Распределение семей города по размеру среднедушевого дохода в январе 1998 г.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА. СТРУКТУРНЫЕ СРЕДНИЕ

Мода – значение признака, наиболее часто встречающегося в исследуемой совокупности.

Медиана – значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Для дискретных вариационных рядов модой будет значение варианта с наибольшей частотой. Вычисление медианы в дискретных рядах распределения имеет специфику. Если такой ряд распределения имеет нечётное число членов, то медианой будет вариант, находящийся в середине ранжированного ряда. Если ранжированный ряд распределения состоит из чётного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух значений признака, расположенных в середине ряда.

Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 7.10.

Т а б л и ц а 7.10.

Распределение обуви, проданной коммерческой фирмой в январе 2008г.

Размер Me 42 Mo 44 и более Итого
Количество проданных пар, % к итогу
Накопленные частоты         -

В этом ряду распределения мода равна 42. Именно этот размер обуви в январе 2008 г. пользовался наибольшим спросом.

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание продолжается до получения накопленной суммы частот, впервые превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила 100, её половина – 50. Накопленная сумма частот ряда равна 62. Ей соответствует значение признака равное 40. Таким образом, 40-й размер обуви является медианным.

Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле:

где xMo – нижняя граница значения интервала, содержащего моду;

iMo – величина модального интервала;

fMo – частота модального интервала;

fMo–1 – частота интервала, предшествующего модальному;

fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана интервального ряда распределения определяется по формуле:

,

где xMe – нижняя граница значения интервала, содержащего медиану;

iMe – величина медианного интервала;

f – сумма частот;

SMe-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

FMe – частота медианного интервала.

Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 7.11.

руб.

Следовательно, наибольшее число семей имеют среднедушевой доход 772 руб.

руб.

Таким образом, половина семей города имеет среднедушевой доход менее 780 руб., остальные семьи – более 780 руб.

Т а б л и ц а 7.11.

Распределение семей города по размеру среднедушевого дохода в январе 1998 г.

Группы семей по размеру дохода, руб. Число семей fi Накопление частоты Накопление частоты, % к итогу
До 500 500 – 600
Me
Mo
600 – 700

700 – 800

800 – 900

900 – 1000

Свыше 1000
Итого fi - -

 

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Например, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равных части, десять или сто частей. Эти величины называются «квартили», «децили» и «перцентили».

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квартиль нижний (Q1), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшим значением признака, и квартиль верхний (Q3), отсекающий ¼ часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц будут заключены меньше по величине Q1; 25% единиц будут заключены между Q1 и Q2; 25% - между Q2 и Q3 и остальные 25% превосходят Q3. Средним квартилем Q2 является медиана.

Для расчёта квартилей по интервальному вариационному ряду используют формулы:

;

,

где xQ1 – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

xQ3 – нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

SQ1-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

SQ3-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему верхний квартиль;

fQ1 – частота интервала, содержащего нижний квартиль;