Аналитические модели эксплуатационной надежности машин

Машины, их агрегаты, системы, узлы называют объектами или изделиями. Объект состоит из элементов. Элемент — часть машины, не имеющая самостоятельного эксплуатационного назначения и выполняющая в ней только определенные функции. Для использования элемента в машине его необходимо соединить с другими элементами в определенный узел, агрегат, сборочную единицу или систему. Элементами, например, являются валы, подшипники качения и скольжения, шестерни, клапаны и т.д.

Наличие или появление дефектов машин, что возможно на любой стадии эксплуатации, отрицательно сказывается на их качестве и надежности.

Качество— это совокупность свойств, обусловливающих пригодность машин удовлетворять потребности строительной индустрии в соответствии с их назначением. Среди свойств качества машины важное место занимает надежность.

Надежность машины — свойство сохранять во времени способность к выполнению требуемых функций при условии соблюдения правил эксплуатации, предусмотренных нормативно-технической и эксплуатационной документацией.

Надежность — комплексное свойство машины, состоящее из ее безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохраняемости. В зависимости от типа машины ее надежность может определяться всеми или частью перечисленных свойств.

Безотказность — свойство машины непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или наработки.

Долговечность— способность машины не достигать в течение достаточно длительного времени предельного состояния, т. е. такого состояния, при котором дальнейшее использование машины по назначению становится невозможным или нецелесообразным, несмотря на наличие установленной системы ТО и Р.

Ремонтопригодность — свойство машины, заключающееся в ее приспособленности к поддержанию и восстановлению работоспособного состояния проведением ТО и Р. Понятие ремонтопригодности включает в себя обслуживаемость, т.е. приспособленность машины к ТО; контролепригодность и диагностируемость — приспособленность машины к предупреждению и обнаружению отказов и повреждений, а также причин, их вызывающих.

Для обеспечения ремонтопригодности машин необходимо, чтобы количественные значения ее показателей могли оцениваться и контролироваться на стадии эксплуатации. Следовательно, для каждого типа машин и определенных условий их эксплуатации должны быть установлены показатели ремонтопригодности и методы их расчета.

Сохраняемость определяется как свойство машины сохранять в заданных пределах значения параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в течение и после хранения и транспортирования. В процессе хранения или транспортирования машин их сезонное оборудование подвергается колебаниям температуры, действию влажного воздуха, вибрациям и т.д. В результате после хранения или транспортирования машина или ее оборудование может оказаться в неработоспособном и даже предельном состоянии. Сохраняемость характеризуется способностью машины противостоять отрицательному влиянию условий и продолжительности ее хранения и транспортирования.

В результате изнашивания машин, старения материалов, нарушения регулировок и эксплуатационных повреждений их техническое состояние в процессе эксплуатации изменяется. Это предопределяет необходимость осуществления комплекса профилактических и ремонтных работ для поддержания и восстановления работоспособного состояния машин.

Состояние машины, при котором она соответствует всем требованиям документации, называется исправным. Если машина не соответствует хотя бы одному из требований документации, то она неисправна.

Работоспособным называется такое состояние машины, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям технической документации. Состояние машины, при котором значение хотя бы одного параметра не соответствует установленным требованиям к выполнению заданных функций, называется неработоспособным. Работоспособная машина, в отличие от исправной, должна удовлетворять лишь тем требованиям технической документации, выполнение которых обеспечивает ее применение по назначению. Работоспособная машина может быть неисправной, если, например, перегорела лампочка освещения щитка приборов, не работает датчик уровня топлива в баке, понижено давление в шинах и т.д., причем эти неисправности машины не препятствуют ее применению по назначению. Частично работоспособное состояние машины — это состояние, при котором она способна выполнять требуемые функции с пониженными показателями, например с пониженной производительностью или скоростью и др.

В работоспособном состоянии различаются рабочее состояние и плановый простой, при котором машина не применяется по назначению (рис. 4.9). Состояние неготовности подразделяется на «внутреннее» неработоспособное состояние, вызванное незавершенностью плановых ТО, ремонта или неплановым ремонтом, а также состоянием неготовности, обусловленным организационными причинами. В этом случае состояние неготовности оказывается шире, чем неработоспособное состояние.

Особое место занимаетпредельное состояние машины, так как влечет за собой временное или окончательное прекращение ее эксплуатации. Но машина может перейти в предельное состояние, оставаясь работоспособной, если ее дальнейшее применение перестает быть допустимым по требованиям безопасности, экономичности или эффективности. При достижении предельного состояния машина направляется в плановый ремонт, списывается или утилизируется.

Каждое состояние машины характеризуют некоторой совокупностью значений параметров, а также качественных признаков. Перечень этих параметров и пределы их допустимых изменений устанавливают в нормативно-технической документации. К параметрам, характеризующим способность машины выполнять требуемые функции, относят кинематические и динамические параметры, эксплуатационные показатели функционирования и др. Любое событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния машины, называется отказом. Необходимо отличать отказы от повреждений, т. е. от нарушения исправного состояния машины при сохранении ее работоспособности.

Рис. 4.9. Классификация состояний машин

При увеличении наработки машин число отказов растет. На рис. 4.10 представлены зависимости роста числа отказов Q от продолжительности эксплуатации машин /.

При анализе отказов они подразделяются на различные виды для обнаружения причин возникновения и разработки мер по их предотвращению и устранению.

В некоторых случаях машина после отказа какого-то элемента еще сохраняет работоспособность и может быть частично использована по назначению.

По возможности использования машины различают полный отказ, до устранения которого работа машины невозможна, и частичный отказ, до устранения которого машину можно использовать с меньшей эффективностью.

По причине возникновенияотказы делятся на конструкционные, производственные и эксплуатационные. Конструкционные отказы вызваны ошибками при проектировании и конструировании машин. Производственные отказы связаны с нарушениями технологических процессов изготовления или ремонта. Эксплуатационные отказы обусловлены несоблюдением правил эксплуатации, например невыполнением контрольно-осмотровых работ при ежесменном обслуживании, периодичностей и объемов работ ТО, низким уровнем качества восстановления работоспособности машин.

По возможности обнаружения: наличие отказа машины в эксплуатации часто может быть обнаружено по какому-то внешнему признаку сразу после его проявления, например течь масла через сальник гидроцилиндра. В этом случае отказ является явным. Если же по внешним признакам отказ обнаружить нельзя, его относят к скрытому. Такой отказ выявляют в процессе ТО.

По связи с другими отказами: проявление отказа какого-то элемента или изделия может быть связано или не связано с возникновением другого отказа. Ввиду этого по связи с другими отказами различают зависимые и независимые отказы. Например, задир шейки коленчатого вала двигателя из-за отказа масляного насоса — отказ зависимый, а отказ шестеренного насоса из-за износа уплотнительного кольца не зависит от отказа подшипника ступицы колеса.

Рис. 4.10. Зависимость числа отказов машин от продолжительности

эксплуатации: 1 — гидросистема; 2 — рабочее оборудование;

3 — ходовое оборудование; 4 — силовая установка; 5 — машина в целом

По характеру изменения и возможности прогнозирования надежности изделияразличаются постепенные и внезапные отказы. Постепенные отказы возникают в результате плавного изменения одного или нескольких параметров технического состояния. Вероятность появления такого отказа в заданном интервале наработки зависит от периода предыдущей работы, и чем он больше, тем выше вероятность образования отказа. К этому виду относится большинство отказов машин (40...80 %), связанных с изнашиванием, усталостью, коррозией и другими процессами старения материалов деталей. Примером таких отказов является постепенное падение объемного КПД гидросистемы из-за износа деталей сборочных единиц. Этот вид отказа может быть предупрежден благодаря диагностированию, прогнозированию и профилактическому обслуживанию. Причиной внезапных отказов являются процессы, возникающие в результате действия сочетания неблагоприятных факторов и внешних нагрузок на машину, превышающих предельно допустимые. Вероятность появления такого отказа в заданном интервале наработки незначительно зависит от длительности предыдущей эксплуатации машины и степени старения конструктивных элементов. Например; причиной отказа коренного листа рессоры явилось возникновение такой нагрузки, на которую он не рассчитан; или срез фланца полуоси при трогании машины, который произошел из-за загустения масла заднего моста при низкой температуре.

По времени проявления отказов в процессе эксплуатации машин различают приработочные и деградационные отказы.

Приработочные отказы возникают на ранней стадии эксплуатации, когда проявляется влияние дефектов, не обнаруженных и не устраненных в процессе производства машины.

Деградационными называются отказы, вызванные процессами старения, изнашивания, усталости, коррозии при условии соблюдения установленных правил и норм проектирования, производства и эксплуатации. Эти отказы происходят на поздней стадии эксплуатации машин, когда вследствие естественных процессов их состояние по условиям физического износа приближается к предельному.

По сложности устранения отказы могут разделяться на три группы.

Первая группа сложности характеризует отказы, устраняемые непосредственно на месте работы машины ремонтом или заменой деталей, расположенных снаружи сборочных единиц, а также отказы, устранение которых требует внеочередного выполнения операций ТО.

Вторая группа сложности включает в себя отказы, устраняемые ремонтом или заменой легко доступных сборочных единиц или деталей, а также отказы, устранение которых требует раскрытия внутренних полостей основных сборочных единиц (без их разборки).

Третья группа сложности содержит отказы, для устранения которых требуется разборка или расчленение основных сборочных единиц.

Обычно на первую группу сложности отказов экскаватора приходится 15 % отказов, на вторую — 42, на третью — 43 %.

В зависимости от группы сложности изменяется и трудоемкость устранения отказов сборочных единиц экскаваторов (табл. 4.1).

Эксплуатация машин и их составных частей происходит во времени. Выделяя из суммарного времени эксплуатации машин только то время, в течение которого они применяются по назначению, приходят к понятию наработки, т. е. продолжительности работы машины. Наработка измеряется в единицах времени (ч, маш.-ч, мото-ч) или в, единицах целочисленных величин (число рабочих циклов). Поскольку машины работают с перерывами, отличают непрерывную и суммарную наработку.

Таблица 4.1

Трудоемкость устранения отказов экскаваторов по группам сложности, чел.-ч

Различают наработку до отказа и наработку между отказами. Наработка до отказа характеризует продолжительность от начала эксплуатации машины до появления отказа, наработка между отказами отсчитывается от окончания восстановления работоспособного состояния машины после отказа до возникновения следующего отказа. Наработка до отказа вводится как для невосстанавливаемых, так и для восстанавливаемых изделий. Наработка между отказами относится только к восстанавливаемым изделиям и определяется от k-то до (&+1)-го отказа, где к = 1, 2, ... — целое число.

Долговечность машины характеризуется ресурсом или сроком службы. Ресурсом называется суммарная наработка машины от начала ее эксплуатации или возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние. Срок службы — календарная продолжительность от начала эксплуатации машины или возобновления ее использования после ремонта до предельного состояния. Ресурс представляет собой запас возможной наработки машины.

Суммарная наработка машины от момента контроля ее технического состояния до перехода в предельное называется остаточным ресурсом.

Показателями надежности называются количественные характеристики одного или нескольких свойств, составляющих надежность машин. В первом случае показатели называются единичными, во втором — комплексными. И те и другие показатели определяются по данным эксплуатации и называются эксплуатационными.

Эксплуатация машин связана с различными случайными величинами, такими как наработка до отказа или предельного состояния; число требований на ТО и Р в течение суток, недели; время простоя машин на местах использования или эксплуатационной базе предприятия в ожидании ТО или ремонта; время восстановления работоспособности машин; расход запасных частей и материалов и др. Эти величины оказывают существенное влияние на организацию обеспечения работоспособности машин, и поэтому требуется знать их количественные характеристики.

В зависимости от того, возможно или нет восстановление работоспособного состояния в рассматриваемой ситуации и предусмотрено или нет такое восстановление технической документацией, изделия подразделяются на восстанавливаемые и невосстанавливаемые. Примерами невосстанавливаемых изделий являются подшипники качения и скольжения, шестерни, уплотнения, шланги, сальники, электромагниты и т.д.

Показателями надежности невосстанавливаемых изделий являются вероятность отказа; вероятность безотказной работы; гаммапроцентная наработка до отказа; плотность вероятностей распределения отказов; интенсивность отказов; средняя наработка до отказа; среднее квадратическое отклонение, характеризующее рассеивание или разброс случайной наработки до отказа относительно математического ожидания.

Допустим, что т одинаковых невосстанавливаемых изделий находятся в эксплуатации, которая должна выявить их надежность. Пусть наработка изделия представляет собой случайную величину τ. В момент t = 0 изделие начинает работать, а при наработке t = τ происходит отказ, следовательно, τ — это период жизни изделия, который носит случайный характер. В таком случае показателем надежности является вероятность отказа — это вероятность того, что изделие откажет хотя бы 1 раз в течение заданной наработки, будучи работоспособным в начальный момент времени. В вероятностной форме этот показатель можно записать

где F(t₁) — вероятность того, что изделие, начав работать в момент времени t = 0, откажет хотя бы 1 раз в течение заданной наработки t₁; τ — случайная наработка изделия до первого отказа.

Как видно из графика (рис. 4.11), вероятность F(t) задается монотонно возрастающей интегральной функцией распределения.

При t = 0 F(t = 0) = 0, а при t→∞ F(t = ∞) = 1. Вероятность того, что значение случайной наработки до отказа τ заключено в интервале t < τ < t + Δt, равна разности значений функции распределения, вычисленных при наработке t и t + Δt, т.е . При статистической оценке вероятность отказа

где n(t₁) — число изделий, отказавших к наработке t₁; N(0) — общее число изделий, находившихся в эксплуатации.

Рис. 4.11. Графики изменения; а — функции распределения F(t);

б — плотности вероятностей распределения f(t)

Противоположным показателем вероятности отказа является вероятность безотказной работы, т.е. вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ изделия не возникнет:

Тогда вероятность безотказной работы в интервале наработки от t = 0 до t₁ можно записать в виде

В статистической форме вероятность безотказной работы определяется по формуле

К показателям безотказной работы изделия относится также гамма-процентная наработка до отказа — наработка, в течение которой отказ изделия не возникает с вероятностью γ, выраженной в процентах. Гамма-процентная наработка до отказа t_γ определяется по формуле

где P(t_γ) — вероятность безотказной работы.

Другим показателем надежности изделия является плотность вероятностей распределения отказов, которая представляет собой предел отношения вероятности появления отказа на элементарном участке наработки от t до t + Δt к его длине Δt при Δt→ 0, т. е.

Таким образом, плотность распределения отказов в вероятностной форме

где f(t) — плотность вероятностей того, что наработка до отказа изделия окажется меньше t (плотность вероятностей отказа к моменту наработки t).

Для всех f(t) ≥ 0.

Вероятность того, что случайная наработка до первого отказа х попадет в интервал (t, t + Δt), равна относительной площади под кривой f(t) между t и t + Δt (см. рис. 4.11), т.е.

Площадь, ограниченная кривой плотности распределения и осью наработки, равна единице. Плотность распределения вероятностей появления отказов имеет размерность, обратную размерности наработки.

При статистической оценке плотность вероятностей

где f(t) — отношение числа отказов в интервале наработки (t, t+Δt) к произведению числа работоспособных изделий в начальный момент t = 0 и длительности интервала наработки Δt; Δn(t, t + Δt) — число изделий, отказавших в интервале наработки (t, t + Δt).

Важным показателем надежности невосстанавливаемого изделия является интенсивность отказов — это плотность вероятности возникновения отказа, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник. Интенсивность отказов λ(t) выражается через функции F(t), P(t) и f(t).

В вероятностной форме интенсивность отказов

(4.2)

Интенсивность отказов всегда равна приведенному отношению.

Из уравнения (4.2) выражается вероятность безотказной работы через интенсивность отказов:

Отсюда вероятность безотказной работы в интервале наработки

При статистической оценке интенсивности отказов

где λ(t) — отношение числа отказов в интервале наработки (t, t+ Δt) к произведению числа изделий, работоспособных в начальный момент t, и длины интервала наработки Δt.

Показателем надежности невосстанавливаемого изделия является также средняя наработка до отказа — математическое ожидание наработки изделия до первого отказа. В вероятностной форме этот показатель определяется зависимостью

При статистической оценке средняя наработка до отказа

где τ_i — случайная наработка до первого отказа i-го изделия; N — число изделий, находившихся в эксплуатации.

Следующим показателем надежности невосстанавливаемого изделия является среднее квадратическое отклонение а, характеризующее рассеивание или разброс случайной наработки до отказа относительно математического ожидания:

где D(τ) — дисперсия случайной наработки.

В статистической форме среднее квадратическое отклонение

Показатели надежности восстанавливаемых изделий включают в себя среднюю наработку между отказами; среднюю наработку на отказ; среднее время восстановления; интенсивность восстановления. При определении показателей надежности восстанавливаемых изделий до первого отказа могут использоваться все рассмотренные показатели надежности невосстанавливаемых изделий. Примерами восстанавливаемых изделий являются машины, их агрегаты, системы, сборочные единицы, узлы.

Средняя наработка между отказами при вероятностной оценке

где Т— математическое ожидание наработки между отказами; Т_k — средняя наработка изделия от момента окончания (k - 1)-го восстановления до k-го отказа; К— число восстановлений; Т_j — наработка изделий от (j- 1)-го до j-го восстановления:

где f_k(t) — плотность распределения наработки между отказами; P_k(t) — вероятность безотказной работы между отказами.

В статистической форме оценка средней наработки между отказами

где N(0) — общее число изделий, начавших работать после (k - 1)-го восстановления; τ'_k — реализация наработки после (k - 1)-го восстановления до k-го отказа i-го изделия.

Отношение суммарной наработки восстанавливаемого изделия к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки называется средней наработкой на отказ.

При вероятностной оценке средняя наработка на отказ будет равна

где t₀ — суммарная наработка изделия; M[m(t₀)] — математическое ожидание числа отказов за эту наработку.

Статистическая оценка средней наработки на отказ определится по формуле

где t₀ — суммарная наработка изделия за период наблюдений; m(t0) — число отказов, фактически происшедших за суммарную наработку t.

Рис. 4.12. Зависимость наработки на отказ машин от продолжительности эксплуатации: 1 — ходовое оборудование; 2— рабочее оборудование; 3 — силовая установка;

4 — гидросистема; 5 — машина в целом

На рис. 4.12 показаны зависимости наработки на отказ от продолжительности эксплуатации машин.

Математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния изделия после отказа называется средним временем восстановления. При вероятностной оценке оно равно

где t_в — среднее время одиночного восстановления; f_в(t) — плотность распределения времени; F_в(t) — функция распределения.

Статистическая оценка среднего времени восстановления определяется по формуле

где N(0) — общее число восстановленных изделий; tB — среднее время ремонта i-го изделия.

Условная плотность вероятности восстановления работоспособного состояния изделия, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента ремонт не был завершен, называется интенсивностью восстановления. Интенсивность восстановления в момент времени t, отсчитываемого с начала выполнения работ, при вероятностной оценке находится по формуле

В статистической форме интенсивность восстановления

где А, — отношение числа восстановлений в интервале времени (t, t + Δt) к произведению числа изделий, еще не восстановленных к моменту t, и длительности интервала времени восстановления Δt; n_в (t) — число изделий, время ремонта которых длилось меньше t; N_в (t) — число изделий, ремонт которых длился больше t.

Коэффициент готовности — комплексный показатель надежности, количественно характеризующий безотказность и ремонтопригодность и представляющий собой вероятность того, что машина окажется работоспособной в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых ее применение по назначению не предусмотрено.

Статистическая оценка коэффициента готовности определяется отношением суммарного времени пребывания машин в работоспособном состоянии к произведению их числа и продолжительности эксплуатации (за исключением простоев на выполнение плановых ремонтов и ТО):

где ξ_i; — суммарное время пребывания i-й машины в работоспособном состоянии; N — общее число машин, ед.; Т_раб — продолжительность эксплуатации, состоящей из последовательно чередующихся интервалов времени работы и восстановления.

При порядке обслуживания, предусматривающем немедленное начало восстановления изделия, коэффициент готовности

Коэффициент технического использования характеризует долю времени нахождения машины в работоспособном состоянии относительно общей продолжительности эксплуатации и статистически определяется отношением суммарного времени пребывания машин в работоспособном состоянии к произведению их числа и заданного времени эксплуатации:

где Т_экс — продолжительность эксплуатации, состоящей из интервалов времени работы, ТО и Р.

Если заданное время эксплуатации Т_экс различно для каждой машины, то соотношение (4.3) принимает вид

где t_cyм — суммарная наработка машин; t_TO — суммарное время простоев из-за ТО; t_peм — суммарное время простоев из-за плановых и неплановых ремонтов.

Время простоя по организационным причинам не учитывается.

Рассмотренные количественные характеристики показывают, что при изучении надежности машин приходится иметь дело с различными случайными величинами. Случайная величина исчерпывающе описывается с вероятностной точки зрения, если известна ее Математическая модель распределения.

Под моделью распределения понимается всякое соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Однопараметприческая экспоненциальная модель используется для описания отказов элементов агрегатов и сборочных единиц, работающих в тяжелых условиях под воздействием «пиковых» климатических, механических, температурных и электрических нагрузок, когда процессы изнашивания и старения настолько слабо выражены, что ими можно пренебречь. Эта модель может описывать также случайную наработку элементов между отказами, случайную длительность проверки или контроля агрегатов и систем машин, случайную длительность операций ТО и Р и др.

Для описания наработок до отказа деталей и сборочных единиц машин экспоненциальное распределение имеет ограниченное применение. Так, например, для экскаваторов этому распределению подчиняется около 6 % отказов изделий. К таким деталям относятся, например, манжеты гидроцилиндров рукояти и стрелы, звенья и пальцы гусеничной ленты и др.

Экспоненциальное распределение задается плотностью распределения

где λ — параметр распределения.

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

При известной характеристике P(t)

Параметр λ связан с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением:

Гамма-процентные показатели свойств надежности машин для рассматриваемого распределения определяются по формуле

Экспоненциальное распределение характеризуется некоторыми свойствами.

Математическое ожидание случайной величины равно среднему квадратическому отклонению, следовательно, коэффициент вариации, характеризующий разброс случайной величины в относительных единицах, равен

Распределение характеризуется постоянной интенсивностью λ=const, которая также служит параметром распределения, а вероятность безотказной работы элемента в течение заданной наработки не зависит от периода предшествующей работы.

Если отказы элементов сборочной единицы имеют экспоненциальное распределение, то отказы сборочной единицы имеют то же распределение, а интенсивность отказов ее элементов при последовательном соединении и независимости отказов суммируется.

До математического ожидания Т и после него распределяется соответственно 63 и 37 % случайной величины, потому что при t=T.

Это значит, что если, например, случайной величиной является наработка до отказа элементов, то при наработке Т 63 % элементов окажутся неработоспособными.

Экспоненциальное распределение может быть и двухпараметрическим. В этом случае плотность распределения

где с — параметр сдвига, характеризующий наработку, в течение которой отказы не возникают.

Зависимости характеристик от параметра модели распределения даны в табл. 4.2.

Нормальное двухпараметрическое распределение проявляется тогда, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов, но все они оказывают незначительное влияние.

Это распределение используется для описания монотонных изменений технических параметров агрегатов и систем машин, когда доля внезапных отказов мала. Такие изделия работают, как правило, в благоприятных условиях эксплуатации (в среде смазочных материалов). Модель характерна для постепенных отказов вследствие износа и старения. Данному распределению может подчиняться также случайная наработка машин и их агрегатов до капитального ремонта, время ремонта восстанавливаемых изделий, наработка до отказа невосстанавливаемых изделий и др.

Нормальной моделью распределения описывается от 9 до 13 % наработок до отказов деталей и сборочных единиц от общего количества изделий, лимитирующих надежность машин, например кольца гидроцилиндра ковша, шаровые пальцы рулевого управления, пальцы и втулки рабочего оборудования, катки и т.д.

Непрерывную случайную величину называют нормально распределенной, если ее плотность распределения

(4.4)

где Т, σ — параметры распределения: математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно.

Если Т= 0, а σ = 1, нормальное распределение центрировано и нормировано. При аргументе х, выраженном в этом случае в средних квадратических отклонениях, плотность распределения табулирована:

(4.5)

Отсюда Из выражений (4.4) и (4.5) получим

Функция нормального распределения будет иметь вид

(4.6)

Для нормированного и центрированного распределения функция табулирована:

(4.7)

Отсюда Из выражений (4.6) и (4.7) вероятность появления отказа

Гамма-процентные показатели свойств надежности машин при использовании нормальной модели определяются по формуле

Интенсивность отказов, описываемых этой моделью, растет по мере увеличения наработки. Отсюда следует, что элементы подвергаются изнашиванию и старению. В области малых значений наработки износ элементов оказывает несущественное влияние на изменение вероятности безотказной работы, например сборочной единицы машины. Однако после длительной эксплуатации, если отказы элементов имеют нормальное распределение, надежность быстро снижается, и по этой причине вероятность безотказной работы сборочной единицы падает.

Нормальное распределение характеризуется следующими свойствами.

Плотность распределения случайной величины симметрична относительно точки t, равной математическому ожиданию Т, с которым совпадает медиана, делящая площадь под кривой распределения пополам, т.е. слева и справа от медианы отказывает 50 % изделий, и мода, характеризующая максимальное значение плотности распределения,

Чем меньше среднее квадратическое отклонение σ, тем высота Н больше, поэтому кривая распределения более вытянута вверх и отказы начинают возникать при больших наработках изделий.

Абсцисса под кривой плотности распределения с точностью до 1 % равна 6σ, поэтому коэффициент вариации V≤0,33.

Зависимости характеристик надежности изделий от параметров нормальной модели показаны в табл. 4.2.

Логарифмически нормальное распределение применяется для описания степени износа, когда приращение износа пропорционально его мгновенному значению, и для описания наработки, в случае быстрого «выгорания» ненадежных элементов. Логарифмически нормальное распределение применяют для обработки результатов ускоренных испытаний некоторых изделий. Данному распределению может подчиняться наработка до отказа невосстанавливаемых объектов, у которых отказ происходит в результате усталостного разрушения, а также время восстановления работоспособности изделия.

Таблица 4.2

Модели распределения непрерывных случайных величин

Логарифмически нормальному распределению подчиняются наработки до отказа 18... 24 % деталей и сборочных единиц общего количества изделий, лимитирующих надежность машин. К таким изделиям относятся, например, кольца центрального коллектора, втулки рабочего оборудования, шестерни полуосей переднего моста, рабочие секции гидрораспределителей, оси и втулки ходового оборудования, подшипники и манжеты натяжных колес и т.д.

Непрерывную случайную величину называют логарифмически нормально распределенной, если логарифм случайной величины имеет нормальное распределение. Для этой модели плотность распределения вероятностей

где Т_л, σ_л — параметры логарифмически нормального распределения.

Параметры Т_л и σ_л связаны с математическим ожиданием Т и средним квадратическим отклонением о случайной величины следующим образом:

Для решения практических задач надежности машин характеристики распределения определяются по аналогии с нормальной моделью.

Плотность логарифмически нормального распределения

Вероятность появления первого отказа

Гамма-процентные показатели свойств надежности машин рассчитываются согласно выражению

Свойства логарифмически нормального распределения заключаются в следующем.

Распределение имеет единственную моду при и

медиану при

Если математические ожидания случайных наработок до отказов элементов Т₁ и Т₂ независимы и логарифмически нормально распределены, то их произведение также имеет логарифмически нормальное распределение.

Распределение Вейбулла—Гнеденко занимает центральное место при изучении характеристик и показателей надежности машин. Этому распределению подчиняется наработка на отказ (до отказа) многих восстанавливаемых (невосстанавливаемых) изделий, у которых отказ наступает в результате усталостного разрушения.

Случайные наработки до отказа (на отказ) деталей и сборочных единиц машин описываются рассматриваемым распределением наиболее часто. На долю таких изделий приходится 56...67 % общего количества деталей и сборочных единиц, лимитирующих надежность машин. Такими изделиями являются манжеты гидроцилиндров, зубья ковша, полуоси, сателлиты, кольца гидрораспределителей, подшипники, валы-шестерни механизма поворота платформы и др.

Непрерывная случайная величина соответствует данной модели, если ее плотность распределения

где а — параметр масштаба; b — параметр формы; с — параметр сдвига.

Достоинством этого распределения является то, что кривые распределения могут принимать разнообразные формы (см. табл. 4.2).

Математическое ожидание и среднее квадратическре отклонение находятся по формулам

где коэффициенты К_b и g_b определяются по таблицам в зависимости от параметра формы или коэффициента вариации.

Если t является наработкой до отказа, то вероятность безотказной работы

Гамма-процентные показатели для различных свойств надежности изделий определяются по формуле

Распределение Вейбулла—Гнеденко обладает радом важных свойств.

Изменение параметра а растягивает или сжимает кривую плотности распределения, выполняя таким образом роль масштабного параметра.

Величина эксцесса Е_k характеризует островершинность кривой плотности распределения по сравнению с нормальным распределением. Если Е_k= 0, то распределение при параметре формы b = 3,25 приблизительно нормальное. При b = 1 распределение становится экспоненциальным.

Модель имеет одну моду при

При b < 1 интенсивность отказов монотонно убывает, это соответствует случаю быстрого «выгорания» ненадежных элементов. При b > 1 интенсивность отказов монотонно возрастает, это соответствует постепенному старению элементов. При b = 1 интенсивность отказов постоянна.

Если параметр сдвига с=0, модель распределения становится двухпараметрической. Положительное значение параметра с характеризует наработку, в течение которой отказы не возникают. Это значение наработки может быть принято как гарантийная наработка изделий. Отрицательное значение параметра с может соответствовать отказам при хранении и транспортировании.

Наиболее достоверными исходными данными для вычисления характеристик и показателей свойств надежности являются, как и в предыдущих случаях, данные эксплуатационных наблюдений.

• ⇐ Назад
• 1
• 234
• 5
• 6
• Далее ⇒