Завдання та методичні рекомендації до вивчення теми. Основні поняття, що пов’язані з моделюванням за допомогою методів диференціального числення: похідна
Основні поняття, що пов’язані з моделюванням за допомогою методів диференціального числення: похідна, частинна похідна, граничні (маржинальні) значення функції або показника, еластичність, гранична заміна факторів. Для визначення оптимальних та бар’єрних значень використовуються теореми диференціального числення, що розглядалися в дисципліні «Математика для економістів».
Виробнича функція пов’язує обсяг випущеної продукції та фактори, що на нього впливають. Використовують різні виробничі функції, виходячи з технології підприємства та його масштабу. Виробничі функції описують процеси і на окремих підприємствах, і в окремих галузях, і в економіці всієї країни.
З видами і застосуванням виробничих функцій можна ознайомитися у літературі , список якої наведено в кінці методичних рекомендацій до даної теми.
Однією з найпоширеніших є виробнича функція Кобба-Дугласа та мультиплікативна функція типа Кобба-Дугласа. Розглянемо більш докладно останню.
Мультиплікативна функція має вигляд:
, 
, 
, (21)
де 
обсяг випущеної продукції;
основні засоби підприємства;
працезатрати;
– параметри моделі.
Мультиплікативна функція застосовується для моделювання на макро- та мікрорівнях.
Для визначення параметрів моделі можна застосувати метод найменших квадратів. Для цього нелінійну модель треба звести до лінійної форми. Після логарифмування
(22)
і заміни змінних 
, 
, 
, отримаємо приведену лінійну регресію:
, (23)
де 
.
Далі обчислюємо параметри регресії, визначаємо якість та адекватність моделі, визначаємо границі надійних інтервалів для параметрів і прогнозу показника, як для множинної лінійної моделі. Для параметра 
та границь надійного інтервалу прогнозу показника треба зробити зворотні перетворення: знайти за допомогою потенціювання.
Приклад розрахунку параметрів виробничої функції докладно наведено у навчально-методичному посібнику «Економіко-математичні методи та моделі. Частина 2» [4].
Зупинимося на питаннях, що раніше не розглядалися.
Частковим випадком неокласичної мультиплікативної виробничої функції є функція Кобба-Дугласа:
, 
, 
. (24)
Зі зростанням витрат ресурсів випуск також зростає, про що свідчать частинні похідні випуску:
, оскільки 
; (25) 
, оскільки 
. (26)
Здійснимо економічну інтерпретацію параметрів мультиплікативної виробничої функції [1].
Параметр А інтерпретують як параметр нейтрального технічного прогресу: за тих самих значень 
та 
випуск буде тим більшим, чим більше А.
Параметри 
та 
- коефіцієнти еластичності випуску за основними фондами та працею відповідно. Якщо 
> 
, то має місце працеощадне (інтенсивне) виробництво; якщо 
< 
, виробництво є екстенсивним.
Граничною нормою заміни праці фондами називають відношення:
, (27)
і, відповідно, гранична норма заміни фондів працею:
. (28)
Для наочного уявлення взаємозамінюваності факторів можна побудувати ізокванту – геометричне місце точок факторів 
, для яких показник обсягу виробництва продукції 
залишається сталим. Щоб побудувати ізокванту, виразимо один із факторів виробничої регресії через інший фактор і стале значення показника регресії Y0:
. (29)
Якщо сталу 
позначити через b, то отримаємо таку залежність: 
.
Частинні похідні випуску за чинниками називають граничними продуктами або граничними (маржинальними) ефективностями чинників.
Легко помітити, що 
.
Для мультиплікативної виробничої функції норма заміщення праці фондами пропорційна фондоозброєності:
, 
, (30)
що є логічним, адже брак обсягів праці можна компенсувати кращою фондоозброєністю.
За допомогою ВФ можна описати ефективність та масштаб виробництва.
Перейдемо до відносних (безрозмірних) показників у ВФ:
, де X0 , K0, L0 – значення обсягів випуску і витрат фондів та праці в базовому році.
Приведемо безрозмірну форму до початкового вигляду виробничої функції:
. (31)
Отже, коефіцієнт А зіставляє ресурси з випуском.
У відносних (безрозмірних) одиницях ВФ можна записати таким 
, (32)
де 
, 
, 
. (33)
Ефективність – це відношення результату до витрат. У нашому випадку є два часткових показника ефективності: 
- фондовіддача; 
- продуктивність праці. Коефіцієнт ефективності можна записати у такій формі:
, (34)
роль вагових коефіцієнтів тут відіграють відносні еластичності за фондами і працею:
, 
, (35)
тобто часткові ефективності входять до загальної ефективності з такими самими пріоритетами, з якими входять у ВФ відповідні ресурси.
За допомогою коефіцієнта економічної ефективності ВФ можна подати у формі, яка зовнішньо збігається з функцією Кобба-Дугласа:
. (36)
Масштаб виробництва визначається як середнє геометричне темпів зростання використаних ресурсів:
. (37)
Отже, випуск є добутком економічної ефективності та масштабу виробництва:
. (38)
Математична теорія фірми, зокрема, оптимізаційні задачі в різних сферах людської діяльності пов’язані із поняттям похідної. Розв’язування таких задач засновано на дослідженні функцій методами диференціального числення.
Розглянемо задачу максимізації прибутку фірми, яка випускає продукцію одного виду. Розрізняють випадки досконалої ринкової конкуренції і монополії щодо ціни на продукцію. Докладно – в рекомендованій літературі [2].
Розглянемо випадок сталої ціни. Якщо підприємство виробило продукції 
одиниць (кг, тон і т.ін.), то при її реалізації за ціною 
дохід складе:
. (39)
Функція витрат визначається розподілом вихідних даних. Якщо розподіл витрат, наприклад, можна описати квадратичною функцією, то відповідна регресія має вигляд:
. (40)
Це рівняння треба звести до лінійного заміною змінних і визначити параметри економетричними методами, використовуючи вихідні дані. (див. навчально-методичний посібник «Економіко-математичні методи та моделі. Частина 2», тема 3 [4]).
Прибуток визначиться таким чином:
. (41)
Для визначення максимуму прибутку треба задовольнити необхідну умову екстремуму функції однієї змінної:
. (42)
З цього рівняння отримаємо значення 
, за якого функція прибутку має екстремум:
. (43)
З огляду на те, що функція прибутку квадратична, опукла вгору, то маємо максимум. У цьому можна переконатися, якщо знайти другу похідну функції прибутку, і, таким чином, задовольнити достатню умову існування екстремуму.
Щоб знайти максимальний прибуток, треба визначене значення у підставити у функцію прибутку.
В оптимальному розв’язку маржинальний дохід та маржинальні витрати мають однакові значення.
Питання для самоконтролю
1. В чому полягає граничний аналіз в економіці? Наведіть приклади для задач, пов’язаних з фінансовою діяльністю підприємства.
2. Наведіть основні виробничі функції, що використовуються для опису економічних процесів.
3. Мультиплікативна виробнича функція та її особливості.
4. Застосування методів диференціального числення для розв’язування задач фірми.
5. Бар’єрні показники у фінансовому аналізі.
Завдання до самостійної роботи
Завдання 1
Є дані про металургійний сектор в Україні:
| Рік | Обсяг продукції, млн. у.о. У | Витрати праці, млн. днів Х1 | Витрати капіталу, млн. у.о. Х2 |
Побудувати функцію типа Кобба-Дугласа, яка описує залежність між випуском продукції металургійної галузі, затратами праці та витратами капіталу:
Y=a0X1a1X2a2.
Розрахувати її параметри МНК, знайти коефіцієнт детермінації та оцінений коефіцієнт детермінації, стандартні квадратичні відхилення для параметрів регресії.
З надійністю Р=0.95 встановити адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним.
Якщо модель адекватна статистичним даним, то знайти частинні коефіцієнти еластичності, значення прогнозу і його надійний інтервал при Х1=1000, Х2=250000, дати економічну інтерпретацію результатам.
Побудувати ізокванту для випуску Y=55000млн. у.о.
Оцінити масштаб і ефективність виробництва.
Використовуючи розрахунки, зробити висновки.
Завдання 2
В таблиці наведені витрати С та кількість виробленої підприємством продукції У. Визначити, який максимальний прибуток отримає підприємство, якщо реалізуватиме цю продукцію за ціною Р=10 у.о.
Насамперед, побудувати функцію витрат, використовуючи економетричні методи та прийнявши квадратичний закон залежності між У та С.
| У | ||||||||||||
| С |
Задачу розв’язати такими способами:
1. За допомогою методів диференціального числення.
2. Графічно, побудувавши графіки функцій витрат і прибутку.
Рекомендована література
[1, 2, 4, 8]