Методы решения систем линейных уравнений
Существуют три основных метода решений систем линейных уравнений.
1 Метод Крамера (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)
Теорема Если в системе n линейных уравнений с n неизвестными определитель матрицы системы 
, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
(1)
где 
- определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Формулы (1) называют формулами Крамера.
Пример 5 Решить систему уравнений методом Крамера
Решение: Найдем определитель системы:
.
Т. к. 
, то по теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители матриц ∆1, ∆2, ∆3, полученных из матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов.
;
;
.
Теперь по формулам Крамера 
; 
; 
,
т. е. решение системы (-1; 0; 1).
2 Метод обратной матрицы
Если система n линейных уравнений с n неизвестными записана в матричной форме АХ=В и , то её решение находится методом обратной матрицы по формуле:
.
Пример 6 Решить систему методом обратной матрицы:
Решение: Запишем систему уравнений в матричной форме.
.
, 
, 
.
Решение матричного уравнения имеет вид
.
Найдем обратную матрицу А-1.
Для этого вычислим определитель матрицы А:
- следовательно матрица А имеет
обратную матрицу А-1.
Найдем алгебраические дополнения матрицы А.
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Таким образом,
,
откуда
.
Следовательно, х1 = 4, х2 = 2, х3 = 1.
3 Метод Гаусса
Методом Гаусса можно решить любую систему уравнений общего вида. Для этого составляют расширенную матрицу системы (А/В), приписывая к матрице А столбец свободных членов В, и с помощью элементарных преобразований приводят матрицу к ступенчатому виду. По полученной матрице выписывают новую систему и решают ее методом исключения неизвестных: начиная с последних переменных, находят все остальные.
Пример 7 Решить систему методом Гаусса:
Решение: Подвергнем преобразованию расширенную матрицу данной системы. Вычтем из элементов второй строки соответствующие элементы первой строки, а из элементов третьей строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на 3, получим
~ 
~ 
.
Используя полученную матрицу, выписываем преобразованную систему.
Система уравнений приняла треугольный вид.
Из последнего уравнения имеем х3= -1; подставляя это значение во второе уравнение, получаем х2 = -3 и, наконец, из первого уравнения находим х1 = 2.
Итак, решение системы (2; -3; -1).
РАЗДЕЛ 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Тема 2.1 Основы алгебры векторов
План:
1 Определение вектора
2 Действия над векторами
3 Линейная зависимость системы векторов
4 Базис. Координаты вектора
5 Координатные системы в трехмерном пространстве
6 Скалярное произведение векторов
7 Векторное произведение векторов
8 Смешанное произведение векторов
1 Определение вектора
Значение многих геометрических и физических величин полностью определяется заданием некоторого числа. Например, длина отрезка, масса тела, температура и т.д. Подобные величины называются скалярными. Поэтому числа иногда называют скалярами. Т.е., скаляр – это число. Другие геометрические и физические величины определяются заданием направления и числа. Примером может служить сила, приложенная к некоторой точке, т.к. важно знать в каком направлении она действует. Еще более простым примером является направленный отрезок прямой линии. Такие величины называют векторными, а простейшая из них – вектором.
Вектором называется направленный отрезок прямой, у которого различают начало и конец.
В
А
Другими словами, вектор – это всякая упорядоченная пара несовпадающих точек (А, В), определяющая направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В.
Обозначение: 
.
Длиной (модулем) вектора 
называется расстояние от точки А до точки В. Длина обозначается символами 
.
Направлением вектора называется направление, определяемое лучом 
.
Вектор, задаваемый парой точек 
, называется нулевым вектором и обозначается 
. Длина нулевого вектора равна нулю, а направление неопределено.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Обозначают 
.
- стандартная формула вектора.
Два вектора называются равными, если их длины равны, а направления одинаковы.
Из этого определения вытекает, что:
1) начало вектора может быть перенесено в любую точку пространства. Поэтому вектор называют свободным;
2) два вектора, лежащих на параллельных прямых, можно перенести на одну прямую;
3) любые два вектора можно перенести на одну плоскость;
a
Два вектора называются коллинеарными, если лежат в одной плоскости на параллельных прямых или на одной прямой. Они могут быть одинаково или противоположно направлены.
Для того чтобы два ненулевых вектора 
были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало число 
, удовлетворяющее
условию 
.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости (или их направления параллельны одной плоскости).
Действия над векторами
Сложение векторов
Пусть даны два вектора и . Возьмем произвольную точку А и отложим от нее вектор . Получим точку В, от которой отложим вектор .
      В
А С
В1
А1 С1
| 
Суммой векторов и называют вектор, который идет из начала вектора к концу вектора , если приложен к .
|
Данное правило сложения векторов, называется правилом треугольника.
Убедимся, что введенное определение суммы двух векторов корректно, т.е. результат не зависит от выбора точки А.
Рассмотрим четырехугольник АА1В1В. Он является параллелограммом, т.к. 
.
Четырехугольник ВВ1С1С - параллелограммом, т.к. 
.
Так как 
и 
, то 
. Следовательно, четырехугольник АА1С1С также параллелограмм. Отсюда 
, т.е. 
.
Свойства сложения векторов
10 Сложение векторов коммутативно
Доказательство: Построим сумму векторов и по описанному правилу треугольников. По определению отложим от т. А вектор 
, от т. В вектор 
. Получим 
.
Дополним 
до параллелограмма ABCD так, чтобы сторона AС была диагональю этого параллелограмма. Но у параллелограмма противолежащие стороны параллельны и равны.
B
A  С
     D
| Тогда  ,  . Следовательно,  ,   .
Отсюда .
|
Замечание: Из полученного результата следует правило параллелограммасложения двух векторов:
Если векторы и приложены к общему началу, то их сумма есть вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и , и идущий из их общего начала.
20 Сложение векторов ассоциативно
Правило многоугольника для сложения векторов.
В
А С
 
 D
| Это равенство позволяет каждую сумму записывать без скобок  .
|
30 Поглощение нуль - вектора
В
А 
40 
, имеющий с равную длину и противоположное направление. Его называют противоположным и обозначают 
. Причем 
.
В . Тогда 
А 
Вычитание векторов
Вычитание векторов вводится как операция, обратная сложению.
Пусть даны два вектора и . Разностью двух векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает :
, если в сумме 
.
  В
А С
| Возьмем произвольную точку А и отложим от нее вектора и .
|
- искомый вектор, так как по правилу треугольника, чтобы получить вектор нужно к вектору прибавить вектор .
Из полученного чертежа следует способ построения разности двух векторов: если векторы и привести к общему началу, то 
есть вектор, идущий из конца вычитаемого в конце уменьшаемого . Иными словами, разностью двух векторов является вектор, определяющий вторую диагональ параллелограмма, построенного на заданных векторах.