Сколько существует трехзначных кодов с разными цифрами?

Решая №1, мы нашли, что двузначных коды с разными цифрами 90 штук. Приписывая впереди к каждому такому двузначному коду по одной из 8 цифр, не содержащихся в этом коде, мы, очевидно, получим все различные трехзначные коды с разными цифрами.

Двузначные коды с разными цифрами Трехзначные коды с разными цифрами
… …
… …
… …

Таким образом, всего кодов с тремя разными цифрами будет равно 90·8=10·9·8 штук.

Мы нашли, что N =720; разделив N на 6, мы получим ответ 120 кодов.

Ответ к №2. 120 трехзначных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке.

№3. Сколько существует 4-значных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке?

Аналогичные рассуждения применяем для нахождения числа кодов с четырьмя разными цифрами. Число таких кодов равно 720·7=5040. Как и в предыдущем случае разобьем эти коды на классы, в каждый из которых войдут коды, состоящие из одних и тех же трех цифр и отличающиеся только порядком расположения цифр. Пусть d, a, b, c – какие-то цифры, причем d >a > b > c. Будем составлять из них коды. Если фиксировать цифру d на первом месте, то получится 6 вариантов расстановок dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba. Если фиксировать любую из оставшихся цифр на первом месте, то для каждой получится 6 вариантов расстановок. Тогда из цифр d, a, b, c можно составить только 4·6=24 различных кода. Из них только у одного кода, cbad цифры идут в возрастающем порядке. Поэтому 5040:24=210 четырехзначных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке.

№4. Сколько существует восьмизначных кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке?

Решение №3. Ответ: столько же, сколько двузначных, то есть 45 кодов.

Докажем это. Выпишем в строку все десять цифр в порядке возрастания: 0123456789. Возьмем двузначный код, цифры которого идут в возрастающем порядке, и вычеркнем его цифры из этой строки. Мы получим в результате восьмизначный код, цифры которого идут в возрастающем порядке, например:

07 ® 0123456789 , то есть 12345689; 26 ® 0123456789 , то есть 01345789.

Таким образом, каждому двузначному коду с возрастающим порядком цифр мы сопоставили один восьмизначный код с возрастающим порядком цифр. Теперь наоборот, возьмем какой-нибудь восьмизначный код, цифры которого идут в возрастающем порядке, и, составив двузначный код из двух цифр, которые не вошли в этот восьмизначный код, поставим эти две цифры в порядке возрастания, например: 12346789® 05.

Таким образом, каждому восьмизначному коду мы сопоставим один двузначный код. Очевидно, что в первом и во втором случаях двум разным кодам соответствуют два разных кода.

Мы установили взаимно однозначное соответствие между двузначными и восьмизначными кодами с возрастающим порядком цифр. Следовательно, и тех, и других одинаковое количество.

Аналогичные рассуждения при к=6 (столько же, сколько четырехзначных кодов), к=7 (столько же, сколько трехзначных кодов).

№5. Сколько существует 10-значных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке?

Ответ очевиден, только один код.

№6. Сколько существует 11-значных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке?

Ответ: таких кодов нет. В самом деле, у каждого такого кода все 11 цифр должны быть разными, но всего есть только 10 различных цифр.

Значит, не существует к-значных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке при к>10.

При рассмотрении такого блока у учащихся развивается способность к целесообразному варьированию способов действий, они учатся перестраивать систему знаний, умений и навыков при изменении условий действий, переходить от одного способа действия к другому, учатся выходить за границы привычного способа действий. У учащихся появляется желание обязательно решить эту проблему, изучить разные подходы к ее решению, исследовать различные варианты постановки этой проблемы в зависимости от изменяющихся условий. Они стремятся осуществить выбор действий, постоянно ориентируясь на поставленную этой проблемой цель. Так же у учащихся формируются обобщенные способы действий.