Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов , называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и .

.

Свойства смешанного произведения:

Смешанное произведение однородно относительно каждого сомножителя:

.

Смешанное произведение векторов дистрибутивно относительно сложения векторов:

.

- компланарны.

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, если они отложены от одной точки:

 

.

 

 

Используя последнюю формулу, можно вычислить объем треугольной пирамиды, построенной на векторах

.

Пример 9 Найти смешанное произведение векторов .

Решение: .

Пример 10 Найти объем треугольной пирамиды с вершинами .

Решение: Найдем смешанное произведение векторов , совпадающих с ребрами пирамиды, сходящимися в вершине А. .

.

Т.к. объем пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на данных векторах, то .


РАЗДЕЛ 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Тема 3.1 Прямая на плоскости

 

План:

1 Прямая на плоскости

2 Общее уравнение прямой линии на плоскости

3 Расстояние от точки до прямой

4 Параметрические и каноническое уравнения прямой на плоскости

5 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

6 Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Определение углового коэффициента прямой

7 Уравнение прямой в отрезках

8 Угол между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами. Условия параллельности и перпендикулярности

Прямая на плоскости

 

Рассмотрим уравнение

,

где х и у – произвольные переменные, принимающие действительные значения.

Решением уравнения (1) является пара чисел (упорядоченная), обращающая это уравнение в верное равенство. Заметим, что уравнению (1) может удовлетворять одна пара действительных чисел, несколько и даже бесконечное множество таких пар. Существуют уравнение вида (1), которым не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел.

Зададим на плоскости систему координат Оху. Если рассматривать множество пар значений переменных х и у, удовлетворяющих уравнению (1), как координаты точек на плоскости, то изображение этого множества на плоскости дает график уравнения (1), который есть некоторая линия С.

Уравнением данной линии называется такое уравнение с переменными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Способы задания прямой на плоскости

Существуют четыре основных способа задания прямой на плоскости.

1 С помощью двух различных точек.

 

2 Через точку параллельно данному вектору.

 

 

Любой вектор , коллинеарный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.

Из определения следует, что прямая имеет сколько угодно направляющих векторов и все они коллинеарны между собой .

3 Через точку перпендикулярно данному вектору.

Любой ненулевой , перпендикулярный прямой l, называется нормальным вектором этой прямой .

Каждая прямая имеет сколько угодно нормальных векторов и все они коллинеарны между собой.

4 Через точку под углом к вектору .