Общее уравнение кривой второго порядка

Мы говорили, что алгебраическая кривая второго порядка определяется алгебраическим уравнением второго степени относительно х и у. В общем виде такое уравнение записывается так

Ах2 + Вху + Су2 +Dx + Ey + F = 0, (6)

причем А2 + В2 + С2 ¹ 0 (т.е. одновременно числа А, В, С в ноль не обращаются). Слагаемые Ах2 , Вху , Су2 называются старшими членами уравнения, число

d =

называется дискриминантом этого уравнения. Уравнение (6) называется общим уравнением кривой второго порядка.

Для рассмотренных ранее кривых имеем:

Эллипс: Þ А = , В = 0, С = , D = Е = 0, F = –1,

d = . >0;

окружность х2 + у2 = а2 Þ А = С = 1, В = D = Е = 0, F = –а2, d = 1>0;

Гипербола: Þ А = , В = 0, С = – , D = Е = 0, F = –1,

d = – . < 0.

Парабола: у2 = 2рх Þ А = В = 0, С=1, D = –2р, Е = F = 0, d = 0,

х2 = 2ру Þ А = 1В = С= D = 0, Е = –2р, F = 0, d = 0.

Кривые, заданные уравнением (6), называются центральными кривыми, если d¹0. Если d> 0, то кривая эллиптического типа, если d<0, то кривая гиперболического типа. Кривые, для которых d = 0 являются кривыми параболического типа.

Доказано, что линия второго порядка в любой декартовой системе координат задается алгебраическим уравнением второго порядка. Только в одной системе уравнение имеет сложный вид (например, (6)), а в другой – более простой, например, (5). Поэтому удобно рассматривать такую систему координат, в которой изучаемая кривая записывается наиболее простым (например, каноническим) уравнением. Переход от одной системы координат, в которой кривая задается уравнением вида (6) к другой, где ее уравнение имеет более простой вид, называется преобразованием координат.

Рассмотрим основные виды преобразований координат.

I. Преобразование переноса координатных осей (с сохранением направления). Пусть в исходной системе координат ХОУ точка М имеет координаты (х, у), а в новой системе координат ХО¢У она имеет координаты (х¢, у¢). Из чертежа видно, что координаты точки М в разных системах связаны соотношениями

(7), или (8).

Формулы (7) и (8) называются формулами преобразования координат.

II. Преобразование поворота координатных осей на угол a. Если в исходной системе координат ХОУ точка М имеет координаты (х, у), а в новой системе координат ХО¢У она имеет координаты (х¢, у¢). То связь между этими координатами выражается формулами

, (9)


или

С помощью преобразования координат уравнение (6) можно привести к одному из следующих канонических уравнений.

1) – эллипс,

2) – гипербола,

3) у2 = 2рх, х2 = 2ру – парабола

4) а2 х2 – b2y2 = 0 – пара пересекающихся прямых (рис. а)

5) y2 – a2 = 0 – пара параллельных прямых (рис. б)

6) x2 –a2 = 0 – пара параллельных прямых (рис. в)

7) y2 = 0 – совпадающие прямые (ось ОХ)

8) x2 = 0 – совпадающие прямые (ось ОУ)

9) а2 х2 + b2y2 = 0 – точка (0, 0)

10) мнимый эллипс

11) y2 + a2 = 0– пара мнимых прямых

12) x2 + a2 = 0 пара мнимых прямых.

 

Каждое из этих уравнений является уравнением линии второго порядка. Линии, определяемые уравнениями 4 – 12, называют вырожденными кривыми второго порядка.

       
   
 
 

 

 


Рассмотрим примеры преобразования общего уравнения кривой к каноническому виду.

1)9х2 + 4у2 – 54х + 8у + 49 = 0 Þ (9х2 – 54х) + (4у2+ 8у) + 49 = 0 Þ

9(х2 – 6х + 9) + 4(у2 + 2у + 1) – 81 – 4 + 49 = 0 Þ 9(х –3)2 + 4(у + 1) = 36, Þ

.

Положим х¢ = х – 3, у¢ = у + 1, получим каноническое уравнение эллипса . Равенства х¢ = х – 3, у¢ = у + 1 определяют преобразование переноса системы координат в точку (3, –1). Построив старую и новую системы координат, нетрудно изобразить данный эллипс.

2)3у2 +4х – 12у +8 = 0. Преобразуем:

(3у2– 12у )+ 4 х +8 = 0

3(у2 – 4у +4) ­– 12 + 4х +8 = 0

3(у – 2)2 + 4(х –1) = 0

(у – 2)2 = – (х – 1) .

Положим х¢ = х – 1, у¢ = у – 2, получим уравнение параболы у¢2 = – х¢. Выбранная замена соответствует переносу системы координат в точку О¢(1,2).

Чтобы построить параболу, достаточно определить дополнительно хотя бы одну ее точку (либо относительно новой, либо относительно старой системы координат) положим х¢ = –3, получим у¢ = ± 2, т.е. нашли целых две точки: (–3, 2) и (–3, –2) в новой системе координат.

По этим точкам и вершине, которая находится в новом начале координат О¢, можно изобразить параболу.

 

 

3) 4х2 – у2 + 8х + 6у – 5 = 0 Þ

4х2+ 8х– у2+ 6у – 5 = 0,

4(х2+ 2х+1) –(у2– 6у+9)–4 +9 – 5 = 0,

4(х+1)2 –(у+3)2 = 0.

Замена х¢ = х+1, у¢ = у – 3 приводит к уравнению 4х¢2 – у¢2 = 0 – это пара пересекающихся прямых в системе координат Х¢О¢У¢, где О¢(–1, 3). Уравнения прямых в этой системе координат можно записать в виде

у¢ = ±2х¢

и легко построить.

 

4) х2 + 2ху +у2 – 4 = 0 Þ (х2 + 2ху + у2) – 4 = 0,

(х+у)2 – 4 = 0 Þ (х+у –2)(х+у+2) = 0,

х+у –2 = 0 и х+у+2 = 0

– две прямые, их легко построить в системе координат ХОУ. Нетрудно построить систему координат, в которой уравнения этих прямых будут заданы в виде х¢ 2– а2 = 0, или в виде

у¢ 2– а2 = 0.