Вплив філософських і світоглядних уявлень Плутона й Арістотеля на формування античного й середньовічного світогляду.
Платон Вчення Платона є синтезом досократівського напрямку давньогрецької філософії (піфагорійці, Геракліт, Парменід), який прагнув осмислити мінливий і множинний світ явищ як всеосяжну єдність буття, і вчення Сократа про довершений розум. Центральним для філософії Платона є світ вічних, незмінних ідей, який єдиний є насправді реальним. Цілокупність ідей, яка в своїй єдності виступає як вище, справжнє буття є основою для пізнання. Ця цілокупність ідей втілюється у вигляді множинного чуттєвого світу, зв'язуючись з іншою першоосновою — відносним небуттям. Небуття — умова реалізації світу ідей у світі явищ, але останній, народжений і тому несе в собі небуття, вже не є справжнім. Істинність, як і саме існування, він отримує лише завдяки причетності до ідей. Людське пізнання пояснюється причетністю до цієї сущої істини душі людини, яка, будучи безсмертною, хоча і схильною до кругообігу, спочатку споріднена вищому буттю. Світ, як його бачить людина, є тільки відображенням справжнього реального світу, театром тіней, хоча до свого народження людина мала повне знання про реальний світ ідей. Пізнання правди Платон розуміє як спогад того, що душа споглядала до народження. Етичне вчення Платона містить в собі, з одного боку, споглядальний аскетизм, з іншого — прагнення до вдосконалення людського суспільства (реформа звичаїв, виховання; утопія держави, в якій панують філософи). В останній період життя Платона його філософія все більше зближується із піфагорейською містичною математикою. Цей характер успадкувала після його смерті Платонівська академія в особі його найближчих наступників — Спевсіппа, Ксенократа та інших.
Аристотель Аристотель, учень Платона, заснував у 335 до н. е. самостійну школу — Лікей. Погоджуючись із Платоном щодо прийняття ідеальних загальних засад, осяжних нашим розумом, Аристотель, однак, не протиставляє їх дійсності. Як справжні причини і першооснови речей ідеї суть живі «енергії», якими має визначатися всякий рух, розвиток, сама реальність. Не існує насправді абстрактної матерії (абсолютно безформної потенції), немає і чистих ідей — вони здійснюються в реальних речах. Природа — природна градація одиничних речей, або «субстанцій», за межами якої перебуває як її верхня межа божественний розум, нерухомий першорушій світу, а як нижня — невизначена речовина, здатна прийняти будь-яку форму. Це вчення про буття Аристотель поклав в основу синтезу, що охоплює величезне коло знань про природу і суспільство. Логіка роботи Аристотеля впродовж двох тисячоліть служила базисом логічних досліджень. Природноісторичні твори Аристотеля являють собою широку систематизацію вивчення природи. Започатковану Аристотелем роботу в галузі історії та природознавства продовжували його учні: Теофраст (класична ботаніка, історія фізики, етичні трактати тощо), Евдем (етика, історія наук), Аристоксен (теорія музики), Дікеарх (історія культури Греції).
Досягнення стародавніх греків у галузі математики і астрономії.
У цій главі я торкаюся математики не самого по собі, а в її зв'язку з грецькою філософією - зв'язку, яка була дуже тісному, особливо у Платона. У математиці та астрономії перевагу греків проявилося більш визначено, ніж де-небудь ще. Те, що вони зробили в мистецтві, літературі та філософії, може бути оцінено в залежності від смаку вище або нижче, але те, чого вони досягли в геометрії, абсолютно безперечно. Дещо вони успадкували від Єгипту, де-не-що, набагато менше, - від Вавилонії; що стосується математики, то вони отримали з цих джерел головним чином прості прийоми, а в астрономії - записи спостережень за дуже довгий період. Мистецтво математичного докази майже цілком грецького походження.
Ірраціональні числа, крім кореня квадратного з 2, вивчалися в окремих випадках Феодором, сучасником Сократа, і в більш загальному вигляді Теетет, який жив приблизно в часи Платона або, може бути, трохи раніше. Демокріт написав трактат про ірраціональних числах, але про зміст цього трактату відомо дуже небагато. Платон глибоко цікавився цією проблемою; він згадує про праці Феодора і Теетет в діалозі, названому на честь останнього. У «Законах» (819-820) він говорить, що загальне неуцтво в цій області ганебно, і натякає, що сам дізнався про це в досить пізньому віці. Відкриття ірраціональних чисел, безумовно, мало велике значення для піфагорейської філософії.
Одним з найважливіших наслідків відкриття ірраціональних чисел було створення Евдокса геометричній теорії пропорції (408-355 роки до н.е.). До нього існувала лише арифметична теорія пропорції. Відповідно до цієї теорії, ставлення а до b дорівнює відношенню с до d , якщо а , узяте d раз, так само b , узятому с раз. Це визначення, за відсутністю арифметичної теорії ірраціональних чисел, може застосовуватися тільки до раціональних. Однак Евдокс дав нове визначення, яке не підкоряється цьому обмеженню, - у формі, що наближається до методів сучасного математичного аналізу. Ця теорія розвинена далі Евкліда і відрізняється великим логічним витонченістю.
Евдокс також винайшов або удосконалив «метод вичерпання», який потім з великим успіхом був використаний Архімедом. Цей метод є передбаченням інтегрального числення. Взяти, наприклад, питання про площу кола. Ви можете вписати в коло правильний шестикутник або правильний двенадцатіугольнік, або правильний багатокутник з тисячею або мільйоном сторін. Площа такого багатокутника, скільки б у нього не було сторін, пропорційна квадрату діаметра кола. Чим більше сторін має багатокутник, тим більше він наближається до кола. Можна довести, що якщо багатокутник має досить великою кількістю сторін, то різниця між його площею і площею кола буде менше будь-який наперед заданої величини, хоч би якою малою вона не була. Для цієї мети використовується аксіома Архімеда. У ньому записано (якщо її дещо спростити), що якщо більшу з двох величин розділити навпіл, а потім половину знову розділити навпіл і так далі, то після кінцевого числа кроків буде досягнута величина, яка виявиться менше, ніж менша з двох первинних величин. Іншими словами, якщо а більше, ніж b , то є таке ціле число n , що 2n · b буде більше, ніжа .
Метод вичерпання веде іноді до точного результату, наприклад, під час розв'язання задачі про квадратуру параболи, яка була вирішена Архімедом; іноді ж, як при спробі обчислити квадратуру кола, він може вести лише до послідовних наближень. Проблема квадратури кола - це проблема визначення відношення довжини кола до діаметру кола, званого «π». Архімед у своїх обчисленнях використав наближення 22 / 7; шляхом вписування і описування правильного багатокутника з 96 сторонами він довів, що «π» менше, ніж 3 1 / 7, і більше, ніж 3 10/71. Цим методом можна домогтися будь-який необхідного ступеня наближення, і це все, що якою б то не було метод може зробити для вирішення даної проблеми. Використання вписаних і описаних многокутників для наближення до «π» сходить ще до Антифон, сучаснику Сократа.
Евклід, праці якого в дні моєї молодості все ще залишалися єдиним визнаним підручником геометрії для школярів, жив в Олександрії близько 300 року до н. е.., через деякий час після смерті Олександра Македонського і Арістотеля. Велика частина його «Начал» не була оригінальним твором, але порядок у послідовності теорем і логічна структура були в основному його власними. Чим більше вивчаєш геометрію, тим більше зачаровує вони здаються. Інтерпретація паралельних допомогою знаменитого постулату про паралельні має подвійне гідність: дедукція тут строга і в той же час вони не повинні закривати сумнівність вихідного припущення. Теорія пропорції (потрійне правило), якої дотримується Евдокс, обходить всі труднощі, пов'язані з ірраціональними числами, за допомогою методів, по суті, схожих з тими, які були введені в математичний аналіз Вейєрштрасса в XIX столітті. Потім Евклід переходить до свого роду геометричній алгебрі і трактує в книзі X ірраціональні числа. Після цього він переходить до розгляду просторової геометрії, закінчуючи побудовою правильних багатогранників, яке було вдосконалено Теетет і прийнято в «Тимеї» Платона.
Начала» Евкліда є, безумовно, однією з найбільших книг, які були коли-небудь написані, і одним з найдосконаліших пам'яток давньогрецького інтелекту. Звичайно, книга ця носить і риси типові грецької обмеженості: метод в ній чисто дедуктивний і не містить в собі способу перевірки вихідних припущень. Ці припущення вважалися незаперечними, але в XIX столітті неевклідова геометрія показала, що частково вони могли бути помилковими і що тільки спостереження здатне вирішити, чи є вони такими.
Евклід зневажав практичну корисність, яку впроваджував Платон. Кажуть, що один учень, прослухавши докази, запитав, що виграє він вивченням геометрії; тоді Евклід покликав раба і сказав: «Дай молодій людині гріш, оскільки він неодмінно повинен отримувати вигоду з того, що вивчає». Однак презирство до практики було прагматично виправдано. Ніхто не припускав за часів греків, що вивчення конічних перерізів принесе яку-небудь користь: але, нарешті, в XVII столітті Галілей відкрив, що снаряди рухаються по параболі, а Кеплер - що планети рухаються по еліпсах. Несподівано та робота, яку греки виконали з чистої любові до теорії, стала ключем до ведення війни і до розвитку астрономії.
Римляни були занадто практичними людьми, щоб належним чином оцінити Евкліда; першим з них, хто згадав про нього, був Цицерон , за часів якого, можливо, не було латинського перекладу творів Евкліда, і справді, немаєписьмового свідоцтва існування латинського перекладу до Боеція (480-524 роки н.е.). Араби оцінювали його краще: примірник творів Евкліда був подарований каліфа візантійським імператором близько 760 року до н.е., а при Гарун аль-Рашид, близько 800 року до н.е., був зроблений переклад на арабську мову. Перший зберігся до нашого часу латинський переклад з арабської був зроблений Аделярдом з Бата в 1120 році н.е. З цього часу вивчення геометрії поступово відроджувалося на Заході, але лише в епоху пізнього Відродження були досягнуті важливі успіхи в цій справі.
Тепер я переходжу до астрономії, в якій досягнення греків були настільки ж чудові, як і в геометрії. Ще до них вавілоняни і єгиптяни заклали основи астрономії багатьма сторіччями спостережень. Було зареєстровано видимий рух планет, але не було відомо, що ранкова і вечірня зірка - це одне й те саме. У Вавілонії безумовно, а можливо, і в Єгипті, було відкрито період затьмарень, що зробило досить достовірним пророкування місячних затемнень (але не сонячних, оскільки вони не завжди були видимі в даному місці). Вавілонянам ми зобов'язані поділом прямого кута на 90 градусів, а градуса - на 60 хвилин; їм подобалася цифра 60, і на ній вони заснували навіть систему числення. Греки любили приписувати мудрість своїх первоісследователей подорожей до Єгипту, але в дійсності до греків досягнуте було дуже небагато. Однак пророкування сонячного затемнення Фалесом є прикладом іноземного впливу; немає підстави припускати, що він додав що-небудь до того, чого навчився з єгипетських і вавілонських джерел, і чистою удачею було те, що його передбачення збулося.
Почнемо з деяких найбільш ранніх відкриттів і правильних гіпотез. Анаксимандр думав, що Земля вільно плаває і нічим не підтримується. Аристотель, який часто відкидав найкращі гіпотези свого часу, заперечував проти теорії Анаксімандра, згідно з якою Земля, будучи в центрі, залишається нерухомою тому, що у неї немає причини рухатися в цьому, а не в іншому напрямку (295b). Якщо б це було правильно, говорив він, то людина, якого помістили в центрі кола, в різних точках окружності якого знаходиться їжа, помер би з голоду через відсутність причини вибрати саме ту, а не іншу їжу. Цей аргумент з'являється знову в схоластичної філософії, але у зв'язку не з астрономією, а з питанням про свободу волі. Він з'являється у формі розповіді про «Бурідановом віслюку», який не зміг вибрати одну з двох охапок сіна, поміщених на рівній відстані ліворуч і праворуч від нього, і тому загинув голодною смертю.
Цілком ймовірно, Піфагор першим почав думати, що Земля сферична, але його аргументи, треба думати, належали швидше до галузі естетики, ніж науки. Проте скоро були знайдені і наукові докази. Анаксагор відкрив, що Місяць світить відбитим світлом, і дав правильну теорію затемнень. Сам він ще думав, що Земля плоска, але форма тіні Землі при місячних затемнення дала піфагорійцям остаточні аргументи на користь того, що Земля сферична. Вони пішли далі і розглядали Землю як одну з планет. Вони знали (кажуть, з вуст самого Піфагора), що ранкова зірка і вечірня зоря - одне й те саме, і вважали, що всі планети, включаючи Землю, рухаються по колу, але не навколо Сонця, а навколо «центрального вогню». Вони відкрили, що Місяць завжди обернений до Землі однією і тією ж стороною, і вважали, що Земля завжди повернена однією стороною до «центрального вогню». Середземноморські райони постійно знаходяться на тій стороні, яка повернена від «центрального вогню», і він тому для них завжди невидимий. «Центральний вогонь» називався «будинком Зевса» або «Матір'ю богів». Передбачалося, що Сонце сяє світлом, відбитим від «центрального вогню». Крім Землі, було інше тіло, контр-Земля, що знаходиться на тій же відстані від «центрального вогню». Для цього у них було дві підстави: одне наукове, а друге, що випливає з їх арифметичного містицизму. Науковим підставою служило правильне спостереження, що місячне затемнення часом відбувається тоді, коли і Сонце і Місяць разом знаходяться над горизонтом. Заломлення променів (рефракція), що становить причину цього феномену, було їм невідомо, і вони думали, що в таких випадках затемнення має викликатися тінню якогось іншого тіла, а не Землі. Другою підставою служили тим, що Сонце і Місяць, п'ять планет, Земля, контр-Земля і «центральний вогонь» складали 10 небесних тіл, а десять було містичним числом у піфагорійців.