Жесткость витых цилиндрических пружин
Основные элементы рессорного подвешивания — рессоры и пружины — характеризуются жесткостью или обратной ей величиной — гибкостью, а рессоры, кроме того, — трением. В качестве элемента рессорного подвешивания большое распространение получила резина, характеризующаяся не только гибкостью, но и способностью поглощать энергию, вызывающую колебания. Применяемые для рессорного подвешивания пневморессоры обладают свойством менять свою жесткость в зависимости от давления, содержащегося в баллонах газа.
Правильный выбор параметров этих элементов на основании детального изучения динамических характеристик подвижного состава позволяет получить высокие ходовые качества и обеспечить безопасность движения во всем диапазоне скоростей. Для рессорного подвешивания в вагонах и локомотивах применяют пружины цилиндрической формы из прутков круглого или реже прямоугольного сечения из стали ГОСТ В—2052—53* в соответствии с техническими условиями по ГОСТ 1425—62*. Для образования опорных поверхностей пружин верхний и нижний крайние витки вытягивают так, чтобы их опорные поверхности были плоскими и перпендикулярными оси пружины (рис. 1.1). Длину оттянутого конца делают равной и длины окружности. Таким образом, если пружина имеет всего п витков, то число рабочих витков, определяющих жесткость пружины,
Пружину характеризуют диаметром навивки (средний диаметр витка D),числом витков, высотой в свободном состоянии Нсв и при наибольшем сжатии (до соприкасания витков) — Нс.
Для определения деформации пружины примем, что точка О (рис. 1.2) приложения силы Р все время остается на оси цилиндра и витки при действии этой силы испытывают скручивание парой сил, момент которой равен Мкр = Рг, где г — радиус витка.
Небольшим наклоном винтовой линии пренебрегаем. Для бесконечно малой части витка длиной ds, соответствующей центральному углу dβ, имеем
где а— угол наклона витка. Полагая cosа= 1, получим 
Если принять бесконечно малую часть витка ds за прямой брус, то угол скручивания на единицу длины от крутящего момента Мкр = Рr (в случае круглого сечения)
Где G—модуль упругости при кручении (G= 8000-Т-8500 кгс/мм2 или (80-85 ГПа);
Id— момент инерции
Тогда:
и для прямоугольного сечения прутка со сторонами b и h:
Скручивание элемента ds на угол Qds соответствует перемещению точки О приложения силы Р, равному rQds. Полное перемещение точки O (деформация пружины) при числе витков z:
для прямоугольного сечения
Рисунок 1.1
Для круглого сечения
Рисунок 1.2
Жесткость пружины для круглого сечения:
2.Эквивалентная жесткость систем
2.1.Параллельная работа системы упругих элементов
Расчетная схема параллельной работы системы упругих элементов представлена на рис. 2.1.
Рисунок 2.1
При параллельной работе упругих элементов их прогибы одинаковы и равны прогибу эквивалентной рессоры fэ. Нагрузка эквивалентной рессоры является суммой нагрузок отдельных упругих элементов, то есть
S = S1 + S2 + S3 + … +Sn;
Жэ fэ =Ж1 fэ +Ж2 fэ + … +Жn fэ = 
= fэ 
.
Так как прогибы всех упругих элементов одинаковы и равны прогибу эквивалентной рессоры, в результате получаем, что
Жэ = 
.
Таким образом, жесткость эквивалентной рессоры системы параллельно работающих упругих элементов равна сумме их жесткостей.
2.2. Центр упругости рессорного подвешивания. Координата центра упругости
В рессорном подвешивании отмечают еще одну конструктивно не оформленную, невидимую, но работающую точку, которую называют центром упругости.
Центр упругости – точка, лежащая в плоскости рессорного подвешивания, через которую проходит равнодействующая всех реакций упругих элементов рассматриваемой системы.
Отличие от эквивалентной точки подвешивания состоит в том, что через эквивалентную точку проходит тоже равнодействующая реакций упругих элементов, но только сбалансированных между собой.
Найдем координату х0центра упругости. Для этого рассмотрим некоторую систему упругих элементов, представленную на рис. 2.2.
Рисунок 2.2
На рис. 2.2:
Ж1, Ж2,…, Жn – жесткости всех входящих в рассматриваемую систему упругих элементов;
f– деформация (прогиб) этих элементов;
Si – реакция i-го упругого элемента, вызванная его деформацией (прогибом);
S = S1 + S2 + … + Sn = 
,
где S– суммарная (равнодействующая) реакция всех упругих элементов;
О – центр упругости;
xi – расстояние i-го упругого комплекта от произвольной точки А, принятой за начало отсчета;
x0 – расстояние от точки А до центра упругости О (координата центра упругости).
Составляем уравнения равновесия системы действующих в ней сил:
S = 
= S1 + S2 + … + Sn,
где 
; 
;
S · x0 = S1 · x1 + S2 · x2 + … + Sn · xn
или
f · x0 
= f · Ж1 · x1 + f · Ж2 · x2 + … + f·Жn · xn = f · 
.
Отсюда находим координату центра упругости:
x0 = 
.
2.3.Последовательная работа системы упругих элементов
Расчетная схемапоследовательной работы системы упругих элементов представлена на рис. 2.3, а.
| |
Рисунок 2.3
На рис. 2.3, б представлена эквивалентная схема.
В рассматриваемом случае нагрузка каждого упругого элемента S одинакова и равна нагрузке эквивалентной рессоры. Собственным весом каждого отдельного упругого элемента пренебрегаем. Следовательно,
fэ = f1 +f2 + f3 +…+fn = 
,
причем прогиб отдельного упругого элемента fi=
,
а прогиб эквивалентной рессоры fэ= 
.
Тогда
.
В итоге
или
гэ = 
.
Таким образом, при последовательной работе системы упругих элементов складываются обратные их жесткостям величины, называемые гибкостями. Итак, здесь прогиб эквивалентной рессоры равен сумме прогибов упругих элементов, работающих последовательно.
Прогиб i-го упругого элемента равен fi = 
.
Программа работы
3.1.Получить у преподавателя необходимое оборудование и исследуемые пружины.
3.2.Выполнить замеры геометрических параметров пружин, рисунок 3.1. Внести полученные значения в опытную таблицу 1
Рисунок 3.1
Таблица 1 – Геометрические параметры исследуемых пружин
| № пружины | Dвнеш, мм | d, мм | nвит, шт | nн, шт |
| … | ||||
| … |
3.3.Произвести опыт определения жёсткости пружин, рисунок 3.2. Результаты внести в опытную таблицу 2.
Рисунок 3.2
Таблица 2 – Опытная таблица для определения жёсткости пружин
| № пружины | Мгр, кг | Lпр, мм |
| 5,5 | ||
| … | ||
| 5,5 | ||
| … | ||
| … |
3.4.Произвести опыт определения эквивалентной жёсткости параллельно работающих пружин и координаты центра упругости (рисунок 3.3 а). Координату центра упругости определить опытным путем. Результаты внести в опытную таблицу 3.
Рисунок 3.3
Таблица 3 – Опытная таблица для определения эквивалентной жёсткости параллельно работающих пружин и координаты центра упругости
| № пружины | Хi, мм | № пружины | Хi, мм |
| № измерения | Мгр, кг | L, мм | Хгр, мм |
| 5,5 | |||
| … |
3.4. Произвести опыт определения эквивалентной жёсткости последовательно работающих пружин и координаты центра упругости (рисунок 3.3 б). Результаты внести в опытную таблицу 4.
Таблица 4 – Опытная таблица для определения эквивалентной жёсткости последовательно работающих пружин.
| № измерения | Мгр, кг | L, мм |
| 5,5 | ||
| … |
Оформление работы