Решение СЛАУ методом Гаусса

Обратная матрица

Матрица называется обратной к матрице если AB = BA = Е; при этом пишут Матрица А имеет обратную только в том случае, если она невырожденная, то есть если . Если – невырожденная матрица, то

где алгебраические дополнения элементов

Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система уравнений вида

Система называется однородной, если свободные члены равны нулю: Однородная система всегда является совместной - она имеет решение (возможно, не единственное).

Матрицы

называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно; столбцы называются столбцом неизвестных и столбцом свободных членов соответственно. С учетом этих обозначений систему можно записать в матричной форме

Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы (матричный способ)

Система совместна при и имеет единственное решение – столбец

Задачи

Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия.

1.Найти обратную матрицу к матрице А и сделать проверку, если:

1) ;

Решение. Вычислим .

Матрица A невырожденная, следовательно, имеет обратную матрицу.

Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A:

Тогда

Проверка

2) .

Ответ. 1) ; 2) .

2.Решить СЛАУ матричным способом:

Решение. Пусть , , .

Тогда систему можно записать в матричном виде . Умножая последнее

равенство на слева, получим: , .

Найдем detA: . Следовательно, существует обратная

матрица : . Желательно сделать проверку:

Отсюда .

Имеем , т.е. .

Ответ. 1) ; 2) .

3.Даны , , . Решить матричные уравнения:

1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) . Умножим слева на : , .

Найдем , .

Матрица A невырожденная, т.е. имеет обратную матрицу.

2) . Умножим справа на : , .

3) . .

;

Ответ. 1) ; 2) ; 3) .

Задания для самостоятельного решения

1.Найти g(A), если:

1) ;

2) ;

3) .

Ответ. 1) ; 2) ; 3) .

2.Решить матричные уравнения:

1) ; 2) .

Ответ. 1) ; 2) .

Правило Крамера

Обозначим

(определитель получается из D заменой i-го столбца на столбец свободных членов). Правило Крамера состоит в том, что при СЛАУ совместна и имеет единственное решение

Решение СЛАУ методом Гаусса

При решении методом Гаусса расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями приводят к трапецеидальному виду. Затем, начиная с последнего уравнения, последовательно находят неизвестные.

К числу элементарных преобразований относят:

1) перестановку столбцов или строк;

2) умножение столбца (строки) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к столбцу (строке) другого столбца (другой строки), умноженного предварительно на некоторое число;

4) зачеркивание нулевого столбца (строки).

Трапецеидальной матрицей называется матрица имеющая вид

где

Задачи

1.Решить систему по правилу Крамера:

Решение. Находим главный определитель системы:

. Следовательно, система имеет единственное решение. Формулы Крамера:

, , .

Вычислим определители , , .

В главном определителе первый столбец заменили столбцом свободных членов.

В главном определителе второй столбец заменили столбцом свободных членов.

В главном определителе третий столбец заменим столбцом свободных членов.

Находим , , .

; ; .

Ответ. 1) ;

2) .

2.Решить СЛАУ методом Гаусса:

Запишем расширенную матрицу системы и выполним эквивалентные преобразования. В результате получим:

Последней матрице соответствует система линейных уравнений треугольного вида, т.е имеет единственное решение:

Получим решение системы:

Метод последовательного исключения неизвестных предусматривает, что переменные можно исключать в любом порядке.

Последней матрице соответствует система линейных уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы и выполним эквивалентные преобразования. В результате получим:

В последней матрице отбросили нулевую строку. Запишем систему линейных уравнений, соответствующую последней матрице:

Эта система является совместной и неопределенной. Перенесем одно неизвестное, например , в правую часть последнего уравнения системы, получим решение:

Неизвестному можно придать любые значения, поэтому система имеет бесчисленное множество решений.

Рассуждая в терминах строчного ранга матрицы, можно заключить, что ранг матрицы системы равен 3 (число ненулевых строк после применения к ней метода Гаусса), а количество свободных неизвестных равно (n-число неизвестных системы).

Выполнив над системой эквивалентные преобразования, получим:

Получим систему:

Получили противоречивый результат . Система несовместна (ранг расширенной матрицы, равный 4, оказался больше ранга матрицы системы, равный 3).

4) .

Ответ. 1) ; 2) ;

3) Система несовместна; 4) .