Математический и физический маятники

Идеализированные системы, в которых колебания возникают за счёт первоначально сообщённой энергии при последующем отсутствии внешних воздействий и описыва- ются уравнением (4.4), называются гармоническими осцил- ляторами. Примерами гармонических осцилляторов являются пружинный, физический и математический маятники. Колеба- ния, возникающие в таких системах при отсутствии сил трения, называются собственными гармоническими колеба- ниями.

Математическим маятником называют идеализи- рованную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (рис.4.3).

l
j
o
M
mg
c •·P2 α   P1 P
O
 
lс
lпр
α
o’

 


Рис.4.3 Рис.4.4

При отклонении от положения равновесия на некоторый угол математический маятник начинает совершать свобод- ные колебания. В случае малых колебаний , диф- ференциальное уравнение колебаний математического маятника имеет вид

, (4.10)

где ; – длина математического маятника; – ускорение свободного падения.

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид

, (4.11) где и – постоянные, определяемые начальными условиями возбуждения колебаний.

 
Таким образом, при малых колебаниях математический маятник колеблется по гармоническому закону. Период колебаний математического маятника равен

. (4.12)

Видно, что период зависит только от длины маятника , ускорения силы тяжести и не зависит от его массы.

Физический маятник – любое тело, подвешенное в точке, лежащей вне его центра тяжести(рис 4.4).

Докажем, что маятник, отклоненный на малый угол a от положения равновесия, будет совершать гармонические колебания. Обозначим через I момент инерции маятника относительно оси О, перпендикулярной плоскости чертежа (рис.4.4). Пусть точка С является центром тяжести. Силу тяжести P = mg можно разложить на две составляющие, одна из которых P2 уравновешивается реакцией опоры.

Под действием другой составляющей

P1 = P×sina = mg sin α (4.13)

маятник приходит в движение. Из основного закона динамики вращательного движения имеем

I e = - m g lc sina , (4.14)

где , (4.15) угловое ускорение, lc = СО – расстояние от точки подвеса до центра тяжести.

Знак минус выбран потому, что действующая сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению отклонения маятника, т.е. стремится вернуть его в положение равновесия. При малых отклонениях можно считать, что sin a » a, поэтому

Р1 » m g a . (4.16)

Подставив (4.15) и (4.16) в (4.14), получим

. (4.17)

Полученное дифференциальное уравнение является уравнением гармонического колебательного движения. Частота и период колебаний определяются из формул

(4.18)

Величина называется приведённой длинойфизического маятника, она численно равна длине математического маятника с периодом колебаний, равным периоду колебаний данного физического маятника.

Таким образом, период и частота колебаний физического маятника определяются выражениями

. (4.19)