Представление Химико-Технологической Системы в виде графов, матриц и таблиц
При рассмотрении основных методов расчёта ХТС было показано, что декомпозиционный метод расчёта имеет ряд преимуществ и может использоваться для расчёта ХТС произвольной сложности.
Однако в этом случае при расчёте замкнутой ХТС возникают проблемы с определением оптимальной последовательности расчёта. Так как ХТС замкнутая, то произвести её непосредственный расчёт без перевода из замкнутого в разомкнутый вид – невозможно, поэтому в данном случае следует говорить об определении оптимального множества разрываемых потоков, позволяющих с минимальным количеством вычислений рассчитать ХТС произвольной сложности.
Применительно к ХТС произвольной сложности, перед её расчётом необходимо решить следующие задачи:
− определить наличие в ХТС групп аппаратов, рассчитываемых совместно (комплексов) и выделить эти комплексы;
− определить предварительную последовательность расчёта комплексов и аппаратов, не входящих в комплексы;
− для каждого комплекса определить оптимальное множество разрываемых потоков и последовательность расчёта
комплекса;
− определить окончательную последовательность расчёта всей ХТС.
Совокупность указанных задач и называется анализом структуры ХТС.
Структуру ХТС обычно рассматривают в терминах теории графов, т.е. в виде ориентированного графа, вершины которого соответствуют аппаратам, а дуги – потокам (например, так, как на рис. 8.1).
На рис. 8.1 номера вершин обозначены большим курсивом (справа сверху от вершины), а номера потоков – малым прямым шрифтом (под линией соответствующего потока).
Рис. 8.1. Представление ХТС в виде ориентированного графа
Теория графов – это область конечной математики, изучающая дискретные структуры, называемые графами; применяется для решения различных теоретических и прикладных задач.
Граф – совокупность точек (вершин) и совокупность пар этих точек (не обязательно всех), соединённых линиями. Если на графе линии ориентированы (т.е. стрелками показано направление связи вершин), они называются дугами, или ветвями; если неориентированы – рёбрами. Соответственно, граф, содержащий только дуги, называется ориентированным, или орграфом; только рёбра – неориентированным; дуги и рёбра – смешанным. Граф, имеющий кратные рёбра, называется мультиграфом; граф, содержащий только рёбра, принадлежащие двум его непересекающимся подмножествам (частям), – двудольным; дуги (рёбра) и (или) вершины, которым отвечают определённые веса или числовые значения параметров – взвешенным. Путь в графе – чередующаяся последовательность вершин и дуг, в которой ни одна из вершин не повторяется (напри-
мер a, b на рис. 8.2, а); контур – замкнутый путь, в котором первая и последняя вершины совпадают (рис. 8.2, f, h); петля-дуга (ребро), которая начинается и кончается в одной и той же вершине. Цепь графа – последовательность рёбер, в которой ни одна из вершин не повторяется (рис. 8.2, с, d, e); цикл – замкнутая цепь, в которой её начальная и конечная вершины совпадают. Граф называется связным, если любая пара его вершин соединена цепью или путём; в противоположном случае граф называется несвязным.
в) г)
Рис. 8.2. Иллюстрация некоторых основных понятий:
а – смешанный граф; б – основное дерево (сплошные дуги a, h, d, f, h) и некоторый подграф (пунктирные дуги с, с, g, k, l) орграфа; в, г – матрицы соответственно смежности и инцидентности орграфа
Дерево-связный неориентированный граф, не содержащий циклов или контуров (рис. 8.2, б). Остовый подграф некоторого графа – его подмножество, содержащее все вершины и лишь определённые рёбра. Основное дерево некоторого графа –
его основный подграф, представляющий собой дерево. Графы называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между совокупностями их вершин и рёбер (дуг).
Для решения задач графы представляют с помощью матриц (смежности, инцидентности, двустрочных и др.), а также специальных числовых характеристик. Например, в матрице смежности (рис. 8.2, в) строки и столбцы отвечают номерам вершин графа, а её элементы принимают значения 0 и 1 (соответственно, отсутствие и наличие дуги между данной парой вершин); в матрице инцидентности (рис. 8.2, г) строки отвечают номерам вершин, столбцы – номерам дуг, а элементы принимают значения 0, +1 и –1 (соответственно, отсутствие и наличие дуги, входящей в вершину и выходящей из неё). Наиболее
употребительные числовые характеристики: число вершин, число дуг или ребер (n), цикломатическое число, или ранг графа (п – т + k, где k – число связных подграфов в несвязном графе; например, для графа на рис. 8.2, б ранг будет: 10 – 6 + 1 = 5).
Применение теории графов базируется на построении и анализе различных классов химических и химико-технологических графов. Дуги (рёбра) и вершины этих графов отображают химические и химико-технологические понятия, явления, процессы или объекты и, соответственно, качественные и количественные взаимосвязи, либо определённые отношения между ними. Химические графы дают возможность прогнозировать химические превращения, пояснять сущность и систематизировать некоторые основные понятия химии: структуру, конфигурацию, конформации, квантово-механичесое и статистико-механическое взаимодействия молекул, изомерию и др. К химическим графам относятся молекулярные, двудольные и сигнальные графы кинетических уравнений реакций. Молекулярные графы (применяемые в стереохимии и структурной топологии, химии кластеров, полимеров и др.) представляют собой неориентированные графы, отображающие строение молекул (рис. 8.3) и возможных химических реакций (рис. 8.4). Вершины и рёбра этих графов соответствуют атомам и химическим
связям между ними.
Молекулярные графы дают возможность сводить задачи, связанные с кодированием, номенклатурой и структурными особенностями (разветвлённость, цикличность и т.п.) молекул различных соединений, к анализу и сопоставлению чисто математических признаков и свойств графов и их деревьев, а также соответствующих им матриц.
Рис. 8.3. Молекулярные графы и деревья: а, б – мультиграфы этилена и формальдегида;
в – мультиграфы изомеров пентана (деревья 4, 5 изоморфны дереву 2)
Рис. 8.4. Графы реакций: а – двудольный; б – сигнальный уравнений кинетики; r1, r2 – реакции; а1 – а6 – реагенты; k – константы скорости реакций; s – комплексная переменная преобразования Лапласа
С применением теории графов и принципов искусственного интеллекта разработано программное обеспечение информационно-поисковых систем в химии, а также автоматизированные системы идентификации молекулярных структур и рационального планирования органического синтеза.
Для выбора рациональных путей превращения молекул реагентов при заданном множестве известных взаимодействий используют двудольные графы реакций (вершины соответствуют молекулам и этим реакциям, дуги – взаимодействию молекул в реакции; рис. 8.4, a). Такие графы позволяют разрабатывать диалоговые алгоритмы выбора оптимальных путей химических превращений, для которых требуется наименьшее число промежуточных реакций, минимальное число реагентов из перечня допустимых или достигается наибольший выход продуктов.
Сигнальные графы уравнений кинетики реакций отображают системы кинетических уравнений, представленных в алгебраическо-операторной форме (рис. 8.4, б). Вершины графов отвечают информационным переменным, или сигналам, в виде концентраций реагентов, дуги – взаимосвязям сигналов, причём веса дуг определяются кинетическими константами.
Такие графы применяют при изучении механизмов и кинетики сложных каталитических реакций, сложных фазовых равновесий при образовании комплексных соединений, а также для расчёта параметров аддитивных свойств растворов.
Для решения многомерных задач анализа и оптимизации химико-технологических систем используют химико-технологические графы (рис. 8.5): потоковые, информационно-потоковые, сигнальные и графы надёжности.
К потоковым графам, представляющим собой взвешенные орграфы, относятся параметрические, материальные по общим массовым рас-
ходам физических потоков и массовым расходам некоторых химических компонентов либо элементов, а также тепловые графы. Перечисленные графы соответствуют физико-химическим превращениям веществ и энергии в данной ХТС.
Параметрические потоковые графы отображают преобразование параметров (массовых расходов и др.) физических потоков элементами ХТС; вершины графов отвечают математическим моделям аппаратов, а также источникам и стокам указанных потоков, а дуги – самим потокам, причём веса дуг равны числу параметров соответствующего потока. Параметрические графы служат для разработки алгоритмов анализа технологических режимов многоконтурных ХТС. Такие алгоритмы устанавливают последовательность расчёта систем уравнений математических моделей отдельных аппаратов системы для определения параметров её выходных потоков при известных значениях их переменных.
Рис. 8.5. Одноконтурная химико-технологическая система и соответствующие графы:
а – структурная схема; б, в – материальные потоковые графы, соответственно по общим массовым расходам и расходу компонента А; г – тепловой потоковый граф; д – фрагмент системы уравнений (f1 – f6) материального баланса, полученной из анализа графов б и в; е – двудольный информационный орграф; ж – информационный граф; I – смеситель; II – реактор; III – ректификационная колонна; IV – холодильник; I1 – I8 – технологические потоки; q – массовый расход; H – энтальпия потока; i, s и i*, s* – соответственно, реальные и фиктивные источники и стоки материальных и тепловых потоков; с – концентрация реагента; V – объём реактора
Материальные потоковые графы отображают изменения расходов веществ в ХТС. Вершины графов отвечают аппаратам, в которых трансформируются общие массовые расходы физических потоков и массовые расходы некоторых химических компонентов или элементов, а также источникам и стокам веществ потоков либо данных компонентов; соответственно, дуги графов отвечают физическим потокам или физическим и фиктивным (химические превращения веществ в аппаратах) источникам и стокам компонентов, а веса дуг равны массовым расходам обоих типов. Тепловые потоковые графы отображают балансы теплоты в ХТС; вершины графов соответствуют аппаратам, в которых изменяются расходы теплоты физических потоков, и, кроме того, источникам и стокам тепловой энергии системы; дуги отвечают физическим и фиктивным (физико-
химическим превращения энергии в аппаратах) тепловым потокам, а веса дуг равны энтальпиям потоков. Материальные и тепловые графы используют для составления программ автоматизированной разработки алгоритмов решения систем уравнений материальных и тепловых балансов сложных ХТС.
Информационно-потоковые графы отображают логико-информационную структуру систем уравнений математических моделей ХТС; применяются для составления оптимальных алгоритмов расчёта этих систем. Сигнальные графы соответствуют линейным системам уравнений математических моделей химико-технологических процессов и систем. Вершины графов отвечают сигналам (например температуре), ветви – связям между ними. Такие графы используют для анализа статических и динамических режимов многопараметрических процессов и ХТС, а также показателей ряда их важнейших свойств (устойчивости, чувствительности, управляемости).
Графы надёжности применяют для расчёта различных показателей надёжности ХТС. Среди многочисленных групп этих графов (например параметрических, логико-функциональных) особенно важны так называемые деревья отказов. Каждое такое дерево – это взвешенный орграф, отображающий взаимосвязь множества простых отказов отдельных процессов и аппаратов ХТС, которые приводят к множеству вторичных отказов и результирующему отказу системы в целом.
Последовательность сцеплённых дуг, позволяющая пройти от одной вершины к другой, называется путём. Путь можно обозначить как через последовательность дуг, так и через последовательность вершин. Путь, начальная вершина которого совпадает с конечной, причём каждая вершина, за исключением начальной, проходится только один раз, называется контуром. Например, на рис. 8.1 имеются три контура (по вершинам): 2–3–4–2, 3–4–3 и 6–7–6.
Комплексом называется часть графа, вершины которого обладают следующими свойствами:
− каждая из вершин и дуг комплекса входит в один из контуров графа;
− если вершина i входит в комплекс, то в этот комплекс входят также все вершины, входящие в контуры, которые содержат вершину i.
Например, на графе, представленном на рис. 8.1 имеются два комплекса (по вершинам): 2–3–4 и 6–7. В первый комплекс входят два контура (2–3–4–2 и 3–4–3), а во второй – один (6–7–6).
Представленная на рис. 8.1 схема движения материальных потоков (граф) является достаточно простой, поэтому позволяет проводить свой анализ без применения каких-либо программных продуктов. В случае более сложной схемы, проводить анализ становится затруднительно, так как при поиске оптимального множества разрываемых потоков комплексов необходимо проводить анализ достаточно большого количества информации и быстродействия. При использовании для анализа
структуры ХТС специальных алгоритмов возникает проблема ввода в компьютер структурной схемы, т.е. её формализация в каком-либо числовом виде. В зависимости от выбранного способа анализа структуру ХТС обычно формализуют в виде матрицы смежности или в виде списка смежности.
Матрица смежности представляет собой двоичную таблицу, количество строк и столбцов которой равны количеству вершин графа. Для учёта входных и выходных потоков матрицу смежности добавляют нулевой строкой и столбцом, учитывая как нулевую вершину – окружающую среду. В случае, если между двумя вершинами есть связь, то элементу матрицы
смежности, находящемуся на пересечении столбца и строки с соответствующими номерами вершин, присваивается значение «1», а в случае отсутствия связи – «0». Например, для графа, представленного на рис. 8.1 можно составить следующую матрицу смежности (рис. 8.6).
Список смежности для графа, представленного на рис. 8.1 можно представить в виде (рис. 8.7).
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1 0 0
2 0 0 0 1 0 0 0 0
3 0 0 0 0 1 0 0 0
4 0 0 1 1 0 1 0 0
5 0 0 0 0 0 0 1 0
6 0 0 0 0 0 0 0 1
7 1 0 0 0 0 0 1 0
Рис. 8.6. Матрица смежности
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 1 1 2 3 4 4 4 5 7 6 7
1 2 5 3 4 3 2 5 6 6 7 0
Рис. 8.7. Список смежности
В данном списке первая строка матрицы обозначает номер связи графа. Во второй строке указывается номер вершины, откуда указанная связь выходит, а в третьей – в какую вершину графа связь входит.
Кроме списка смежности, связи графа можно представить в таблицах связей. Например, для графа, представленного на рис. 8.1 таблицы связей будут выглядеть следующим образом (рис. 8.8).
Таблица А Таблица В
1 2 5 1 0
2 3 2 1 4
3 4 3 2 4
4 2 3 5 4 3
5 6 5 1 4
6 7 6 5 7
7 6 7 6
Рис. 8.8. Таблицы связей
Таблица А называется таблицей входных связей, а таблицу В – таблицей выходных связей. В первом столбце таблицы А указываются все вершины графа, а в последующих – номера вершин графа, куда идут связи из соответствующих номеров вершин, указанных в первом столбце таблицы. В таблице В указываются номера вершин графа, откуда идут связи в соответствующие номера вершин, указанные в первом столбце таблицы В. Модификацией А и В таблиц связи являются NA и NB таблицы связей (рис. 8.9), отличающихся от А и В таблиц тем, что в них указываются номера входящих и выходящих в заданную вершину связей.
Таблица NА Таблица NВ
1 2 3 1 1
2 4 2 2 7
3 5 3 4 6
4 6 7 8 4 5
5 9 5 3 8
6 11 6 9 10
7 10 12 7 11
Рис. 8.9. Модифицированные таблицы связей
Из указанных способов формализации ХТС сложно выбрать один, так как все способы одинаково хорошо выполняют свои функции и могут использоваться без каких-либо ограничений для формализации и ввода в компьютер структуры ХТС любой сложности. Основным критерием выбора того или иного способа формализации ХТС является выбранный алгоритм поиска оптимального множества разрываемых связей с целью перевода ХТС из замкнутого в разомкнутый вид.