Уравнения механической системы
Математические выражения, связывающие параметры движения сооружений и воздействий на него, называются уравнениями движения сооружений. Имеются три метода вывода уравнения движения – метод динамического равновесия, принцип возможных (виртуальных) перемещений и закон сохранения энергии при колебаниях (принцип Гамильтона).
Решение сложных задач динамики может быть сведено к решению более простых задач статики, если к силам действующим на систему материальных точек или деформируемую систему, добавить силы инерции.
Силой инерции называется воображаемая сила, равная по величине произведению массы точки на ее ускорение и имеющая направление прямо противоположное ускорению
Второй з-н Ньютона связывающий силу Р и вызываемое ею ускорение записывается в виде:
(II.1)
Понятие силы инерции можно ввести, если равенство (II.1) переписать в форме
(II.2)
или Р+Rj=0 (II.3), где
Формулу (II.3) можно рассматривать как запись условия равенства нулю суммы проекций всех сил, действующих на массу m. При этом под Rj понимается сила прикладываемая к массе, которая условно рассматривается как находящаяся в покое. Это и есть сила инерции, а принцип Даламбера состоит в том, что уравнение движения типа (II.2) можно получить путем составления обычных уравнений равновесия типа (II.3).
Рис. Модель системы с одной степенью свободы.
Равновесие этой системы от воздействия переменной во времени силы Pt обеспечивается тремя силами сопротивления: инерционная Rj, диссипативная RD и восстанавливающая RS. Условие равновесия этих сил:
RJ + RD + RS = P(t) (II.4)
Упругая восстанавливающая сила характеризуется жесткостью пружины К на перемещение х:
RS = k x (II.5a)
Сила инерции равна произвдению массы на ускорение
(II.5б)
При вязком затухании диссипативная сила RD определяется произведением постоянной затухания С на скорость системы:
(II.5в)
После подстановки этих выражений в формулу (II.4) получаем уравнение движения рассматриваемой системы с одной степень свободы:
(II.6)
Левая часть этого уравнения движения определяет сопротивляемость (реакцию) деформируемой системы, а правая часть характеризует закон изменения (модель) воздействия.
Свободные или собственные колебания происходят в изолированной системе после внешнего возмущения. Характер колебательного процесса определяется внутренними силами системы, зависящими от физического строения.
Идеализированные системы в которых запас механической энергии остается постоянным называется консервативными системами.
Лекция 13, 14