Жалызды теоремасы

Жйелілік критерийі

Алдыы таырыпта біз дифференциалдау мен регулярлы ымдарыны эквиваленттілігін длелдедік. Бл бізге наты функцияларды регулярлыын тексеруге ыайлы арапайым регулярлы белгілерді атарын бірден береді. Наты:

нктесінде жйелі функцияларды аыры мндеріні осындысы мен туындылары нктесінде траты болады.

нктесінде траты екі функцияларды да атынасы да функция болып табылады.

Егер f(z) нктесінде траты болса, ал F() функциясы f() нктесінде траты болса, онда (z) F( f(z)) нктесінде траты.

Біз азір одан да тереірек нтижелерді крсетеміз. Негізгі болып Морер теоремасы деп аталатын критерий табылады.

Теорема 4.1. f(z) функциясы D облысында зіліссіз жне f(z) интегралы D-да жатан кез келген тйы сыныы нлге те. Сонда f(z) D облысында зіліссіз болады.

Длелдеу. G арылы D облысыны кез келген бір байланысты блігін белгілейміз.

І тарауды 5.2 теоремасыны кмегімен f(z) функциясыны интегралы кез келген тзелетін тйы исы бойынша (D облысында жатан) нлге те екеніне кз жеткіземіз. Осыдан біз f(z) функциясыны интегралы D облысында жатан кез келген тзелетін исы бойынша сол исыты тек бастапы жне аыры нктелеріне туелді екенін шыарамыз. Осы деректен біз 3,4 теоремадаыдай f(z) функциясыны F(z) бірінші трленуі (интегралды жолдан туелділігін есепке ала трып) D облысында траты. 3.3 теоремаа сйкес n=1 бл D облысында f(z)=F(z) функциясы да траты екенін білдіреді. G – D - ны кез келген бір байланысты блігі боландытан, теорема длелденді.

Морер теоремасыны кмегімен келесі белгілер длелденеді.

Теорема 4.2. Егер f(z, ) G облысында z бойынша кез келген Е траты болса жне

G кез келген тйы блігінде z бойынша те, онда (z) G облысында да здіксіз.

Длелдеуі. f(z, ) функциясы G облысында z бойынша здіксіз, ал яни І тарауды теорема 4.1. бойынша (z) функциясы G облысыны кез келген тйы блігінде зіліссіз. Содан байаса, І тарауды 6.1 теоремасындаы интегралдау ретіні ауысу ммкіндігі мен шекке біралыпты ту кшіне арай аламыз.

Мнда C - G-да жататын еркін контур. Егер біз С ретінде G–да жатан кез келген облысты шекарасын алатын болса, онда соы интеграл Коши теоремасы бойынша нлге те болады.

Осылайша, функциясы G облысында зіліссіз жне -тан G интегралында жатан кез келген облысты шекарасы бойынша (шекарасымен бірге) нлге те. Морер теоремасы бойынша функциясы G облысында траты. Теорема длелденді.

4.2 теоремасыны кп тараан жеке жадайлары ретінде келесі пайымдаулар табылады:

Салдар 1. Регулярлы функцияларды біралыпты жинаталатын атарларыны осындысы сол жиынны атар біралыпты жинаталатын барлы ішкі нктелерінде траты функция болып табылады.

1 салдарды ерекше жадайын белгілеп тейік:

Салдар 2. Дрежелі атарды осындысы оны жинаталу шеберіні ішінде траты.

Келесі белгі де лкен мнге ие.

4.3 теорема. L - жазытыындаы андай да бір тзелетін контур, ал - z бойынша G облысында кез келген траты жне , кезінде айнымалыларды жиынтыы бойынша зіліссіз функция. Онда функция

G облысында траты.

Длелдеуі. G облысында зіні С шекарасымен бірге D облысын алайы. І тарауды 6.2 теоремасы бойынша функциясы G облысында зіліссіз жне

.

Коши теоремасы бойынша ішкі интеграл нлге те. Осылайша функциясы Морер теоремасыны шарттарын анааттандырады. Демек, - G облысында траты функция жне теорема длелденді.

Ескерту. 4.2 мен 4.3 теоремаларын біріктіре отырып, 4.3 теорема бойынша біралыпты жинаталатын болса, зіндік емес интеграл шін де з кшінде алады.

4.3 теореманы бір жеке жадайын белгілеп кетейік.

Салдар 1. Егер f() функциясы L контурында зілессіз болса, онда функция

L нктелері жо контурыны кез келген облысында траты.

Шынында, L нктелері жо контурыны D кез келген облысында, функциясы кез келген кезінде z бойынша траты жне , кезінде айнымалыларды жиынтыы бойынша зіліссіз. Сондытан бізді пайымдау 4.3 теоремадан шыады.

Баса трдегі бір нтиже келтірейік.

4.4 теорема. Егер f(z, ) кез келген кезінде G облысында z бойынша траты болса жне

G облысыны тйы блігінде z бойынша біралыпты болса, онда

G облысыны тйы блігінде z бойынша біралыпты.

Длелдеуі. В арылы G кез келген тйы блігін белгілейік, ал D арылы В бар, біра зіні С шекарасымен бірге G-да жатан облысты белгілейміз. Сонда , кезінде

,

мен бойынша біралыпты. І тарауды 6.1 теоремасыны интегралдау ретіні згерту ммкіндігі мен біралыпты шектік ту кшіне арай мынаны аламыз

3.3 теоремаа сйкес сол жаы те, ал о жаы 4.2 мен 3.3 сйкес те. Осыдан теореманы пайымдауын аламыз.

Салдар 1. G облысыны кез келген тйы блігінде біралыпты жинаталатын траты функциялар атарын блшектеп дифференциалдап алуа болады жне дифференциалдаудан кейінгі алынан атар G облысыны кез келген тйы блігінде біралыпты жинаталатын болады.

Келесі нтиже 4.4 теоремаа сас длелденеді.

4.5 теорема. Егер f(z, ) функциясы кез келген кезінде G облысында z бойынша траты болса жне , кезінде айнымалыларды жиынтыы бойынша зіліссіз, ал

онда

Ескерту. 4.5 теореманы пайымдауы біралыпты жинаталатын зіндік емес интегралдар шін де з кшінде.

орытынды ретінде траты функцияларды ышамдылы принципі атына ие таы бір теореманы длелдейміз.

4.6 теорема. G облысында траты функциясыны біралыпты шектелген тізбегінен G облысыны кез келген траты тйы блігінде біралыпты жинаталатын бір тізбек астын белгілеп алуа болады.

Длелдеуі. деп G-ды кез келген тйы блігін белгілеп алайы, ал D арылы -а ие, біра C з шекарасымен бірге G-да жатан облысты белгілеп аламыз. 3.3 теоремаа сйкес

тізбегіні біралыпты шектелуі

Білдіреді.

Сондытан, интеграл модулін баалай отырып интеграл асты функцияны модуліні максимумын интегралдау жолыны зындыынан шыара отырып,

Аламыз. Мнда L – С зындыы, – -дан С-а дейінгі ара ашыты.

Осылайша жиынында функцияларыны тізбегі де біралыпты шектелген, жне оларды туындыларыны да тізбегі біралыпты шектелген. Біра туындыларды тізбектілігіні біралыпты шектелуінен тізбегіні бірдегейлі зіліссіздігі болады. Сондытан Арцел теоремасын олдана отырып (§4, 1 тарау), жиынында біралыпты жинаталатын тізбекті тізбек астын тадай аламыз.

Осылай, G облысыны рбір тйы блігі шін тізбегінен осы блікте біралыпты жинаталатын тізбек астын бле аламыз (жалпы айтанда ір блікке зінікін). G кез келген тйы блігінде біралыпты жинаталатын тізбек астын бле алатынымызды крсетеміз. Бл масат шін осындысы G облысын толыымен жабатын жиыны шін кеейтілетін тізбек раймыз. р жиыны шін з тізбегін рамыз. Сосын бірінші функцияны бірінші тізбек астынан аламыз, екіншіні – екіншіден жне т.с.с. бл тізбек негізгі болып абылданады.

Жалызды теоремасы

азір біз жалызды теоремасы деп аталатын траты функцияларды маызды асиеттерііні бірін длелдейміз.

5.1-теорема. функциясы D облысында траты болсын ал Д ішіндегі шекті нктесі бар Е шексіз нктелер тізбегі . Егер болса онда функцияс Д облысы бойынша функциясы 0 ге те.

Длелдеуі. А- D да жатан тізбегіні шектік нктесі болсын. Алдымен крсетейік, функциясы а нктесіні кейбір маайында нлге те. функциясы а нктесінде траты екенін білеміз, яни

Жалпы шектеусіз екенін, жне барлы n кезінде ие болатынымызды есептеуге болады. деп жне еске ала отырып, аламыз

кезінде шекке жете отырып, екенін табамыз. Мны олдана отырып, жаза аламыз

айтадан , содан деп алып, екенін табамыз. Осы процессті айталай отырып нлге те екеніне кз жеткіземіз, яни f(z) функциясы кезінде нлге те.

f(z) функциясы Д облысыны кез келген нктесінде нлге те екенін крсетейік. Бл шін кез келген нктесін алайы жне оны а нктесімен Д-да жатан L сыныы арылы байланыстырайы (бл ммкін, себебі облыс – байланыс жиын). Енді, деп алайы. Онда L сыныында келесі асиеттерімен табылады:

L аумаында а жне нктелері арасында f(z) функциясы нлге те.

шеберінде, кез келген кезінде, f(z) функциясында нлден баса е болмаанда бір нкте болады.

Онда біз жне бола алатын L нктелеріні тізбегін ала аламыз. Содан а нктесіні орнына нктесін, ал тізбегіні орнына тізбегін алып, жоарыда жргізілген ойларды айталаймыз. Біз кезінде аламыз. Бл нктесіні екінші асиетіне айшы келеді.

Осылайша, болатын нктесі табылады деген болжам бізді айшылыа келді. Теорема длелденді.

Жалызды теоремаларын олдануда аналитикалы жаластыру тсінігі лкен рл ойнайды.

Бізге берілсін: Е жиыны , Е-ге аныталан f(z) функциясы, жне Е жиынына ие D облысы. Е жиынындаы f(z)-пен сйкес келетін D облысында траты f(z) функциясын біз D облысындаы f(z) функциясыны аналитикалы жаласы деп атаймыз.

Жалызды теоремасынан аналитикалы жаластыру принципі атауын алатын пайымдау жреді: Егер Е жиыны Д облысыны ішінде жататын бір шектік нктесі бар болса, онда f(z) функциясыны Д облысына бір ана аналитикалы жаласы болады.

Шынымен, егер f(z) функциясыны Д облысынд екі трлі аналитикалы жаласы болса, біз жалызды теоремасымен арсылыа келер едік.

Аналитикалы жаластыру принципі кмегімен кейбір элементар функцияларды айнымалыны комплекстік мндеріне ойып (таратып) , комплектік жазыта оларды асиеттерін зерттеуге болады.

Талдаудан , , функциялары барлы шынайы х шін жиналатын дрежелік атарлара блінетіні белгілі.

Бл атарлар айнымалыны барлы комплекстік мндері шін де жиналады. Сондытан комплекстік мндерді z атарлары шін , , функцияларын анытау естесственно)). 4.2 теоремаы 2 салдарын сйкес бл атарларды осындысы барлы комплекстік жазыты бойынша функция болып табылады, яни, барлы комплекстік жазытыа , , функцияларыны аналитикалы жаласын береді. Аналитикалы жаластыру принципы бойынша баса жаласулар болмайды.

Аналитикалы жаластыру ретінде пайда болан комплекстік айнымалыны функцияларын алай зерттеу керегін крсетеміз. Жеке жадайда шынайы мндер шін белгілі формулалар айнымалыны комплекстік мндеріне алай ауыстырылатынын крсетеміз. Кез келген формула шін пайымдаулар бірдей боландытан, бір формуламен шектелеміз.

Мысал 1. Кез келген комплекстік пен шін келесі формула

Сай.

(5.1) формуланы екі блігінде де кез келген бекітілген кезінде z бойынша жне кез келген бекітілген z кезінде бойынша траты функциялар тр. Бізге бізге осы функциялар барлы z жне кезінде сйкес келетінін длеледеу керек. Алдымен шынайы мндерін арастырайы. Егер осы кезде z-те жарамды болса, онда формула ділетті. Жалызды теоремасыны кшіне орай z айнымалы екі комплексті функциясыны кшіне орай жазыты бойында траты жне з барлы шынайы мндеріне тепе те келеді . Демек, (5.1) формула кез келген комплекстік z жне кез келген шынайы кезінде длелденді.

.

Енді кез келген комплекстік z тіркей отырып жіне сас бізді функциялармен функциялар сияты ойлау жргізе отырып (5.1) формула кез келген z жне кезінде ділетті екеніне кз жеткіземіз.

рине, (5.1) формуланы атарларды айта кбейтумен длелдеу иын емес, біра келтірілген ойлау дісі тек арапайымдылыымен ана емес жалпылыымен де керемет.

(5.1) формула кмегімен кез келген комплекстік z кезінде функциясыны мндерін есептеу шін арапайым формуланы да алу оай. Шынымен, ояйы. Онда (5.1) формулаа сйкес ие боламыз. есептеу шін z орнына Iy оямыз жне шынайы жне жалан бліктерін блеміз. Бл бізге Эйлер формуласын береді

Оны кмегімен табамыз

(5.2) формуладан шыады

.

Талдауда кездесетін кптеген функцияларды айнымалыны комплекстік мндеріне аналитикалы трде жаластыруа болады. Крсеткіш жне тригонометриялы функциялар шін бл тіпті оай жасалады, ал басалар шін – иын. Мысалы, lnx аналитикалы жаласы бізге келесі тарауда айналысатын иынды туызады. азір біз айнымалыны асында емес, интегралмен шынайы мндері шін аныталан функцияны аналитикалы жаласыны бір мысалын арастырамыз.

Мысал 2. Z шынайы о шін интегралмен аныталатын Эйлер гамма-функцияларыны кешендік жазытыына аналитикалы жаласын табамыз.

T^z-1 интеграл астын кез келген t 0 кезінде комплекстік жазытыта толыымен аналитикалы трде оай жаластыруа болады, йткені

Ал крсеткіш функцияны аналитикалы жаластыруымен біз таныспыз. Сондытан, 4.3 теореманы олдана отырып, біз интеграл ды креміз

жне кезінде барлы комплекстік жазытыта траты болатын z функциясы болып табылады. Біратан жне кезінде интеграл зіндік емес болып алады жне бізге андай z кезінде ол біралыпты жинаталатынын тсіндіру ажет. анытауыш интеграл екі ерекшелікке ие боландытан (нлде жне шексіздікте), оны екі интегралдарды осындысына бліп жне оларды р айсысыны жинаталуын жеке зерттеу керек.

ойса

мнда

Алдымен интегралын зерттейік. Re кезінде (5.3) формуланы кшіне арай интеграл асты функцияны тесіздігін жазамыз

Интегралдау арасында жне боландытан. Біра

функциясы кезінде t-ны кез келген дрежесінде нлге жылдамыра жетеді. Сйкесінше интегралдарды біралыпты жинаталу белгісі бойынша (§6 І тарауды соы) функциясын анытайтын интеграл кез келген R кезінде жарты жазытыында z бойынша біралыпты жинаталады. 4.3 теоремадаы ескертуді олдана отырып функциясы комплекстік жазытыты бойында траты екенін аламыз.

арналан интеграла тейік. кезінде интеграл асты функциясы шін тесіздік жаза аламыз

Интегралдау арасында 0<t<1 жне боландытан, біра кезінде аламыз