатов включает в свою структуру преди­катный символ и один или несколько индивидных символов.

Пусть Р1 — одноместный предикат «быть дока­занным», Р2 — двуместный предикат «кричать на», at — «этот тезис», а2 — «жена», а3 — «муж». Тогда Pl(aj) можно прочесть как: «Этот тезис доказан», высказывание -P2(a2, а3)Р2(а3, а2) читается: «Не­правда, что жена накричала на мужа, это муж наорал на жену». Высказывание Рх(х) читается: «Нечто до­казано», Р2(х, у) — «Кто-то накричал на кого-то».

Чтобы прояснить вопрос, всему ли множеству индивидов из предметного универсума принадлежит некоторое свойство или только части индивидов уни­версума, в язык логики предикатов вводятся кван­торы: квантор всеобщности — vx> читается: «Для всякого х», и квантор существования — Зх, читает­ся: «Для некоторого х». Так, формула логики пре­дикатов vxP(x) означает высказывание «Для вся­кого х, х обладает свойством Р»; формула ЗхР(х) означает — «Для некоторого х, х обладает свойством Р»; формула vx13x2R(x1, x2) означает — «Для каж­дого хх существует х2 такой, что хх находится с х2 в отношении R». Логика предикатов иногда иначе на­зывается кванторной логикой.

Таким образом, формальный язык классической логики предикатов обладает необходимыми средства-

ми логического анализа структуры естественного языка. Этот факт приобретает важное значение не только для математики и естественнонаучного зна­ния, но и для различных областей гуманитарного познания, где изучаются методы и средства логичес­кого моделирования: для лингвистики, экономики, социологии.

Введем далее строгие формулировки языка кван-торной логики, необходимые для исследования тео­рии, методов и средств классической логики предика­тов, а также ее применения к анализу естественного языка. Объективный формальный язык классической логики предикатов является расширением языка классической логики высказываний. Для целей, в которых будет использован данный объективный язык, его синтаксис ограничивается символами, принадле­жащими к следующим категориям.

Индивидные символы. Язык классической логи­ки предикатов (КЛП) содержит счетные множества индивидных констант ах, ..., аш, связанных предмет­ных переменных хх, ..., хт, а также свободных пред­метных переменных уа, ..., ут. Различные обозначе­ния для свободных и связанных предметных пере­менных вводятся исключительно в технических целях. Различие свободных и связанных перемен­ных определено ниже.

Предикатные символы. Язык КЛП содержит счетное множество п-арных предикатных символов Р", ..., Р^ для п = О и более. 0-местные предикатные символы образуют счетное множество пропозицио­нальных переменных языка классической логики высказываний (КЛВ).

Высказываниеобразующие операторы. Язык КЛП со­держит следующие символы: —i — для одноместного

оператора «неверно, что»; —> — для двуместной пропозициональной связки «влечет»; v* — для универсального квантора «для каждого х такого, что».

Технические символы. (, ) — скобки.

Определение 5.1. Понятия термина, атомарной формулы и формулы языка КПП определяются индук­тивно совместными условиями:

Каждая свободная предметная переменная есть термин.

Каждая индивидная константа есть термин.

Если Р" — n-местный предикатный символ, n sO, t,, .... tn — термины, то P(t1f ..., tn) есть атомарная формула.

Каждая атомарная формула есть формула.

Если А и В—формулы, то —i А, А —> В есть формулы.

Если A(t) — формула, t — термин, х — связанная предметная переменная, не входящая в А, то V х А(х) есть формула.

Термины, атомарные формулы и формулы языка КЛП образуются только в соответствии с вышепере­численными условиями.

Определение 5.1, как и последующие, является конструктивным. В нем понятия термина, атомар­ной формулы и формулы определяются через способ указания на их построение. Это делает возможным строго отличить осмысленные выражения языка КЛП от бессмысленных.

Определение 5.2. Понятия свободного и связан­ного вхождения предметной переменной в форму­лу А языка КЛП определяются индукцией по длине формулы А.

А = P(tt,..., tn): вхождение переменной у в формулу А свободно, если у = t,, 1 < i < n; А не содержит свя­занных вхождений.

А = V хВ(х): вхождение переменной у в формулу А свободно, если вхождение у в В свободно и у?ьх; вхождение переменной х в формулу А связано.

А =—1 В: вхождение переменной у (переменной х) в формулу А свободно (связано), если у (х) в В свобод­но (связано).

А = В —> С: вхождение переменной у (переменной х) в формулу А свободно (связано), если свободно (свя­зано) вхождение у (х) в формулу В или С.

Таким образом, предметные переменные могут входить в формулы свободно и связанными кванти-фикацией. Например, в формуле КЛП:

Vx^Afr^y)-» -i3x2B(x2,x1))

предметные переменные хх и х2 связаны соответствен­но универсальным квантором и квантором суще­ствования. Свободной в формуле является перемен­ная у. Различия между свободным и связанным вхождением предметных переменных в формулу важны, так как они определяют различные области интерпретации для этих переменных. Универсумом значений для свободной предметной переменной яв­ляется весь фиксированный универсум мышления в целом, в то время как для связанной предметной переменной область интерпретации ограничена об­ластью действия соответствующего квантора.

Определение 5.3. Множество всех подформул фор­мулы А определяется индукцией по длине А.

А = P(t,, ..., tn): формула Р(1,,..., tn) является един­ственной подформулой формулы А.

А =—iB: подформулами формулы А являются все подформулы формулы В и сама формула —iB.

А = В —> С: подформулами формулы А являются все подформулы формул В и С и сама формула

в-»е.

А = V хВ(х): подформулами формулы А являются все подформулы каждой формулы вида B(t), где t — произвольный термин, и сама формула V хВ(х).