Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Совокупность n дифференциальных уравнений вида
х'1 + а11х1 + а12х2 + … + а1nхn = f1(t),
x'2 + а21x1 + а22x2 + … + а2nxn = f2(t),
— — — — — — — — — — — —
x'n + аn1x1 + аn2x2 + … + аnnxn = fn(t).
где t – аргумент, x1, x2, …, xn – неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
Проинтегрировать эту систему, значит найти ее решение, т.е. систему функций x1(t), x2(t), …, xn(t), обращающих равенства в тождества.
Пример выполнения задания 3
Решим систему 
Решение.
Данную систему решим методом исключения.
Исключаем х из данных уравнений. Из второго уравнения имеем:
х = 
(у' + 8у – 5е-t).
Продифференцируем его по аргументу t:
х' = (у'' + 8у' + 5е-t), и подставим в первое уравнение. После упрощения получим:
у'' + у' – 2у = -4е-t (*).
Это линейное дифференциальное уравнение. Найдем его общее решение у = у0 + ỹ .
Корни характеристического уравнения k2 + k – 2 = 0
k1 = 1, k2 = -2.
Общее решение однородного уравнения у0 = С1еt + C2e-2t.
Частное решение неоднородного уравнения (*) ищем в виде
= Аe-t.
Найдем 
= -Ае-t, 
= Ае-t и подставим в уравнение (*). Получим А = 2, следовательно, =2e-t.
у = С1et + C2e-2t + 2e-t. Определим х, пользуясь равенством
х = (у' + 8у – 5е-t). Найдем у' = C1et – 2C2e-2t – 2e-t .
После подстановки у и у' :
х = (C1et – 2C2e-2t – 2e-t + 8(C1et + C2e-2t + 2e-t) – 5e-t).
Упростив, получим х = 3С1et + 2e-2t + 3e-t.
Общим решением данной системы будут функции:
х = 3С1et + 2e-2t + 3e-t,
у = С1еt + C2e-2t + 2e-t.
Модуль 8
Ряды
Задачи для решения
Задание 1
Исследовать на сходимость числовые ряды.
Варианты
- а)
; б) 
в) 
; г) 
.
2. а) 
; б) 
в) 
; г) 
.
3. а) 
; б) 
в) 
г) 
.
4. а) 
б) 
в) 
г) 
.
5. а) 
б) 
в) 
г) 
.
6. а) 
б) 
в) 
г) 
.
7. а) 
б) 
в) 
; г) 
.
8. а) 
б) 
в) 
г) 
.
9. а) 
б) 
в) 
г) 
.
10. а) 
б) 
в) 
г) 
.
Задание 2
Определить радиус и область сходимости степенных рядов.
Варианты
1. а) 
; б) 
.
2. а) 
; б) 
.
3. а) 
; б) 
.
4. а) 
; б) 
.
5. а) 
; б) 
.
6. а) 
; б) 
.
7. а) 
; б) 
.
8. а) 
; б) 
.
9. а) 
; б) 
.
10. а) 
; б) 
.
Задание 3
Разложить заданную функцию в ряд Фурье в интервале [-π; π].
Варианты
1. a) 
б) f(x) = 2x на отрезке [0;2] по косинусам.
2. a) 
б) f(x) = 1 – x на отрезке [0;1] по синусам.
3. a) 
б) 
на отрезке [0;4] по косинусам.
4. a) 
б) f(x) = x – 1 на отрезке [0;1] по косинусам.
5. a) 
б) f(x) = 2 – 2x на отрезке [0;1] по синусам.
6. а) 
б) 
на отрезке [-5;0] по косинусам.
7. а) 
б) f(x) = 3 – x, на отрезке [0;3] по синусам.
8. а) 
б) f(x) = 1 – 2x на отрезке [0;1/2] по косинусам.
9. а) 
б) f(x) = -2x на отрезке [0;1/2] по синусам.
10. а) 
б) 
на отрезке [0;4] по косинусам.
Решение типовых задач
Задание 1
Исследовать на сходимость числовые ряды.
а) 
;
б) 
+…;
в) 
.
Задание 2
Определить радиус и область сходимости степенного ряда 
.
Задание 3
Разложить функцию 
в ряд Фурье в интервале [-π; π].
Решение типовых задач
Сведения из теории
Числовые ряды
Числовым рядом называют сумму бесконечной числовой последовательности вида
= 
.
Числа 
называют членами ряда, un – общим членом ряда.
Конечная сумма Sn = 
называется n-ойчастичной суммой ряда.
Если существует конечный предел 
, ряд называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.