Практика начисления простых процентов
Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год. При продолжительности ссуды менее года, когда необходимо выяснить, какая часть процента уплачивается кредитору, срок ссуды п выражается в виде дроби:
n = t / K , (4)
где п - срок ссуды (измеренный в долях года),
К - число дней в году (временная база),
t - срок операции (срок пользования ссудой) в днях.
В зависимости от того, какое количество дней в году берется за базу, различают два вида процентов:
- обыкновенный процент (коммерческий), когда в году принимается 360 дней, т.е. 12 месяцев по 30 дней;
- точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366.
В зависимости от числа дней пользования ссудой различают два способа начисления процентов:
- точный способ - вычисляется фактическое число дней между двумя датами;
- приближенный способ - продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, когда все месяцы содержат по 30 дней.
Следует помнить, что в обоих случаях дата выдачи и дата погашения долга считается за один день.
С учетом этого, на практике могут применяться три варианта расчета процентов:
а) точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика);
б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская практика);
в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика).
1.2. Простые переменные ставки
В кредитных соглашениях могут предусматриваться процентные ставки дискретно изменяющиеся во времени. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:
S = Р * (1+ n1 i 1+ n2 i2+... ) = Р*(1+ ∑nt i t ) , (5)
где Р - первоначальная сумма (ссуда),
it - ставка простых процентов в периоде с номером t,
nt - продолжительность периода начисления t по ставке it.
1.3. Дисконтирование и учет по простым ставкам
В практике часто приходится решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму Р.
Расчет Р по S называется дисконтированием суммы S (см. рис.2).
Величину Р, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S .
Дисконт (скидка) D – проценты, полученные в виде разности
D = S - P. (6)
В финансовых вычислениях используют два вида дисконтирования:
- математическое дисконтирование;
- банковский (коммерческий) учет.
Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче рассчитывается наращенная сумма S=P(1+ni), то в обратной - находится
P = S / (1 + ni ) . (7)
Банковский или коммерческий учет (учет векселей) заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.
Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка, которая обозначается символом d. По определению, простая годовая учетная ставка находится по формуле:
(8)
Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен
D = Snd, (9)
тогда векселедержатель получит сумму равную
P = S - D = S - Snd = S(1 -nd) = S(1 – (t/K) d ) (10)
Множитель (1-nd ) называется дисконтным множителем. Срок п измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням.
2. Сложные проценты
Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях (сроком более 1 года), если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения называют капитализацией процентов.
2.1. Наращение по сложным процентам с постоянной ставкой
Пусть первоначальная сумма долга равна Р, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит Р(1+i), через 2 года P(1+i)(1+i)=P(1+i)2, через п лет - P(1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов:
S = Р (1+i ) n, (11)
где S - наращенная сумма,
i - годовая ставка сложных процентов,
п - срок ссуды,
(1+ i ) n - множитель наращения.
На практике обычно используют дискретные проценты (проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени: год, полугодие, квартал).
2.3. Номинальная и эффективная ставки процентов
Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году т. При каждом начислении проценты капитализируются, то есть добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:
S=P(1+j / m ) N, (13)
где N - число периодов начисления (N=mn, может быть и дробным числом).
При финансовом анализе широко используется понятие эффективной ставки. Чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем при прочих равных условиях она выгоднее кредитору.
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m.
Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:
(1+ iэ )n = (1+j/m)mn , (14)
где iэ, j - эффективная и номинальная ставки.
Связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением
iэ= (1 + j / m)m -1. (15)
Обратная зависимость между номинальной и эффективной ставкой выражена следующей формулой:
j = m [(1+ iэ )1/m-1]. ( 16)
2.4.Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов
Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем формулу S = P(1 + i )n для наращения по сложной ставке с начислением процентов один раз в год и перепишем ее относительно Р:
P = S/(1 + i ) n = Sν n , (17)
где дробь ν n = 1/(1 + i ) n (18)
является учетным, или дисконтным множителем.
При начислении процентов т раз в году, используется формула:
P = S / ( 1 + j / m) nm = Sν nm , (19)
где ν nm = 1/(1 + j / m) nm (20)
(дисконтный множитель).
Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.
Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через п лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент. Здесь разность D = S - P называется дисконтом.
Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:
Р = S(1- dсл )n (21)
где dcл1 - сложная годовая учетная ставка.
Дисконт в этом случае будет равен:
D = S – P = S – S(1- dсл)n = S[1– (1 - dсл)n] (22)
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.
Тема 2. Финансовые потоки. Как правило, разного рода финансовые операции предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Совокупность ряда распределенных во времени платежей принято называть потоками платежей или финансовыми потоками. Как правило, любая финансовая операция предполагает наличие двух потоков платежей: входящего — поступления (доходы) и исходящего — выплаты (расходы, вложения). Эти потоки, а также потов процентных платежей, создаваемый начислением процентов, формируют соответствующий денежный фонд. Движение средств на счету фонда происходит в результате действия входящего - выходящего потоков. В финансовом анализе обычно заменяю эти потоки одним двусторонним потоком платежей, причем поступления считаются положительными величинами, а выплаты — отрицательными.
Накопленная сумма представляет собой сумму всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу его срока. После окончание срока потока платежей накопленная сумма заменяет всю предшествующую последовательность платежей. Аналогичным образом текущая стоимость потока платежей равна сумме платежей, дисконтированных на момент времени, совпадающий с началом потока платежей, — заменяет всю последующую совокупность платежей.
Если в течение срока действия кредитного соглашения сумма задолженности уменьшается за счет частичного погашения задолженности или, наоборот, возрастает при дополнительном заимствовании средств. В этом случае проценты начисляются отдельно за каждый период, в течение которого сумма задолженности постоянна, а затем начисленные для отдельных периодов времени проценты суммируются. Расчет производится по формуле простых процентов.
Выделяют следующие виды рент: обычная рента, или рента постнумерандо, выплачивается в конце каждого года в течение срока ренты. Первый платеж осуществляется в конце первого года, последний — в конце срока ренты; пренумерандо – платежи осуществляются в начале каждого периода ренты; немедленные ренты - если срок их действия начинается немедленно после заключения договора; срок действия отложенных рент запаздывает относительно этого момента. Величина временного интервала настоящего момента до начала ренты называется периодом отсрочки.
Отложенная рента представляет собой немедленную ренту, сдвинутую во времени на период отсрочки. Поэтому текущая стоимость отложенной ренты равна текущей стоимости немедленной ренты, дисконтированной на интервал времени, равный периоду отсрочки.
Потоки платежей