Обработка результатов прямого измерения. Учитывая вышеизложенное, можно рекомендовать следующий алгоритм обработки результатов прямых измерений.

 

Учитывая вышеизложенное, можно рекомендовать следующий алгоритм обработки результатов прямых измерений.

1. Из-за наличия погрешностей никогда не следует ограничиваться одиночным измерением, а всегда следует проводить несколько опытов желательно нечетное число (три, пять).

2. Определить наилучшее значение измеряемой величины х, как среднее арифметическое из всех результатов измерений: х1, х2 ... хi ... хn по формуле:

 

(7)

 

3. Вычислить случайную абсолютную ошибку каждого измерения по уравнению (3):

= Хi - Хи

 

а затем среднюю абсолютную погрешность:

(8)

 

4. Определить приборную погрешность, используя паспортные данные прибора или, при их отсутствии, принять за погрешность половину наименьшего деления шкалы стрелочного прибора или наименьший разряд цифрового прибора.

5. Сравнить приборную и среднюю абсолютную погрешность, выбрать большую из них, приняв за полную погрешность результаты измерения.

Окончательный результат можно представить в виде: Это означает, что истинное значение лежит в интервале . ???

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность проведенных измерений. Например, абсолютная ошибка в 1 мм при измерении отрезков длиной 5 м и 5 мм в относительных единицах будет существенно разной. Поэтому кроме абсолютной ошибки используют и относительную погрешность

 

, (9)

 

В этом виде ε это безразмерная величина. Часто её выражают в процентах. Тогда вместо (9) запишем

 

(10)

 

В приведенном примере относительные ошибки составят 0,1% и 20%. Это, безусловно, большое различие, хотя абсолютная ошибка одинакова. Относительная ошибка дает больше информации о точности и позволяет сравнивать погрешности измерений разных величин.

 

Отработка результатов косвенных измерений

Метод частных производных

Пусть интересующая нас величина y является некоторой функцией других величин xl, x2, x3 и т.д., так что

 

у = ƒ(xl, x2, x3...) (11)

 

причем величины xl, x2, x3... мы можем измерять путем прямых измерений. В этом случае мы для определения величин и ∆ сначала измеряем все величины, от которых зависит у (xl, x2, x3...) по методике, изложенной в предыдущем параграфе. В результате чего определяем , а также полные погрешности, в определении этих величин, которые обозначим как Наилучшее (среднее) значение косвенно определяемой величины у находится при подстановке в (6) наилучших (средних) значений

 

(12)

 

Для определения полной абсолютной погрешности величины у необходимо выяснить, как изменяется эта величина при относительно небольших изменениях всех величин, от которых зависит величина у. Это можно сделать с помощью полного дифференциала. Интересующее нас изменение величины

 

(13)

 

где - обозначают частные производные от функции f по соответствующим переменным. Эти частные производные вычисляются при наилучших (средних) значениях и т.д.

От бесконечно малых изменений величин у, xl, x2, x3... в (13) перейдем к конечным значениям их изменений

 

(14)

 

где ∆y- искомая полная погрешность величины - значения соответствующих частных производных, вычисленных при наилучших (средних) значениях входящих в них величин.

- полные погрешности определения величин.

Под частной производной функции ƒ(x, y, z) по переменной X понимают величину:

 

(15)

 

т.е. это производная, которая вычисляется в предположении, что все переменные, кроме той, по которой берется производная, являются постоянными величинами. Например: пусть . Тогда

 

После вычисления абсолютной ошибки ∆у по формуле (14) находят относительную ошибку как

(16)

Этот способ удобен в том случае, когда представляет собой алгебраическую сумму.