С помощью первой производной
1. Найти производную функции 
.
2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции 
. Если на промежутке 
, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке 
, то на этом промежутке функция возрастает.
4. Если в окрестности критической точки меняет знак
с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.
С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.
Пример 1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: 
.
Решение: Найдем первую производную функции 
.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 
Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.
| 
| 0 | 
| 2 | 
|
| + | 0 | - | 0 | + |
|
| 
| т. max | 
| т. min -4 | 
|
Ответ: Функция возрастает при 
;
функция убывает при 
;
точка минимума функции 
;
точка максимума функции 
.
Правило нахождения экстремумов функции 
С помощью второй производной
1. Найти производную .
2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых 
.
3. Найти вторую производную 
.
4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производнаяокажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
5. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Пример 1:Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: 
.
Решение: Находим производную: 
.
Решая уравнение , получим стационарную точку х =1. Найдем теперь вторую производную: 
.
Так как вторая производная в стационарной точке положительна, 
, то при 
функция имеет минимум: 
.
Ответ: Точка минимума имеет координаты 
.
Направление выпуклости графика функции.
Точки перегиба
Определение: Кривая называется выпуклой вниз в промежутке 
, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.
Определение: Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
yy
xx
Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке 
, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же 
, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
Определение: Точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.
 |
y
x
Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная 
об-
ращается в нуль или терпит разрыв.