Б) Случай кратных полюсов.
Пусть U2(p) = M(p)/N(p), имеет n различных полюсов: p1, р2,…рn, причем полюс p1 повторяется m1 paз, полюс p2 – m2 раз, полюс рn - mn раз. Тогда формула разложения имеет следующий вид:
.
В рассматриваемом примере функция выходного напряжения
имеет нулевой и два комплексно-сопряженных полюса
p0 = 0; p1,2 =–s ± jw = (–1.818 ± j9.833)104.
Таким образом, оригинал U77(t) следует определять в соответствии с частным случаем простых полюсов
(13)
где M(0) = 1, Q(0) = 1,
.
Следовательно, А = –3.37× 10-5, B = –0.185.
Учитывая, что А << В, в формуле переходной характеристики (13) членом Acos(wt)можно пренебречь по сравнению с Bsin(wt).
Таким образом, формула переходной характеристики выходного напряжения, по которой будет проведен расчет, имеет вид:
(14)
Расчет и построение переходных характеристик
Расчет переходной характеристики проводят в определенном временном интервалеи с определенным шагом изменения времени, которые зависит от вида функции, составляющих переходную характеристику. Для определения интервала и шага нужно проанализировать вид и характер функции.
В рассматриваемом примере переходная характеристика выходного напряжения (14) представлена суммой двух функций:
U77(t)=U1(t) + U2(t),
где U1(t) =1×1(t), B – единичная ступенчатая функция времени;
U2(t)=–B×exp(–st) sin(wt)×1(t), B – затухающая по экспоненциальному закону гармоническая функция.
Временной интервал 0 ÷ T1 определяется показателем экспоненты s и принимается примерно равным
T1 = (4 ÷ 5)/s
К моменту времени t = T1 можно принять, что exp(–sT1) = exp(–(4 ÷ 5)) ~ 0
 |
В нашем примере
Шаг изменения времени T2 можно оценить по периоду T гармонического колебания
T = 2× 
/w =6.39×10-5 c = 63.9 мкс.
Если принять 8 точек на период T, то шаг изменения времени T2 будет равным
В интервале 0 – 250 мкс с шагом Т2 = 8 мкс получим 31 значение переходной характеристики.
В таблице 4 приведены результаты расчета переходной характеристики U77(t), проведенного на ЭВМ.
Таблица 4
| Время, мкс. | U77(t), В | Время, мкс. | U77 (t), В |
| 0.1 | 0.948 | ||
| 0.773 | 1.001 | ||
| 0.723 | 1.040 | ||
| 0.832 | 1.048 | ||
| 1.001 | 1.029 | ||
| 1.127 | 0.999 | ||
| 1.154 | 0.977 | ||
| 1.094 | 0.973 | ||
| 0.999 | 0.984 | ||
| 0.928 | 1.001 | ||
| 0.914 | 1.020 |
 |
На рис. 7 изображена переходная характеристика выходного напряжения.
Выводы
7.1 Анализ частотных характеристик.
Анализируя амплитудно-частотную характеристику КU(jω), можно сделать вывод, что данная цепь является примером режекторного фильтра. Частота режекции (подавления) f0 соответствует частоте нуля функции KU(p): f0 = =½p0 ½/2π= 15915.5 Гц.
В области низких частот, например, при f = 0 КU(0) = 1. Это объясняется тем, что входной сигнал проходит только через R1 и R2 и ОУ1, который включен по схеме со 100% отрицательной обратной связью. Сопротивления емкостей |(ZС(0)| равны бесконечности и не пропускают сигнал. Коэффициент передачи усилителя со 100% отрицательной обратной связью равен 1. Обратная связь (т.е. передача сигнала с выхода фильтра на его вход) через R4, R5 и ОУ2 не работает, т.к. |ZC3| равно бесконечности.
В области высоких частот при f, стремящейся к бесконечности, сопротивления емкостей малы. Поэтому входной сигнал проходит и через С1, С2, а цепь обратной связи за счет проводимости емкости C3 значительно снижает коэффициент передачи фильтра на частоте режекции.
Полосу режекции (фильтрации) S можно оценить на уровне 0.3·Кmax. Она составляет S = 2 кГц.
Коэффициент прямоугольности КП = S(0.3·Kmax)/S(0.7×Kmax) АЧХ определяет избирательность фильтра. У идеального режекторного фильтра КП = 1, у рассматриваемого фильтра он равен КП = 0.363.
По ФЧХ видно, что на частоте режекции f0 фаза выходного сигнала изменяется на 180 градусов (с –90 до +90 градусов). Причем, в области f < f0 выходной сигнал отстает от входного максимум на 90 градусов, а при f > f0 –опережает.
7.2 Анализ переходной характеристики фильтра.
Переходной процесс в фильтре имеет колебательный характер. Выходное напряжение представляет собой сумму двух составляющих. Одна из них –ступенчатая составляющая – вызвана тем, что передний фронт входного ступенчатого сигнала без искажений проходит через емкости С1 и С2 (можно считать, что в момент прохождения фронта t = 0 емкости С1 и C2 представляют собой ветвь с нулевым сопротивлением).
При t >> 0 постоянная составляющая входного сигнала проходит через R1 и R2.
Вторая составлявшая – гармоническая, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени, а частота w определяется мнимой частью полюса функции U2(р).