Локальный и глобальный минимум
План лекции
1.Математическая формулировка задачи оптимизации
2. Унимодальный и мультимодальный критерий 3.Локальный и глобальный минимум
4.Выпуклое множество допустимых значений вектора варьируемых параметров
5. Выпуклый критерий оптимальности
6. Условия существования минимума в безусловных задачах оптимизации
6.1. Одномерная задача оптимизации
6.2. Многомерная задача безусловной оптимизации
7. Условия существования минимума в условных задачах оптимизации
7.1. Задача условной оптимизации с ограничениями типа равенств Функция Лагранжа
7.1.1. Теорема Лагранжа для задачи оптимизации с ограничениями типа равенств
7.2. Задача условной оптимизации с ограничениями типа неравенств
7.2.1. Понятия активных и неактивных ограничений
7.2.2. Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств
7.3. Задача условной оптимизации с ограничениями типа равенств и неравенств
7.3.1. Теорема Куна-Таккера для общей задачи условной оптимизации с ограничениями типа равенств и типа неравенств
8. Классификация задач оптимизации
9. Примеры решения задачи оптимизации
9.1. Задача оптимального проектирования емкости
9.2. Задачи на минимизацию функции, заданной в аналитической форме
Вопросы для самопроверки к лекции 2
Математическая формулировка задачи оптимизации
, (1)
при ограничениях:
(2)
(3)
где 
– критерий оптимальности (скаляр);
– вектор варьируемых параметров;
Отметим, что 
Задача поиска минимума или максимума критерия оптимальности(целевой функции) называется задачей оптимизации, другими словами задачей поиска экстремума.
Задача (1), (2), (3) – это задача условной оптимизации.
Если ограничения (2), (3) отсутствуют, то это задача безусловной оптимизации.
Унимодальный и мультимодальный критерий
Одномерный случай унимодальной функции (n=1).
Критерий оптимальности 
, где 
, называется унимодальным критерием оптимальности, если существует точка 
такая, что на полуинтервале 
функция убывает, а на полуинтервале 
– возрастает.
Двумерный случай унимодальной функции (n=2)
Критерий оптимальности 
, имеющий в области определения несколько локальных минимумов, называется мультимодальным критерием оптимальности или многоэкстремальным критерием оптимальности.
Одномерный случай мультимодальной функции (n=1)
Локальный и глобальный минимум
Локальный минимум 
в точке 
– некоторая малая окрестность точки 
Глобальный минимум в точке
Где 
– область допустимых значений 
.
Точка наименьшего из всех локальных минимумов называется точкой глобального минимума функции 
. Соответствующее значение функции называется глобальным минимумом этой функции
На рисунке для одномерного случая: 
- точки локального минимума функции , 
– соответствующие локальные минимумы этой функции, 
– точка глобального минимума, а 
– глобальный минимум этой функции.