Математиканы оытудаы салыстыру жне анология
Лекция
Жоспары:
1. Салыстыру
2. Аналогия
3. Модельдеу.
1. Салыстыру.Таным дістеріні ішінде е кп тараан жне мбебап дістерді бірі – салыстыру.
Зерттелінетін объективтерді састытары мен айырмашылытарын ойша таайындау салыстыру деп аталынады. ылымда салыстыра отырып байау жне згерісті айыра алу, адамны ойлау ызметіні негізін алайтындыы таайындалан. Салыстыруа жгінбей бір де бір арапайым ымны зін руа болмайды.
Салыстыру нтижесінде дрыс орытынды алу шін мынадай шарттар орындалу ажет.
1. Тек біртекті объектілерді салыстыруа болады.
2. Объектілерді бірдей белгісі бойынша салыстыру, ол толы болып аяына дейін жеткізілу тиіс.
К.Д.Ушинский “дидактикада салыстыру негізгі тсіл болуы керек”, – деп есептеген. Салыстыра білуді масатты алыптастыру шін салыстырылатын объектіні натылы рамын, рылысын оушылар айын біліп алуы ажет. Салыстыра білуді ммкін болатын бір нсасы мынадай.
Салыстыру деген, бл:
а) оылатын объектілерді елеулі белгілерін бліп крсету;
) объектіні басадан бліктеп тратын белгілерді табу;
б) осы белгілер арылы объектілерді салыстыру.
Математикадан саба беру кезінде салыстыруды жйелі жне жоспарлы олдану, білімді тередетіп жне тиянатап ана оймай оушыларды математикалы ойлауын, жасампазды жне танымды абілетін дамытады, ойлау ызметін белсендіреді.
Салыстыруды тану рдісіндегі маызы лкен боланымен де, ол зерттеліп отыран объект туралы толы білім береді деп айта алмаймыз.
Салыстыруды тану рдісіні баса дістерімен бірегей олдананда, бізді оршаан дниені заттары мен былыстарын зерттеуді тиімді ралы бола алады.
Математиканы оыту рдісінде салыстыруды пайдалануа мысалдар келтірейік.
y
0 x
1-cурет
Функцияларды сызбасын оып йренуде салыстыру те пайдалы. 
функциясын арастырайы. Абсолют шаманы анытамасын пайдалана отырып функциясыны сызбасын салатын болса, оны ордината сіне симметриялы екенін креміз (1-сурет).
Енді функциясыны сызбасын салайы. 
функциясыны сызбасы мндеріні кестесін рып, оны функциясыны мндерімен салыстырса, онда бірінші функцияны сызбасы екінші функцияны сызбасын бір бірлікке ктеру нтижесінде шыады.
Ал функциясыны сызбасын салу шін функциясыны сызбасын ордината сі бойымен бір бірлікке тмен жылжыту керек.
функциясыны сызбасын салу ережесін орыту шін жне функцияларыны мндеріні кестесін салыстырса, екінші функцияны мндері бірінші функцияны мндерімен бірдей боланымен, бір бірлік арты абылдап отыратындыы байалады.
у
х
-1 0 1
2-сурет
Демек, функциясыны сызбасы функциясыны сызбасын бір бірлікке абсцисса сі бойымен сола жылжыту нтижесінде келіп шыады (2-сурет).
Ал функциясыны сызбасы, функциясыны сызбасын абсцисса сі бойымен бір бірлікке оа жылжыту арылы алынады. Осы функцияларды сызбасын салыстыру арылы 
функциясыны сызбасы бойынша 
, 
, 
функцияларыны сызбасын салу ережелерін тжырымдауа болады.
3. Аналогия жне модельдеу. Математикалы объектілерді кейбір
асиеттерін оып йрену барысында, ол асиеттерді баса бір брыннан белгілі объектілерді асиеттерімен сйкес келіп алуы ммкін. Осындай сйкестіктерді таайындау нтижесінде, ол объектілерді баса асиеттері де сйкес келеді деп жорамалдауа болады. Осы трдегі пайымдау аналогияны негізін алайды.
Аналогияа е жаын діс модельдеу, сондытан ылыми пайымдаудаы интеграциялау тенденциясыны кшеюіне байланысты модельдеуді маызы едуір артып келеді.
3. Аналогия.Аналогия (грекше analogia – сйкестік, састы) объектілерді кейбір белгілеріні састыына сйеніп, оларды баса белгілеріні де сас болатындыы туралы орытынды шыаратын таным дісі. Аналогия бойынша орытынды жасауды схемалы трде былай крсетуге болады: Егер арастырылып отыран А жне В объектілеріні орта асиеттері 
болып жне А объекті таы да d деген асиетке ие болса, онда В-да d асиетке ие болады деген орытынды жасалынады.
Аналогия бойынша орытынды ытимал ана болады. Ол ылыми болжам жасауды айнар кзі бола отырып, ылыми ізденіс жасауда лкен маыза ие.
Аналогияны айрыша сипаты – бір жйедегі атыстар мен асиеттерді екінші жйеге кшіру болып табылады. Оушыларды бір объектіні оып йренудегі білімдерді екінші объектіге кшіру абілетін алыптастыру, оытудаы е маызды мселе.
Сондытан математика малімі аналогия (рдісін) дісін мегеріп оны рбір трін саба беру рдісінде еркін олдана білуі жне аналогия бойынша жасалынып жатан орытындыны шындыа жаындатан факторларды білуі тиіс.
А.И. Уемовты зерттеулеріне сйенетін болса, аналогия бойынша жасалан орытындыны ытималдылыы жоары болу шін мынадай шарттар орындалуы тиіс:
1) А жне В объектілеріне орта белгілер 
ммкіндігінше кп болуы ажет;
2) ол белгілер екі объект шін де елеулі белгілер болуы тиіс;
3) ол белгілер салыстырып отыран объектілерді р трлі жатарын амтитын боланы жн;
4) екінші объектіге жатызылатын d белгісі 
белгілер типтес болуы керек;
5) 
белгілер салыстырылатын объектілерді зіне ана тн болып, кез келген объектіге жататын болмауы тиіс;
6) егер орытынды аз апарат беретін болса, онда шындыа кбірек жаын болады. Бл екінші объектіге кшірілетін d белгісі ерекше сипата ие болмауы керек дегенді білдіреді.
Енді математикада аналогияны олдануа мысалдар келтірейік.
Мысалы, кп лшемді геометрияны негізгі ымдарын енгізу жазытытаы жне ш лшемді кеістіктегі негізгі ымдардан аналогияны пайдалану нтижесінде келіп шыан. Комплекс айнымалысы бар функция наты айнымалысы бар функцияа аналогия негізінде пайда болан. Комплекс айнымалылар функциясыны теориясын руда наты айнымалы функцияларды зерттеу дістерімен аналогияны пайдаланан.
Брын оытылын материал мен жаа материалды оыту арасындаы байланысты таайындауда аналогияны пайдалануа мысалдар арастырайы. Мысалы, шарды (сфераны) диаметрі ымын енгізуді былайша жргізуге болады: мектепті планиметрия курсында дгелекті (шеберді) диаметрі, дгелек шеберіні (шеберді) кез келген екі нктесін осатын хордаларды (кесінділерді) е лкені ретінде аныталады, стереометрияда да шарды (сфераны) диаметрі дл сол сияты аныталады.
Мектеп математика курсында екі тзуді параллельдігіні анытамасынан аналогияны пайдаланып, жазытытарды параллельдігі немесе тзу мен жазытыты параллельдігіні анытамалары тжырымдалады.
Аналогияны мынадай мысал келтірейік. Кез келген тетраэдр шін
тесіздігіні орындалатынын длелдейік.
Бізге кеістіктегі тетраэдр фигурасы жазытытаы шбрыш фигурасына аналогия екені белгілі, сондытан кез келген шбрыш шін орындалатын тмендегі асиетті пайдаланамыз.
Бізге кез келген шбрышты екі абырасыны зындыыны осындысы оны шінші абырасыны зындыынан арты болатыны белгілі (3-сурет). AB+BC>AC.
Егер шбрыш шін орындалатын осы асиетті оан аналогия болатын –тетраэдр шін олданса, тмендегі тесіздіктер келіп шыады (4-сурет):
S
В
А С А С
3-сурет В
4-сурет
Аналогия жаа білімдерді игеруде жне оларды практикалы олдануларда да пайдаланылады. Мысалы, бір есепті шыару жолын іздестіру шін берілген есепке сас есептер арастырылады. Бл сас есеп оай немесе шыару жолы брыннан белгілі болуы тиіс.
Математиканы оыту кезінде оушылар аналогияны дрыс пайдаланбау нтижесінде кптеген ателер жібереді. Мысалы, шеберге іштей сызылан тікбрыш диаметрге тірелетінен аналогияны пайдаланып сфераа іштей сызылан тікбрышты ш жаты брыш р уаытта сфераны лкен дгелегіне тіреледі деп орытынды шыарады. Кез келген шбрышты биіктіктері бір нктеде иылысады, біра ол кез келген тетраэдр шін дрыс бола бермейді. Бл ателіктерді негізгі себебі оушылар бір объектіні асиеттерін екінші бір объектіге аудару кезінде ол касиеттерді бір-бірінен айырмашылыына кіл аудармайды. Мселен, 
, 
боландаы 
формуласынан аналогияны пайдаланып мынадай ате формула жазады:
Мынадай ателіктер де жиі кездеседі.
| /с | Дрысы | атесі |
| 1. | 
| 
|
| 2. | 
| 
|
| 3. | 
| 
|
| 4. | 
| 
|
| 5. | 
| 
|
| 6. |  тедеуінен,
 болады
|  тедеуінен,
 болады
|
Малім ол ателерді уаытында тзеп отыруы керек.
4. Модельдеу. Модельдеу – объектіні (тпнсаны), оны моделін (кшірмесін) жасау арылы, ол кшірмені зерттейді. Объектіні кшірмесін жасаанда, сол объектіні зерттеушіні ызытыратын белгілі бір жатары саталып алады.
Жалпы аланда модельдеу деп таным ызметінде бір жйені – тпнсаны - онымен састы атыста болатын жйемен ауыстыратын, андай да бір наты (реальды) немесе ойша елестетілетін жйе тсініледі. Модель арылы тпнса туралы малматтар алуа болады. Модельді айтарлытай бір ерекшелігі оны тпнсамен сйкестігінде (састыында). Бл састы кеістіктік, физикалы немесе функционалды болуы ммкін. Біра олар састыты критерийі ретінде айын тжырымдалуы тиіс. Осы састы модельді зерттеу кезінде алынан нтижелерді тпнсаа айта кшіруге ммкіндік береді.
Модельдер материалды жне идеалды болуы ытимал. Бірінші, болмысы жаынан табиат задарына баынатын табии объектілер болады. Екіншісі, дниені сйкес табалы пішінде (формада) бейнелейтін идеалды рылым болып, логикалы ойлау зандары бойынша мір среді.
Кез келген “модельдік” зерттеуді мынадай рылымы болады:
1) мселені (есепті) ою;
2) модель ру немесе ол модельді тадап алу;
3) модель зерттеу;
4) модель арылы алынан білімдерді тп нсаа кшіру.
Мектептегі математика сабатарында “модель” термині кбінесе тар маынадаы, геометриялы фигураларды бейнелейтін ааштан, шыныдан, сым темірден т.б. жасалан крнекі рал ретінде олданылып жр. Біра “модель” терминіні бл маынада олданылуы, оны жалпы тсінігіне айшы келмейді. Шынында да куб, пирамида жне т.б. абстрактілі ымдарды райсысы баса бір абстрактілі ымдар арылы аныталады. Геометриялы фигураны бейнелейтін натылы дене андай заттан жасаланына, кандай тске бояланына арамастан абстрактілі ымды сипаттайтын асиеттерге ие болатындытан, геометриялы фигураларды моделі болып табылады.
Мектептегі математиканы оыту рдісінде натылы есептерді математикалы, длірек айтанда логикалы-математикалы модельдерін ру жмыстары да жргізіледі. Бл жадайда есепті моделі есепті зіне караанда жоары дегейдегі абстракцияа сйкес келеді. Натылы мазмндаы р трлі есептерді бірдей логикалы-математикалы моделі болуы ммкін.
Математика сабатарында дстрлі калыптасан тедеу ру, белгісіздерді ммкін мндерін анытау, белгісізді белгілеу т.б. терминдерді орнына жоары сыныптарда есепті математикалы моделін кру, есепті шартын логикалы-математикалы модель тіліне аудару жне т.б. терминдерін пайдаланан тиімді. рине, бл жерде андай да бір жаа термин енгізу жнінде сз болып отыран жо, мектеп математикасын оыту барысында математиканы идеяларын біртіндеп енгізу мселесі озалуда. Дрыс игерілген терминдер бос сз емес, олар ымдарды, идеяларды белгіленуі екендігін мытпаанымыз жн.
Бл мселелерге оушыларды дайындау шін мектеп математика курсына арнайы жаа таырыптар енгізуді ажеті жо. Мектепті оу материалында математикалы модельдеу элементтері жеткілікті, оу рдісінде оларды крсетіп жне тсіндіріп отыру керек.
Сратар:
Математиканы оытуды салыстыру дісі.
Математиканы оытуды анология дісі.
1. .Бидосов. Орта мектепте математиканы оыту методикасы. – Алматы: Мектеп, 1989. – 224 б.
2.біласымова А.Е., Кбесов А.К., Рахымбек Д., Кенеш С. Математиканы оыту теориясы мен дістемесі. – Алматы: Білім,1998. – 208 б.
3. Бейсеков Ж., Рахымбек Д., Шарипов Т.А. Орта мектепте математиканы оыту дістемесіне арналан оу ралы. – Шымкент,2003. - 179 б
Лекция
Математиканы оытудаы анализ жне синтез
Жоспары:
1. Оыту дерісіндегі анализ жне синтез
2. Элементтер анализ жне синтез
3. Синтетикалы діс
4. рлей анализ дісі
5. Ылдилай анализ дісі
1. Оыту дерісіндегі анализ жне синтез. Анализ деп бтінді ойша немесе практикалы трде рамды бліктерге бліп, ол бліктерді жне оларды асиеттері мен араатынастарын жеке-жеке арастыру арылы зерттейтін діс тсініледі.
Синтез деп анализ арылы блінген бліктерді ойша немесе практикалы трде біріктіру деп тсінеміз.
арапайым маынада анализ бен синтезді былай тсінуге болады: егер бала велосипедті блшектеп, “шашып” тастаса, онда оны рекеті анализ; ал егер ол сол блшектерден велосипедті айта растырса, онда ол рекеті синтез болып табылады.
Анализдеу рдісінде крделіден арапайыма, бір трліден еп трліге, натыдан абстрактілікке, белгісізден белгіліге салдардан салдарды туызатын себепке арай озалу жзеге асырылса, синтезде бл рдістер керісінше жреді. Математиканы оыту процесінде бл екі діс бірігіп, аналитикалы-синтетикалы діс ретінде олданылады.
2. Элементтер анализ жне синтез.Математикада элементар анализ бтінді рамды бліктерге ажырату, ал элементар синтез сол рамды бліктерді айтадан бтінге жинатау ретінде олданылады.
Осы дістерді олданылу мысалдарын арастырайы.
1) ымдарды алыптастыруда берілген ымды амтитын жалпы асиеттер крсетіледі, одан со ол асиеттерді ішінен елеулілері блініп алынады, яни элементар талдау жасалынады. Элементар синтез ымны елеулі асиеттерін біріктіреді.
2) Барлы ылымдар сияты, математика да ымды жіктеуді пайдаланады. Тектік ымдарды трлі ымдара жіктеу, кейін трлі ымдарды зін баса кластара ажырату элементар талдау арылы жзеге асырылады. Мысалы, натурал сан ымын жіктеген кезде, натурал сан жиыны жай сана, рама сана жне бірліктерге жіктеледі.
Кеістіктегі тзулерді зара орналасуын ескеріп, оларды параллель, иылысатын жне айас деп бледі.
Функцияларды зіліс нктелерін жіктеу кезінде мынадай типтерге ажыратады: а) жнделетін зілісті нкте; ) бірінші шекті зілісті нкте; б) екінші текті зілісті нкте.
3) Кптеген математикалы сйлемдерді длелдеу барысында оларды бірнеше бліктерге ажыратуа тура келеді, яни элементар талдау олданылады.
Мысалы, косинустар теоремасын длелдеу шін шбрышты доал, сйір жне тік болатын жадайлары арастырылады. Осы жадайларды брін біріктіру элементар синтез болып табылады.
Теоремаларды арсы жору дісімен длелдеу кезінде де элементар талдау пайдаланатынына оай кз жеткізуге болады.
Мысалы, А=В екендігін крсету шін АВ деп жориды. Нтижеде длелдеп отыран теореманы шартына немесе аксиомаа немесе брын длелденген теоремаа айшылы пайда болады. шіншіні болмайтындыы туралы заа сйкес, жоруымыз ате делінеді де, длелдеу керек йарым дрыс деп табылады. Демек, длелдеу кезінде А жне В арасындаы ммкін болатын барлы жадайлара талдау жасалынады.
Салу есептерін шыарудаы зерттеу жргізу элементар талдау болса, салуды орындау элементар синтез болып табылады.
4) Мектеп геометрия курсындаы кез келген аксиома элементар синтезді мысалы болады. «Бір тзуді бойында жатпайтын ш нкте арылы бір, тек бір ана жазыты жргізуге болады» деген аксиомада элементар синтез жзеге асырылып тр, яни алашы ымдар болып табылатын нкте, тзу жне жазытыты арасында андай да бір байланыс таайындалан.
3. Синтетикалы діс.Теоремаларды длелдеу кезінде теореманы шартынан оны орытындысына арай жретін логикалы тізбектер рылады. Теореманы орытындысыны дрыстыы теореманы шартынан басталып, брыннан белгілі сйлемдерді (аксиома, брын длелденген теорема т.б.) логикалы салдары ретінде таайындалады. Длелдеудегі осындай діс синтетикалы діс деп аталады.
Мысалдар арастырайы.
1-мысал. Тесіздікті дрыстыын длелдедер 
Бл тесіздікті дрыстыын синтетикалы діспен длелдеу шін 
мен 
боланда, дрыстыы аиат мына тесіздікті 
негізге аламыз.
Оны мына трде жазамыз:
Тесіздікті екі жаына да бірдей 4ab-ны мшелеп осса.
болады.
Енді соы тесіздікті екі жаынан бірдей квадрат тбір тапса:
.
Осы тесіздікті екі жаында бірдей 2-ге мшелеп блсек, онда длелденілуге тиісті тмендегі тесіздік келіп шыады:
.
Сонымен, берілген тесіздікті дрыстыы длелденді.
Таы бір мысал арастырайы.
2-мысал. Тік брышты шбрышты гипотенузасыны кубыны катеттеріні кубтарыны осындысынан арты болатынын длелдедер.
Длелдеуі.Перпендикуляр мен клбеуді негізгі асиетіне сйкес:
тесіздектері орындалатындыы айын. Осы тесіздіктерді сйкесінше 
пен 
-а мшелеп кбейтіп, одан кейін екеуін мшелеп осса шыатыны
Ал, Пифагор теоремасы бойынша 
-а те болатындытан, соы тесіздікті былайша жазуа болады:
Сонымен, тесіздікті дрыстыы длелденді.
рине, тесіздікті длелдеу барысында трлендірулерді не шін жргізіліп жатанын оушы бірден тсінбейді. Мектеп курсыны кптеген теоремалары синтетикалы тсілмен длелденген.
Синтетикалы діс мектеп математика курсын оытуда ке трде олданылады.
4. рлей анализ дісі.Бл дісті мнін тсіну шін мынадай мысал арастырайы:
3-мысал. 
(1) тесіздігін длелдеу керек, мндаы a, b, c, d – о сандар.
Длелдеуі. (1) тесіздікті длелдеу шін 
болатындыын крсету жеткілікті немесе 
(2).
(2) тесіздік мына тесіздікті салдары
немесе
(3)
Сонымен (1) тесіздік длелденді.
арастырылып отыран мысалдан рлей анализ дісі бойынша длелдеу орытындыдан бастап жргізілетінін креміз.
рлей анализ дісі бірінен со бірін шешетін екі сраты мнін ашуа келеді.
1) Нені длелдеу керек;
2) Оны длелдеу шін нені длелдеу жеткілікті.
рлей анализ дісін пайдалануды мегеру оушыларды з бетінше жмыс істеуін жетілдіреді.
5. Ылдилай анализ дісі.Ылдилай анализ дісіні екі трі бар: жетілмеген анализ жне арсы жору арылы длелдеу.
Жетілмеген анализге мысал келтірейік.
4-мысал. n-ні кез келген натурал мнінде мына тесіздікті дрыстыын длелдеу керек.
(1)
Длелдеуі. (1) тесіздік орындалады деп жориы. Тесіздікті екі жаын 
кбейткішіне кбейтейік. Трлендірулер нтижесі мынаны береді:
, (2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(6) тесіздік айын. Осымен талдау процесі аяталады. Берілген тесіздік пен айын тесіздік арасында андай да бір байланыс таайындалып тр. Пайда болан тесіздіктерді (1)-(6) тізбегі длелдеу бола алмайды. Толы длелдеу болу шін (6)(5)(4)(3)(2)(1) орындалатынын крсету керек.
арсы жору дісі математика курсында жиі олданылады.
Бір мысал келтірейік.
5-есеп. а жне b зара жай сандар болса, онда 
тедеуіні натурал сандар жиынында шешімі болмайтынын длелдеу керек.
Длелдеуі. (x, y)-тедеуді натурал шешімі болсын, онда 
немесе 
болады. Олай болса, by рнегі а-а блінеді, біра а жне b зара жай сандар, сондытан у а-а блінуі керек, яни у=ka болады. Дл осы сияты х-ты да b-а блінетінін крсетуге болады, яни x=mb. Бл мндерді берілген тедікке ойса amb+bka=ab болып, бдан m+k=1 болатындыы шыады. Бл m жне n натурал сандары шін ммкін емес. Мндай айшылы берілген йарымны дрыстыын длелдейді.
Бл діспен длелдеуді алгоритмі мынадай:
1) длелденетін сйлем жалан (дрыс емес) деп алынып, оан арама-арсы йарым дрыс деп жорылады;
2) осыны нтижесінде р трлі жадайлар белгіленеді;
3) рбір жадайды салдарында теореманы шартына немесе бдан таайындалан сйлемге айшылыа келеді;
4) айшылыты болуы бізді жоруымызды дрыс еместігін білдіреді;
5) длелденетін сйлемні орытындысы дрыс екен делінеді. Длелдеуді осы жоспар бойынша жргізу оушыларды арсы жору арылы длелдеу дадыларын алыптастырып, оны мнін тсінуге ммкіндік береді.
Сратар:
1. Оыту дерісіндегі анализ жне синтез
2. Элементтер анализ жне синтез
3. Синтетикалы діс
4. рлей анализ дісі
5. Ылдилай анализ дісі
дебиеттер:
1. .Бидосов. Орта мектепте математиканы оыту методикасы. – Алматы: Мектеп, 1989. – 224 б.
2.біласымова А.Е., Кбесов А.К., Рахымбек Д., Кенеш С. Математиканы оыту теориясы мен дістемесі. – Алматы: Білім,1998. – 208 б.
3. Бейсеков Ж., Рахымбек Д., Шарипов Т.А. Орта мектепте математиканы оыту дістемесіне арналан оу ралы. – Шымкент,2003. - 179 б