Определение линейного пространства

Лекции 16 Линейные пространства. Базис. Координаты вектора.

Содержание лекции: Определение линейного пространства, примеры. Линейная зависимость, независимость системы векторов линейного пространства. Понятие базиса, теорема о разложении вектора по базису, координаты вектора. Связь между базисами линейного пространства, матрица перехода от базиса к базису.

Определение линейного пространства

Рассмотрим L– непустое множество элементов а, b, с, … . Пусть на этом множестве определены:

1) (внутренняя) операция «сложения» Å, т.е. правило, по которому каждой паре элементов а, bÎ L ставится в соответствие элемент сÎL, называемый суммой элементов аи b и обозначаемый с =аÅ b;

2) (внешняя) операция Ä «умножения» на число, т.е. правило, по которому каждому элементу аÎ L и любому действительному числу a ставится в соответствие элемент bÎL, называемый произведением элемента а на число a и обозначаемый b = aÄа,

и пусть эти операции удовлетворяют свойствам:

1) аÅ b =bÅ a;

2) аÅ(bÅ с)= (аÅ b)Å с;

3) в L существует нулевой элемент 0 такой, что
" аÎL выполняется условие аÅ 0 = a;

4) " аÎL существует противоположный элемент (–а)ÎL такой, что а Å (– а) =`0;

5) 1Ä а = а;

6) aÄ (bÄа) = (ab)Äа

7) aÄ(аÅb) = (aÄа) Å (aÄb);

8) (a+b)Äа = aÄ а Å bÄ а.

 

Определение1

Множество L, на котором определены операции сложения элементов и умножения элемента на действительное число, удовлетворяющие свойствам 1) – 8), называется действительным линейным пространством (или действительным векторным пространством). Элементы линейного пространства называют векторами, а свойства 1) – 8) операций – аксиомами линейного пространства.

Если на множестве L операция умножения на число определена для комплексных чисел, то L называют комплексным линейным пространством. В дальнейшем будем рассматривать в основном только действительные линейные пространства и называть их просто линейными пространствами. Векторы произвольного линейного пространства будем выделять жирным шрифтом: а, b, с, х, у, … . Для геометрических векторов сохраним обозначение … .

Заметим, что из аксиом 8 и 3 следует: "aÎ R и а ÎL выполняется

aÄ = (a+0)Äа = (aÄа) Å (0 Ä а), откуда 0Ä а = 0,

т.е. нулевой вектор ЛП может быть представлен в виде произведения любого вектора этого пространства на число 0.

Чтобы выяснить, является ли заданное множество L линейным пространством, нужно:

1) задать операции Å и Ä (или убедиться, что они заданы) так, чтобы результат этих операций был элементом данного множества (в этом случае говорят: L замкнуто относительно этих операций).

2) для этих операций проверить выполнение всех восьми аксиом линейного пространства.

Операции Å и Ä могут быть заданы нетрадиционно, например, на множестве V3свободных векторов геометрического трехмерного пространства операцию сложения можно задать так: аÅb =а´b, т.е. «суммой» векторов назвать их векторное произведение, при этом результат операции, очевидно, является элементом множестваV3, а вот выполняются ли аксиомы линейного пространства – это проверьте самостоятельно.

В дальнейшем для краткости операцию Å будем обозначать обычным знаком «+», а операцию Ä – обычным символом умножения «.» или вообще опускать в записи, как это делается в алгебраических выражениях.

Примеры множеств, являющихся линейными пространствами относительно известных для них операций:

- множество действительных чисел R;

- множество комплексных чисел С, векторы пространства С – комплексные числа ;

- множество С[a, b] непрерывных на [a, b] функций, векторы пространства С[a, b] – функции , хÎ[a, b] ;

- множество Рп(x) многочленов степени не выше п, векторы пространства Рп(х) – многочлены , ;

- множество числовых матриц размерности т´п;

- множество Мп числовых квадратных матриц порядка п;

- множество свободных геометрических векторов: V1, V2,V3 (соответственно, на прямой, на плоскости, в пространстве), , , …– векторы этих пространств .

- множество Rn упорядоченных числовых строк длины п, векторы пространства – [α1, α2, α3,…, αп], α i – действительные числа.