Геометрическое сложение четырех и более векторов
Правило геометрического сложения векторов можно распространить на сумму множества заданных векторов.
Правило.Сумму векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки  откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору. К концу первого вектора присоединяется начало второго вектора; к концу второго – начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой данных векторов.
|
Чтобы задать вектор, нужно задать его модуль и направление. Направление вектора определяется его линией действия. Поэтому в задачах на сложение векторов удобно пользоваться линиями действия векторов, на которых удобно откладывать модули заданных векторов.
Определение.Суммой несколько векторов 
(рис. 9.14, а) называют вектор
.
Геометрическое правило сложения нескольких векторов основано на построении векторного многоугольника (по подобию построения векторного треугольника). Возьмем произвольную точку О и путем параллельного переноса совместим начало вектора 
с этой точкой. Далее последовательно путем параллельного переноса пристраиваем другие векторы один за другим так, чтобы начало последующего вектора совпадало с концом предыдущего, тогда вектор, замыкающий получившуюся ломаную, является суммой слагаемых векторов, причём, его начало совпадает с точкой А (началом первого из слагаемых векторов), а конец – с концом последнего вектора (рис. 9.14, б).
Геометрическая сумма векторов
определена вектором, соединяющим точку О (начало вектора ) с концом последнего вектора 
. Если построения векторов делать в масштабе, то, измеряя длину полученного вектора 
, получим его модуль, измеряя транспортиром угол 
, который образует вектор с положительным направлением оси 
, определим направление вектора .
Пример 9.9.Вычислить сумму трех векторов 
, 
, 
, , если 
, 
, 
. Направления векторов показаны на рис. 9.15.
Решение. Совместим ось 
декартовой системы координат 
с линией действия вектора , а начало – с точкой приложения вектора (рис. 9.15, в). Откладываем отрезок вдоль оси , равный модулю первого вектора– 
. Далее, через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора (угол между линиями действия векторов и равен 
), и откладываем отрезок, равный модулю второго вектора – ; через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора (угол между линиями действия векторов и равен 
), и откладываем отрезок, равный модулю третьей силы – 
. Через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора 
(угол между линией действия вектора и положительным направлением оси равен ), и откладываем отрезок, равный модулю четвертой силы – . Вектор 
, равный сумме векторов 
+ + 
, соединяет точку О (точка приложения первого вектора) с концом вектора (рис. 9.15, б). Измеряем линейкой модуль вектора : 
.
Измерим транспортиром угол между положительным направлением оси и вектором : 
.
В результате измерений получили характеристики вектора
Разность векторов
Разностью двух векторов и 
называется третий вектор 
, сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Таким образом, если , то 
(на рис. 9.16 а). Вектор 
соответствует малой диагонали BD параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах:
.
а
| 
б
|
Рис. 9.16
Модуль вектора d вычисляется по теореме косинусов, рис. 9.16:
.
Следует обратить внимание на направление вектора
(рис. 9, 16, б): вектор направлен от конца вектора (точка B) к концу вектора (точка D).