Лекція 3. Найпростіші задачі квантової механіки
1.3.1. Рух вільної частинки.
1.3.2. Частинка в одновимірному потенціальному ящику.
1.3.3. Гармонічний квантовий осцилятор.
1.3.4. Проходження частинки крізь потенціальний бар’єр. Тунельний ефект.
1.3.1. Рух вільної частинки
Найпростішим рухом квантової частинки є вільний рух. Прикладом такого руху є рух електронів в металах і напівпровідниках. В цьому випадку потенціальна енергія частинок дорівнює нулю. При вільному русі повна енергія частинки збігається з кінетичною, а її швидкість є сталою величиною. Такому рухові в класичній механіці відповідає рівномірний і прямолінійний рух.
Нехай рівномірний рух квантової частинки відбувається в напрямі осі х, яка збігається з напрямком вектора швидкості. Стаціонарне рівняння Шредінгера для вільної частинки запишеться:
(1.3.15)
де m ― маса частинки; Е ― повна енергія частинки.
Рівняння (1.3.15) є диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами, розв’язком якого може бути функція
(1.3.16)
де А і к ― сталі величини; і ― уявна одиниця.
Підстановка (1.3.16) в (1.3.15) дасть тотожність
звідки
(1.3.17)
У співвідношенні (1.3.17) к - хвильове число хвиль де Бройля; Е ― повна енергія частинки; m ― маса частинки.
Енергія вільної частинки з рівності (1.3.17) дорівнює
(1.3.18)
Хвильове число к може набувати довільних значень, тому що вільні частинки в системі можуть мати практично будь-які постійні швидкості. Це говорить про те, що енергетичний спектр вільних частинок є суцільним.
Густина імовірності перебування вільної частинки в довільних точках осі х дорівнює
де 
- комплексно спряжена хвильова функція. Звідки
Густина імовірності вільної частинки в будь-якій точці осі х є сталою величиною. Невизначеності вільної частинки в координаті в такому випадку дорівнюють безмежності. Цей висновок є добрим підтвердженням співвідношення невизначеностей Гейзенберга.
1.3.2. Частинка в одновимірному потенціальному ящику
Розглянемо приклад просторово-обмеженого одновимірного руху квантової частинки в глибокому потенціальному ящику з вертикальними стінками, шириною l. Потенціальна енергія електрона зовні і всередині такого ящика має наступні значення:
U(x)=0 при 0<x<l, (1.3.19)
U(x)=¥ при x£0 й x³ l .
Графік залежності потенціальної енергії частинки U(x) від х показаний на рис 1.5.
Частинка в такому ящику може вільно рухатись на ділянці 0<х<l. На кінцях цього інтервалу вона стикається з абсолютно твердими стінками. Непрозорість цих стінок визначається необмеженим ростом потенціальної енергії U(x) в точках х=0 і х=l.
Рис. 1.5
Прикладом руху електрона в потенціальному ящику може бути рух колективізованих електронів усередині металу. Як відомо, у класичній електронній теорії вважали, що поза металом потенціальна енергія електрона дорівнює нулю, а всередині металу ― вона від’ємна і чисельно дорівнює роботі виходу електрона з металу. Інакше кажучи, вважали, що рух електронів обмежений потенціальним бар’єром прямокутної форми з плоским дном. У нашому випадку потенціальний ящик значно простішої форми ніж реальний випадок електрона в металі.
Оскільки частинка не виходить за межі ділянки 0 < х < l, то імовірність знайти її за межами цієї ділянки дорівнює нулю. Це означає, що рівняння Шредінгера для стаціонарних станів можна доповнити граничними умовами 
і 
Запишемо рівняння Шредінгера для частинки в потенціальному ящику
(1.3.20)
де m ― маса частинки; 
― стала Дірака; Е ― повна енергія частинки; Y(х) ― хвильова функція.
Введемо позначення
(1.3.21)
де к ― хвильове число хвиль де Бройля для електрона, який перебуває всередині потенціального ящика.
Рівняння (1.3.20) набуде вигляду
. (1.3.22)
Знайдемо розв’язок рівняння (1.3.22), подібно до аналогічних диференціальних рівнянь гармонічних коливань, у тригонометричній формі
(1.3.23)
де А, В і С ─ сталі величини.
З граничних умов одержуємо:
а) Y(0)=0; 0=АcosB.0+CsinB.0,
звідки А=0; В¹0 і С¹0.
б) Y(l)=0; 0=CsinB.l,
звідки при С¹0, Вl=np, або 
де n = 1,2,3,...
Хвильова функція з урахуванням граничних умов набуде вигляду:
(1.3.24)
Константу С у формулі (1.3.24) знайдемо з умови нормування
, (1.3.25)
або
. (1.3.26)
Другий інтеграл у виразі (1.3.26) для будь-яких значень n дорівнює нулю, тому
, звідки 
Хвильова функція, яка описує квантовий рух частинки в потенціальному ящику, має вигляд:
(1.3.27)
При підстановці (1.3.27) у (1.3.22) одержуємо тотожність
,
звідки
(1.3.28)
Енергія Е електрона в потенціальному ящику не може бути довільною. Вона набуває лише дискретних власних значень Е(n). Імовірність виявити в межах потенціального ящика електрон з іншою енергією, ніж (1.3.28) дорівнює нулю.
Що ми одержали в результаті розв’язування рівняння Шредінгера? По-перше, набір псі-функцій, які залежать від квантового числа n. По-друге, значення енергії Е, при яких розв’язок рівняння Шредінгера має фізичний зміст. По-третє, розподіл імовірності виявлення частинки в різних точках осі x усередині ящика. Подібні ж результати виходять при розв’язуванні рівняння Шредінгера й в інших випадках, наприклад, для атома водню.
Енергетичний спектр і густина імовірності частинки в потенціальному ящику показана на рис. 1.6.
Рис. 1.6
Число n у формулі (1.3.28) визначає вид хвильової функції й енергію частинки в стані з цією хвильовою функцією і називається квантовим числом. Покажемо, що для частинки в потенціальному ящику можливі лише такі енергетичні рівні, на яких на ширині ящика вкладається лише
ціле число півхвиль де Бройля. При аналізі граничних умов було показано, що kl=np, де 
― хвильове число хвиль де Бройля. З урахуванням останнього маємо:
(1.3.29)
Співвідношення (1.3.29) показує, що в потенціальному ящику можливі лише такі стани частинки, при яких на ширині потенціального ящика l вкладається ціле число півхвиль де Бройля (рис. 1.7).
 |
Рис. 1.7
Незбуреному стану частинки (n=1) відповідає енергія
(1.3.30)
Значення цієї енергії Еl>0 свідчить про те, що частинка в потенціальному ящику ніколи не зупиняється і що невизначеність DРх імпульсу частинки не може бути меншою за величину
(1.3.31)
В потенціальному ящику шириною l положення частинки визнача-ється похибкою, яка сумірна з його шириною Dх»l, тому
Dх.DРх³p 
, (1.3.32)
що перебуває у повній відповідності із співвідношенням невизначеностей імпульс - координата.
Покажемо, як залежить ширина енергетичного інтервалу DЕ від розмірів потенціального ящика. У потенціальному ящику з розмірами l=10-9 м власні значення енергії електрона утворюють послідовність енергетичних рівнів, енергетична відстань між якими дорівнює
DE=En+1-En ,
або
Дж.
В електрон-вольтах ця енергія буде дорівнювати
Цей розрахунок показує, що коли ширина потенціального ящика сумірна з розмірами атома (10-10м), енергетичний інтервал між сусідніми енергетичними рівнями досить значний, а спектр є дискретним.
У випадку, коли потенціальний ящик має макроскопічні розміри l»10-2 м, енергетичний інтервал між сусідніми рівнями буде дорівнювати
Дж=0,34.10-14(2n+1) eB.
Для такого потенціального ящика квантуванням енергії можна знехтувати. Вона нічим не відрізняються від значень енергії, одержаних класичними методами.
Аналогічні результати можна одержати для великих квантових чисел n. У цьому випадку проявляється принцип відносності, встановлений Бором у 1923 р.
При великих квантових числах висновки й результати квантової механіки збігаються з відповідними класичними результатами.