Циркуляция вектора магнитного поля в вакууме. Магнитные поля соленоида и тороида

 

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля вводят циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора по заданному замкнутому контуру называется интеграл

где — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура; — составляющая вектора в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода); α — угол между векторами и .

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора ): циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

(1)

где п — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным.

Циркуляция вектора В длязамкнутого контура в виде окружности радиуса r равна

Согласно выражению (1), получим В∙2πr = μ0I (ввакууме), откуда

Итак, циркуляция вектора электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

Теорема о циркуляции вектора имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био — Савара — Лапласа.

Рассчитаем, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнитного поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков, по которому течет ток (рис.).

Рис.

Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т.е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный.

На рис. представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

На участке вне соленоида В = 0.

(2)

Из (2) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

(3)

Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис.). Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

Рис.

Линии магнитной индукции в данном случае, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиусом r. Тогда, по теореме о циркуляции (1), откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме)

где N — число витков тороида.

Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и В∙2πr = 0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует (что показывает и опыт).