Запрягаем тройку» законов Ньютона

Задача 14. 1. Автомобиль массой 3,3 т проходит со скоростью 54 км/ч по выпуклому мосту, имеющему форму дуги окружности радиусом 75 м. С какой силой автомобиль давит на мост, проходя его середину?

При краткой записи Условия можно сразу осуществить перевод единиц измерения в СИ, поскольку именно в единицах этой системы предполагается выразить ответ.

Переход к новым единицам осуществляется посредством подстановки вместо названий старых единиц их значений, выраженных в новых единицах. Например, вместо «ч» подставляется «3600 с», вместо «км» подставляется «10³ м».

На рисунке 22 изображены величины, о которых идет речь в задаче. Стрелки, изображающие силы, начинаются на тех телах, к которым эти силы приложены.

Проводя Анализ задачи, замечаем, что, поскольку речь идет о силе и массе, следует использовать законы динамики. Можно ли применять законы Ньютона? Можно, поскольку моделирование машины частицей в данном случае правомерно, и движение происходит со скоростью много меньшей скорости света.

Как применять законы Ньютона? Не следует игнорировать ни один из них. Применение первого закона Ньютона заключается в выборе инерциальной системы отсчета. В качестве таковой здесь следует принять систему отсчета «Земля». В этой системе автомобиль движется с ускорением , направленным к центру окружности, дугу которой представляет собой мост. Теперь можно «запрячь» и второй закон Ньютона. Естественно применить его к автомобилю, для чего нужно выяснить, какие силы к нему приложены (действие каких тел они выражают). На рисунке 22 изображены эти силы: m – сила тяжести и – сила реакции моста. Уравнение второго закона Ньютона удобно проецировать на координатную ось x, сонаправленную с ускорением . Итак, для частицы массой m запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на координатную ось x (рис. 22):

m a = m g – N . (14.1)

Что же нужно найти в задаче? Нужно найти силу F. Какое отношение к этому имеет полученное уравнение (14.1)? В уравнение (14.1) входит сила N, которая связана с F третьим законом Ньютона:

= – Þ N = F . (14.2)

Достаточно полученных уравнений для нахождения ответа? Нет, так как эти два уравнения содержат три неизвестных величины: a, F и N. Какое еще уравнение можно составить? Какие данные задачи еще не использованы? Не использованы еще скорость v и радиус R. С какими неизвестными, входящими в уравнения (14.1) и (14.2), связаны эти величины? Они связаны с модулем ускорения a, которое в данном случае является нормальным, или центростремительным. Поэтому можно применить кинематическое соотношение (3.10)

a = v² / R . (14.3)

Из системы уравнений (14.1) – (14.3) получаем ответ

F = m (g – v² / R) . (14.4)

Проверьте наименование полученной величины. Сравните величины F и mg. Какое бы давление оказывал мост на покоящийся автомобиль? Какое бы давление оказывал автомобиль на плоский мост?

Подсчитайте численное значение силы давления. Получилось ли
22 кН? Какова была бы сила давления, если бы автомобиль двигался со скоростью 100 км/ч?

В копилку опыта

· Каков же алгоритм применения законов Ньютона? Как его запомнить? Очень просто. Применяйте законы «по порядку номеров», указывайте на рисунке и выражайте через данные условия все величины, которые встречаются при записи уравнений. В дополнение к законам Ньютона следует использовать формулы, определяющие силы того или иного вида, кинематические уравнения и иные соотношения.

Задача 14. 2*. Автомобиль движется по выпуклому мосту, имеющему форму дуги окружности радиусом 40 м. Какое максимальное горизонтальное ускорение может развить автомобиль в высшей точке, если скорость его в этой точке 50 км/ч, а коэффициент трения колес о мост равен 0,60 ?

О каком это горизонтальном ускорении идет речь в задаче? В предыдущей задаче ускорение было направлено вертикально (рис 22). Чем же отличаются ситуации в данной задаче (рис 23) и в предыдущей? Раньше речь шла о равномерном движении автомобиля, а в данной задаче предполагается увеличение модуля скорости. В подобных случаях используется соотношение (3.3), то есть ускорение представляется в виде суммы двух составляющих _t и _n (рис. 23). Нормальное ускорение _n характеризует изменение направления скорости. Оно описывается соотношением (3.10):

a_n = v² / R .(14.5)

Тангенциальное ускорение _t характеризует изменение модуля скорости. В рассматриваемом случае оно направлено горизонтально. Его и требуется найти.

Действуя по аналогии с предыдущей задачей, запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось y (рис. 23):

m a_n = m g – N . (14.6)

Проекция на эту ось равна модулю нормального ускорения a_n. – сила нормальной реакции моста. В записанном уравнении не оказалось искомой величины a_t. Так получилось из-за того, что уравнение второго закона Ньютона проецировалось на ось, перпендикулярную вектору _t. Изменим ось проецирования на x (рис. 23):

m a_t = F – F_C . (14.7)

В уравнение (14.7) _С – сила сопротивления, направленная против скорости , а – так называемая сила тяги автомобиля. Действие какого тела она характеризует? Каков механизм возникновения силы тяги? Двигатель крутит колеса. Колеса толкают дорожное покрытие назад; оно, «отвечая взаимностью», в соответствии с третьим законом Ньютона действует на колеса, и, следовательно, на весь автомобиль вперед. Так возникает сила тяги. Если колеса не проскальзывают, то сила тяги представляет собой силу трения покоя, в противном случае она является силой трения скольжения. Поэтому можно использовать формулу (13.8):

F £ m N . (14.8)

Знак равенства определяет максимально возможную силу тяги; она не возрастает с увеличением мощности двигателя.

Итак, получена система четырех уравнений ((14.5) – (14.8)), в которые входят пять неизвестных: m, a_t, a_n, F_, F_C. Не хватает еще одного соотношения для этих неизвестных. Нужно использовать какое-то дополнительное условие, быть может, явно в задаче не упоминаемое.

Среди пяти неизвестных выделяется величина F_C. Она входит только в одно уравнение (14.7). От чего может зависеть эта величина? В соответствии с (13.6) и (13.7), сила сопротивления при малых скоростях зависит от коэффициента трения m и силы нормальной реакции N, а при больших – от скорости v и коэффициента сопротивления k. В данной задаче сила сопротивления, видимо, предполагается много меньшей силы тяги, иначе нельзя было бы существенно увеличить скорость движения (из (14.7) следует, что a_t » 0, если F – F_C » 0). Уточним задачу, сделав явным подразумеваемое в условии соотношение F_C << F. Тогда

F – F_C » F . (14.9)

Теперь уравнений достаточно для нахождения ответа. Подставляем в (14.7) соотношение (14.9) и равенство (14.8):

m a_t = m N . (14.10)

Величину N выражаем из (14.5) и (14.6):

N = m (g – a_n) = m (g – v² / R) .

Осталось подставить (14.11) в (14.10):

a_t = m (g – v² / R) » 3,0 м/с². (14.11)

При нахождении численного значения не забудьте выразить скорость в м/с.