Повторні випробування. Схема незалежних випробувань.
Загальні поняття теорії ймовірностей.
1. Скільки п’ятизначних чисел можна скласти з цифр 5, 6, 7, 8, 9?
(Кожна цифра зустрічається один раз.)
2. Скільки чотиризначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
(Кожна цифра зустрічається один раз.)
3. Скільки слів можна скласти з усіх букв слів:
- «ковшик»;
- «корона»;
- «паралелограм»?
4. В групі двадцять студентів. Скількома способами можна скласти підгрупи, в яких буде шість студентів?
Практичне заняття №2.
Основні поняття комбінаторики та їх застосування при обчисленні ймовірностей.
1. В коробці десять карток, на яких написані різні цифри від 0 до 9. Навмання по-одному дістають п’ять карток. Яка ймовірність того, що:
- цифри з’являться в порядку 5, 6, 7, 8, 9;
- цифри з’являться в довільному порядку?
2. Яка ймовірність скласти слово «КИЇВ» з таких наборів букв:
-«к», «а», «и», «о», «ї», «в», «л»;
-«к», «к», «а», «и», «о», «ї», «в», «л»,«а»,«ї»;
-«и», «о», «ї», «в», «л»?
3. В ящику 100 деталей, 10 з них пофарбовані. Випадковим чином дістали чотири деталі. Знайти ймовірність того, що серед них:
- немає пофарбованих;
- всі пофарбовані.
4. Куб, всі грані якого пофарбовані, розпилили на 1000 кубиків. Знайти ймовірність того, що випадково витягнутий кубик буде мати:
- одну пофарбовану грань;
- дві пофарбовані грані;
- три пофарбовані грані;
- жодної пофарбованої грані;
Практичне заняття № 3.
Теореми суми та добутку ймовірностей.
1.З 10 цукерок 6 шоколадних. Знайти ймовірність того, що з 4 навмання взятих цукерок буде шоколадних:
- 2;
- всі;
- хоча б одна.
2. Підкинуто три гральних кубика. Знайти ймовірність того, що:
- на кожному кубі з’явиться цифра 5;
- випадуть всі різні цифри;
- випадуть всі однакові цифри.
3. Ймовірності успішного складання екзамену становить 0,8 для першої групи, 0,4 для другої та 0,6 для третьої групи. Знайти ймовірність того, що успішно склали екзамен:
- одна група;
- дві групи;
- всі групи;
- жодна група;
- хоча б одна група.
4. Серед екзаменаційних білетів «N» «щасливих». Студенти один за другим підходять за білетами. У кого більше ймовірність витягти «щасливий» білет: у першого чи у другого?
5. На полці знаходиться 10 книжок російською мовою, 15 – українською та 20 – англійською. Яка ймовірність того, що три навмання взятих книжки виявляться однієї мови?
Практичне заняття №4.
Формула повної ймовірності. Формула гіпотез Бейєса.
1.На першому курсі навчається у два рази менше студентів, ніж на другому та у три рази менше, ніж на третьому. Ймовірність того, що на першому курсі навчаються дівчата становить 0,3; на другому – 0,7 та 0,6 – на третьому. Обчисліть ймовірність того, що один випадково обраний студент (з будь-якого курсу) є дівчина.
2. У тирі знаходяться три типи мішеній. Серед них десять штук першого типу, п'ятнадцять – другого та двадцять – третього. Ймовірність влучити в першого типу мішень складає 0,2; другого та третього відповідно – 0,9 і 0,7. Хлопець стріляв один раз та влучив у довільну мішень. Знайти ймовірність того, що він влучив у мішень третього типу.
3. В ящику знаходяться цукерки трьох видів: шоколадні, фруктові та карамельні. Кількість цукерок кожного типу відноситься як 5:7:9 (відповідно). Ймовірність того, що шоколадна цукерка виготовлена на Херсонській фабриці становить 0,4, фруктова – 0,8 та карамельна – 0,7. Цукерка, яку обрали випадковим чином, виявилася херсонського виробництва. Ймовірніше всього, якого типу ця цукерка?
4.В урну, в якій було сім кульок, поклали білу кульку, після чого з неї навмання дістали одну. Знайти ймовірність того, що витягнута куля виявилась білою.
5. В спортивному залі було 10 м’ячів, з яких 6 нових. Для першої гри взяли 3 м’яча, не повертаючи їх назад. Для другої гри взяли знову 3 м’яча. Знайти ймовірність того, що всі м’ячі, які взяли для другої гри, будуть новими.
Практичне заняття №5.
Повторні випробування. Схема незалежних випробувань.
1. Ймовірність сонячного дня у травні становить 0,7. Яка ймовірність того, що з п’яти днів один буде сонячний ?
2. Ймовірність снігопаду у грудні становить 0,6. Яка ймовірність того, що з п’яти днів хоча б один буде сніжним?
3. Ймовірність народження хлопчика становить 0,54. Яка ймовірність того, що в сім'ї, в якій троє дітей, всі діти одного полу?
4. Яка ймовірність того, що з ста літаків вісімдесят сім вилетять за розкладом, якщо ймовірність вилетіти без запізнення для одного літака становить 0,9?
5. Ймовірність того, що деталь пошкоджена, становить 0,75. Яка ймовірність того, що з дев’яноста деталей шістдесят пошкоджених?
6. Ймовірність того, що влітку день буде дощовий, становить 0,3. Знайти ймовірність того, що з 85 днів буде
а) не більше 15 дощових;
б) більше 20 дощових?
7. Знайти ймовірність того, що з 500 посіяних зерен зійде не менше 400 та не більше 450, якщо ймовірність зрощення складає 0,85.
Практичне заняття №6.