Различные формы остаточного члена
В форме Лагранжа:
В форме Коши:
В интегральной форме:
29 Возрастание(убывание) функции на отрезке.
Определение возрастающей функции.
Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых 
и 
выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Определение убывающей функции.
Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.
К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinxопределена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале 
мы можем утверждать о возрастании на отрезке 
.
30 Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума.
Точки экстремума, экстремумы функции.
Точку 
называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство 
. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают 
.
Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство 
. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают 
.
Под окрестностью точки понимают интервал 
, где 
- достаточно малое положительное число.
Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.
Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.
На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.
Теорема (необходимое условие экстремума)
Если точка 
– точка экстремума функции 
, то она критическая.
Доказательство
По условию точка – точка экстремума функции 
по теореме Фермапроизводная 
точка является критической.
Пример:
Найти экстремум функции 
.
Найдем производную этой функции: 
критические точки задаются уравнением 
. Корни этого уравнения 
и 
.
Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3.
Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: 
и 
в точке функция имеет минимум, равный -4, а в точке функция имеет максимум, равный 0.
Замечания:
Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
31 Достаточные условия строгого экстремума.
Пусть 
непрерывна в точке 
и дифференцируема на 
. Пусть 
меняет знак при переходе через точку . Тогда - точка строгого экстремума.
Доказательство:
Пусть для определенности 
на 
Тогда из формулы конечных приращений Лагранжа 
видно, что приращение функции не меняет знак с "-" на "+" при переходе через точку 
Следовательно, - точка строгого минимума.
Замечание: условия теоремы не являются необходимыми. Пример: 
32 Выпуклости вверх вниз.
Важным характеризующим функцию свойством является монотонность (см. Возрастание и убывание функций). Однако этого свойства иногда оказывается недостаточно, чтобы описать ход изменения функции. На рис. 1 и 2 приведены графики монотонных функций, но они, как видим, различны. Форма графика первой функции, например, напоминает тяжелую нить, подвешенную в точках 
и 
, а форма второй – ветвь яблони, отягощенной плодами. Говорят, что функция, изображенная на рис. 1, выпукла вниз, а на рис. 2 – выпукла вверх. Точнее, функцию 
, непрерывную на некотором промежутке 
называют выпуклой вниз, если для любых точек 
и 
из промежутка выполняется неравенство
.
Рис. 1
Рис. 2
Если для любых точек и из промежутка справедливо неравенство
,
то функцию называют выпуклой вверх (вогнутой). Эти неравенства имеют простой геометрический смысл. Точка с абсциссой 
есть середина отрезка 
, а 
- ордината соответствующей точки кривой (рис. 3); значение
равно ординате точки 
, лежащей на хорде 
. Таким образом, на отрезке функция выпукла вниз, если точка, принадлежащая графику функции, лежит ниже точки хорды (имеющей ту же абсциссу) или на хорде . Функция выпукла вверх, если точка, принадлежащая графику функции, лежит выше точки хорды (имеющей ту же абсциссу) или на хорде .
Рис. 3
Исследования функции на выпуклость очень удобно проводить средствами математического анализа.
Как известно, имеют место следующие теоремы анализа:
1) если дифференцируемая функция выпукла вниз на промежутке , то ее график расположен над касательной, проведенной в любой точке графика, а график дифференцируемой функции, выпуклой вверх, расположен под касательной, проведенной в любой точке графика (рис. 4 и 5);
Рис. 4
Рис. 5
2) если функция дважды дифференцируема на промежутке , то она выпукла вниз, когда ее втораяпроизводная 
неотрицательна на этом промежутке: 
, и выпукла вверх, когда ее вторая производная неположительна: 
. Это легко запомнить, если представить себе, что капли, падающие на выпуклую вниз кривую, «скапливаются» на ней, а падающие на выпуклую вверх кривую - «скатываются» с нее (рис. 6).
Рис. 6
Так, функция 
всюду выпукла вниз, поскольку 
и 
для всех 
. Функция 
выпукла вверх на промежутке 
, так как
, 
.
Рассмотрим график функции 
на отрезке 
(рис. 7). Ее первая и вторая производные: 
, 
. На интервале 
вторая производная положительна (так как 
), кривая выпукла вниз; напротив, на интервале 
вторая производная отрицательна (здесь 
), кривая выпукла вверх.
Рис. 7
Точку 
кривой 
, где функция имеет вторую непрерывную производную, называют точкой перегиба, если кривая имеет различную выпуклость по разные стороны от этой точки.
Так точка 
есть точка перегиба функции слева от нее функция выпукла вниз, справа – выпукла вверх.
Если функция в точке 
имеет перегиб, то в силу первой теоремы, названной выше, касательная к кривой, проведенная в точке перегиба, будет с одной стороны лежать над кривой, а с другой – под кривой. График кривой в точке перегиба переходит (перегибается) с одной стороны касательной на другую. На рис. 7 синусоида переходит с одной стороны прямой 
, являющейся касательной в начале координат, на ее другую сторону.
При этом 
, так как по одну сторону от точки перегиба , а по другую - .
Таким образом, точки перегиба у дважды непрерывно дифференцируемой функции могут быть только там, гдевторая производная функции обращается в нуль. Так, у функции в точке 
имеем 
.
Следует, однако, заметить, что могут быть точки, где 
, но точки перегиба в них нет. При переходе через такую точку вторая производная сохраняет знак и функция не меняет выпуклости. Например, кривая всюду выпукла вниз (рис. 8), хотя ее вторая производная при равна нулю. Действительно, 
и 
при .
Рис. 8
33 Асимптоты графика функции. Теорема о наклонных асимптотах.
Виды асимптот
Определение
Прямая 
называется вертикальной асимптотой графика функции 
, если хотя бы одно из предельных значений 
или 
равно 
или 
.
Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
Определение
Прямая 
называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений 
или 
равно 
.
Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.
Определение
Прямая 
называется наклонной асимптотой графика функции , если 