Решение уравнений в целых числах, как квадратных относительно какой-либо переменной.
Задача 12.
Решите в целых числах 5х²+ 5у² + 8ху + 2у – 2у + 2 = 0.
Решение.
Если попытаться решить данное уравнение методом разложения на множители, то это достаточно трудоёмкая работа, поэтому это уравнение можно решить более изящным методом. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х 5х²+(8у-2)х+5у²+2у+2=0, х1,2 = (1 – 4у ±√(1 – 4у) ² - 5(5у² + 2у + 2))/5 = (1 – 4у ±√-9(у + 1)²)/5.
Данное уравнение имеет решение тогда, когда дискриминант равен нулю, т.е. –9(у + 1) = 0, отсюда у = -1. Если у = -1, то х =1.
Ответ.
(1; -1)
Задача 13.
Решите в целых числах 3(х² + ху + у²)= х + 8у
Решение.
Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х 3х ² + (3у - 1)х + 3у² - 8у = 0. Найдём дискриминант уравнения D = =(3у – 1) ² - 4 * 3(3у² - 8у) = 9у² - 6у + 1 – 36у² + 96у = -27у² + 90у + 1.
Данное уравнение имеет корни, если D ³ 0, т. е. –27у² + 90 у + 1³ 0
(-45 + √2052)/ (-27) £ у £ (-45 -√2052)/ (-27) (4)
Так как у Î Z, то условию (4) удовлетворяют только 0, 1, 2, 3. Перебирая эти значения, получим, что уравнение в целых числах имеет решения (0; 0) и (1; 1).
Ответ.
(0; 0), (1; 1).
Задача 14.
Решите уравнение 5х² - 2ху + 2у² - 2х – 2у + 1= 0.
Решение.
Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно х с коэффициентами, зависящими от у, 5х² - 2(у + 1)х + 2у² – 2у + 1= 0.
Найдём четверть дискриминанта D/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)².
Отсюда следует, что уравнение имеет решение только тогда, когда -(3у – 2)² = 0, отсюда следует у = ⅔, затем находим х = ⅓.
Ответ.
(⅓; ⅔).
Метод остатков.
Задача 15.
Решите в целых числах 3ª = 1 + у²
Решение.
Видно, что (0; 0) – решение данного уравнения. Докажем, что других решений нет.
Рассмотрим случаи:
1) х Î N, y Î N (5)
Если х Î N , то 3ª делится на 3 без остатка, а у² + 1 при делении на 3 даёт остаток либо 1, либо 2. Следовательно, равенство (5) при натуральных значениях х и у невозможно.
2)Если х – целое отрицательное число, y Î Z, тогда 0<3ª<1, а 1+у²³0 и равенство (5)также невозможно. Следовательно, (0; 0) – единственное решение.
Ответ.
(0; 0).
Задача 16.
Докажите, что система уравнений
ìх² - у² = 7
í
îz² - 2y² = 1
не имеет решений в целых числах.
Решение.
Предположим, что система разрешена. Из второго уравнения z²=2у+1, т. е. z²–нечётноё число и z-нечётное, значит z=2m+1. Тогда y²+2m²+2m , значит, у² - чётное числои у – чётное, y = 2n, n Î Z.
x²=8n³+7, т. е. х² - нечётное число и х - нечётное число, х=2k+1, k Î Z.
Подставим значения х и у в первое уравнение, получим 2(k² + k - 2n³) = 3, что невозможно, так как левая часть делится на 2, а правая нет.
Значит, наше предположение неверно, т.е. система не имеет решений в целых числах.
Метод бесконечного спуска.
Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по следующей схеме: предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый бесконечный процесс, в то время, как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чём–то кончаться.
Часто метод бесконечного спуска применяется в более простой форме. Предположив, что мы уже добрались до естественного конца, видим, что «остановиться» не можем.
Задача 17.
Решить в целых числах 29х + 13у + 56z = 17 (6)
Выразим неизвестное, коэффициент при котором наименьший, через остальные неизвестные.
у=(17-29х-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13 (7)
Обозначим (4-3x-4z)/13 = t1 (8)
Из (7) следует, что t1 может принимать только целые значения. Из (8) имеем 13t1 + 3x + 4z = 14 (9)
Получим новое диофантово уравнение, но с меньшими, чем в (6) коэффициентами. Применим к (9) те же соображения: x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3
(1-t1-z)/3 = t2 , t2 – целое, 3t2+t1+z = 1 (10)
В (10) коэффициент при z – неизвестном исходного уравнения равен 1 – это конечный пункт «спуска». Теперь последовательно выражаем z, x, y через t1 и t2.
ìz = -t1 – 3t2 + 1
íx = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 = 1 +t2 = -t1 + 4t2
îy = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1= 11t1 + 4t2 - 3
Итак,ìx = -3t1 + 4t2
íy = 11t1 + 4t2 - 3
îz = -t1 – 3t2 + 1
t1, t2 - любые целые числа – все целые решения уравнения (6)
Задача 18.
Решить в целых числах x³ - 3y³ - 9z³ = 0 (11)
Решение.
Видно, что левая часть уравнения (11) не поддаётся никаким преобразованиям. Поэтому исследуя характер целых чисел x³=3(y³-z³). Число x³ кратно 3, значит и число х кратно 3, т. е. х = 3х1 (12) Подставим (12) в (11) 27х1³-3у³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0 (13)
y³=3(3x1³-z³). Тогда у³ кратно 3, значит и у кратно 3, т. е. у=3у1 (14). Подставим (14) в (13) 9х1³ -27у1³ - 3z³=0. Из этого уравнения следует, что z³ кратно 3, а значит и z кратно 3, т.е. z=3z1.
Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие уравнению (11), кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, получаем числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0)