Визначення надійності систем на основі характеристики надійності її елементів

При послідовному сполученні елементів у системі вихід з ладу будь-якого з елементів приводить до порушення системи вцілому. Тому надійність системи:

,

де - надійності окремих елементів.

При паралельному сполученні елементів у системі система вийде з ладу, коли всі її елементи вийдуть з ладу:

 

.

Групу, яка виводить систему з ладу називають групою відмови.

Мінімальною групою відмови називається група, якщо ніяка її підгрупа вже не є групою відмови (така група може складатись з одного елемента).

Надійністю системи є те, що ні одна з груп не вийде з ладу:

,

Де - події, які полягають у тому, що відповідні мінімальні відмови не вийдуть з ладу.

Використання методу Монте-Карло

При вивченні залежності випадкових процесів широко використовується метод статистичних випробувань, який називається методом Монте-Карло.

Метод Монте-Карло – це сукупність способів, які дають змогу розв’язання задачі звести до багаторазових випробувань. Суть методу полягає в тому, що замість обчислення різних імовірнісних характеристик виконується побудова моделі процесу, що вивчається, і ведеться статистичне спостереження (випробовування) за нею. Тобто, методами математичної статистики визначаються невідомі координати моделі (статистичні характеристики), які відповідають розв’язку задачі.

Основою практичного використання методу Монте-Карло є датчики випадкових величин і, в першу чергу, датчики рівномірно розподілених випадкових величин. Маючи датчики рівномірно розподілених випадкових величин, можна отримати випадкові величини будь-якого закону розподілу (випадкові величини отримують фізично або математично).

Датчики рівномірно розподілених випадкових величин базуються на використанні псевдовипадкових величин або фізичних випадкових процесів, що переводяться в двійкову систему.

§ 2.4. Методи отримання псевдовипадкових величин:

a. Метод Фон-Неймана.

Вводиться будь-яке число з n розрядами. Обчислюється число з 2n розрядами. Тоді вибирають число з середини числа (n - розрядне).

...

b. Метод Вайнгардена.

Задається ряд довільних чисел , k – довільні коефіцієнти.

Знаходять .

Знаходять дробову частину, яка і є числом і т.д.

Наступний метод отримання випадкових величин (рівномірно розподілених на інтервалі (0;1) ) – таблиці випадкових цифр. Нехай було проведено Т незалежних чисел, в результаті отримано Т випадкових цифр . Записавши цифри (у порядку появи) в таблицю, отримаємо таблицю випадкових чисел.

Генераторами випадкових чисел є різні пристрої, що виробляють випадкові величини. Частіше всього використовують “шумлячі” радіоелектронні прилади (діоди, тиристори і т.п.).

Існує класифікація задач, розв’язок яких базується на застосуванні методів статистичних випробувань:

1) розв’язок детермінованих задач (експериментальне визначення числа π, обчислення визначених інтегралів і т.д.);

2) формування вибіркових розподілів або моделей вибором. Мета такого формування – визначити розподіл або окремі параметри розподілу випадкових величин;

3) імітаційне моделювання. Основний об’єкт моделювання є одна випадкова реалізація модельованого явища (наприклад, вихід з ладу одного елемента СЕП).


 

Розділ 3. Формалізовані методи аналізу електричних кіл

Аналіз електромагнітних процесів електроенергетичної системи здійснюється методами аналізу кіл, оскільки при вивченні таких процесів елементи ЕЕС являються їх електричними й магнітними колами.

Застосування формалізованих методів аналізу забезпечують автоматичне формування та розв’язування рівнянь стану ЕЕС.

Топологічні методи аналізу – методи, в яких зображення структури (геометричної схеми) електричного кола здійснюється за допомогою графа, а знаходження невідомих струмів зводиться до формального перетворення такого графа методами топології.

 

§ 3.1. Структурні елементи електричного кола

 

Граф – геометрична схема, в якій сукупність точок (вершин) з’єднана лініями (дугами).

Дуга – спрямований відрізок, який виходить з однієї вершини і входить в іншу.

Вершина – точка з’єднання не менше як трьох дуг.

Елементарна вершина – точка з’єднання двох двополюсників.

Сполучення віток (структуру) електричного кола зображають з допомогою графа, в якому дуги відповідають віткам електричного кола, а вершини – вузлам.

Дугам графа задають напрямок, який відповідає умовно додатному напрямку проходження струмів у вітках. Такий граф називається направленим.

Підграф – будь-яка частина графа.

Шлях – послідовність дуг, коли початок однієї дуги збігається з кінцем попередньої.

Елементарний шлях – якщо кожна з вершин зустрічається лише один раз.

Контур – скінчений шлях, в якому початкова вершина збігається з кінцевою. Якщо всі вершини, крім кінцевої і початкової, різні, контур називається елементарним.

Ребро – пара вершин, граничних хоча б для однієї з дуг графа.

Ланцюг – послідовність дуг, в якій у кожного ребра одна з вершин є граничною для ребра , а інша – для ребра .

Цикл – ланцюг, що починається і закінчується в одній точці.

Дерево – скінчений зв’язний граф без циклів, що містить хоча б дві вершини (або одне ребро). В ребра дерева слід включати вітки, які містять джерела ЕРС.

Вітки, які містять опір, можуть бути як ребрами, так і хордами.

Умовно додатній напрям проходження струму у вітці, яка містить ЕРС, вибирають за напрямом джерела.

 
 

 


§ 3.2. Аналітичний запис структури електричного кола

 

Структуру електричного кола записують з допомогою матриць інциденцій (перша і друга матриці).

Перша матриця інциденцій (П) містить в собі інформацію про зв’язок дуг і вершин (матриця сполучень).

Рядки матриці підпорядковують вершинам, а стовпці – дугам. Якщо ℓ дуга виходить з s вершини, то на перетині ℓ стовпця і s рядка ставлять +1, якщо входить – ставлять -1. Якщо ℓ дуга не зв’язана з s вершиною, то записують 0.

 

П =

 

Сума по всіх стовпцях дорівнює нулю. Така матриця називається виродженою. Щоб уникнути цього, матрицю Пскладають скороченою (будь-яку одну з вершин приймають за базу, а матрицю складають тільки по незалежних вершинах). У нас Д – база.

Крім того, матрицю Пскладають впорядкованою (спочатку записують дуги, які є ребрами, а потім дуги, які є хордами). При цьому отримують дві субматриці:

П -перша субматриця інциденцій ребер дерева ;

П -перша субматриця інциденцій хорд.

Таким чином матриця П є:

П = p·(q-v)

вимірна матриця, де

p –кількість дуг ;

q – кількість вершин ;

v –кількість елементів зв’язності.

Друга матриця інциденцій (Г) – цикломатична матриця, яка містить інформацію про зв’язок дуг в контурах або циклах.

Рядки матриці підпорядковані незалежним циклам (контурам), а стовпці – дугам.

Матриця Гє p·( p-(q-v) ) – вимірна матриця. Аналогічно як і перша матриця – матриця Г складається впорядкованою.

На перетині ℓ стовпця і s рядка ставлять +1, якщо умовно додатній напрям струму ℓ дуги співпадає з умовно додатнім напрямом обходу s – циклу. Якщо не співпадає – ставлять -1. Якщо дуга не входить в цикл – записують 0.

 

Г =

Г -друга субматриця інциденцій ребер дерева ;

Г -друга субматриця інциденцій хорд.

Характерною особливістю впорядкованої матриці інциденцій головних циклів є те, що її субматриця Г є діагональною одиничною матрицею.

Матриця перетинів

Перетин – будь-яка мінімальна множина ребер, при усунені яких кожний компонент зв’язності розпадається на два нові компоненти.

Перетин зображають замкненим окресленням, що одноразово перетинає одну множину ребер. Частину графа, замкнену всередині цієї лінії, називають узагальненою вершиною.

Головним називають перетин, одне з ребер якого є ребром дерева графа, а інші – хордами.

Рядки матриці головних перетинів підпорядковані q-vребрам дерева графа, стовпці - всім ребрам р.

На перетині ℓ-го рядка і s-го стовпця ставиться +1 ; якщо s-те ребро виходить з ℓ-го перетину ; -1, якщо ребро входить ; 0 – коли ребро не зв’язане з перетином.

Кожен рядок матриці показує, які ребра графа зв’язані з даним перетином.

М – діагональна одинична матриця, підпорядкована ребрам дерева (матриця перетинів дерева).

М – підпорядкована хордам (матриця перетинів хорд).

М = - Г або М = .

Для аналітичного запису шляхів від незалежних вершин до базової по ребрах дерева (є тільки один такий шлях для кожної вершини) застосовують матрицю коефіцієнтів розподілу дерева - С .

Стовпці матриці підпорядковані незалежним вершинам, рядки – ребрам дерева. Це є (q-v)·(q-v) вимірна матриця.

На перетині ℓ стовпця і s рядка ставлять +1, якщо умовно додатній напрям s ребра співпадає з напрямом руху до базової вершини, -1 – якщо не співпадає, 0 – якщо ребро не входить в шлях.

С =

П · С =1 ; П = С

Матриці параметрів електричного кола

Матриця імпедансів (матриця повних опорів) Z є квадратна (р р) вимірна матриця, рядки і стовпці якої підпорядковані дугам. По діагоналі матриці знаходяться власні опори віток.

Якщо вітки ℓ та s мають взаємно-індуктивний зв’язок, то на перетині ℓ рядка та s стовпця знаходять взаємний опір (імпеданс).

 

 

Матриця реактивних опорів – реактанс, активних опорів – резистанс.

Матриця адмітансів (повних провідностей) є квадратна ( (р р) вимірна ). На діагоналі знаходяться власні адмітанси, а на перетині ℓ рядка та s стовпця (якщо є зв’язок) – взаємний адмітанс.

Матриця кондуктанс – матриця активних провідностей.

Матриця сусдектанс – матриця реактивних провідностей.

 

Приклад:

Вектор – стовпець джерел струмів - містить інформацію про наявність джерел струмів в вершинах. Складається по q-v незалежних вершинах. Якщо джерело направлене від вершини, то його записують із “+”, якщо до вершини – з “-“. Якщо джерело відсутнє – то записують 0.

.

Вектор-стовпець струмів у вітках містить інформацію про струми, які проходять у вітках електричного кола. Складається впорядкованим, порядок запису віток або дуг такий же, як і в матриці Р:

.

Вектор-стовпець джерел ЕРС містить інформацію про наявність джерел ЕРС у вітках електричного кола. Складається впорядкованим. Якщо джерело ЕРС співпадає за напрямом з умовно додатнім напрямом проходження струму у вітках, то його записують із “+”, якщо не співпадає – з “-“. Якщо джерело відсутнє у вітці – то записують 0.

.

 

Вектор-стовпець напруг віток містить інформацію про наявність напруги віток електричного кола. Складається впорядкованим.

 

.

 

Вектор-стовпець потужностей:

.

§ 3.3. Основні закони електричного кола

Основні закони виражають зв’язки між струмами та напругами віток (закон Ома), між струмами в вузлах (перший закон Кірхгофа) або між напругами в контурах (другий закон Кірхгофа).

Закон Ома в загальному випадку:

 

Закон Ома в матричній формі:

(1) або . (2)

Пряме застосування закону Ома у формі (1), (2) до електричного кола, зображення елементарним графом, некоректне, бо адмітанс вітки ЕРС та імпеданс вітки джерела струму нескінченні.

Оскільки у рядках матриці сполучень записані бінарні цифри, що визначають інцидентність ребер у даній вершині, то множення цієї матриці на вектор-стовпець, координати якого є певні величини у вітках кола, дає алгебраїчне додавання цих величин у незалежних вузлах.

Таким чином, множення матриці сполучень на вектор-стовпець струмів віток дає алгебраїчне додавання струмів у вузлах кола, тобто відповідає першому закону Кірхгофа:

П =1, або П = – .

Для елементарного графа:

П .

Матриця головних перетинів є матрицею сполучення для узагальнених вузлів, які відповідають таким перетинам.

Отже, перший закон Кірхгофа: , де компоненти упорядковані відповідно рядкам М

.

Добуток матриці контурів Г на вектор-стовпець напруг віток дає алгебраїчне додавання наруг по контурах, тобто відповідає другому закону Кірхгофа:

 

— блочне рівняння в координатах струмів.

або .

і — векторні рівняння у координатах струмів віток.

Векторні вузлові і контурні рівняння у координатах напруг віток:

; .

Блочне рівняння — .

Метод незалежних струмів

Метод контурних струмів

 

(1) можливе лише тоді, коли є матрицею сполучення дерева графа. Тобто, можна виразити через тоді,коли компоненти є струмами хорд графа. Тоді компоненти – струми ребер дерева графа.

Ребра дерева інцидентні з кожною вершиною графа, тоді складові (струми в хордах) не заповнюють жодної вершини. Такий вектор-стовпець називається вектором-стовпцем незалежних струмів (незалежні струми в хордах).

Струми дерева визначаються за (1).

 

Б

Б – матриця перетворення незалежних струмів (у векторі-стовпці струмів, викликаних дією ЕРС). Нижня її субматриця є діагональною одиничною порядку n р-(q-v). Б дорівнює транспонованій матриці головних контурів графа.

 

– матриця коефіцієнтів розподілу розімкненої схеми.

.

 

Нижня субматриця є нульовою n (q-v) – мірною матрицею → останні n складові в (2) дорівнюють нулю.

Отже, замість загального вектора-стовпця струмів у розімкнутій схемі кола можна розглядати вектор-стовпець струмів дерева.

,

де – матриця коефіцієнтів розподілу дерева графа.

Рівняння методу незалежних струмів:

Б ,

де Б – n n – мірна матриця імпедансів ;

– n (q-v) – мірна матриця перетворення джерел струмів.

Помноживши на цю матрицю вектор-стовпець джерел струмів, ми перетворимо джерела струмів на еквівалентні ЕРС контурів:

.

– n – мірний вектор-стовпець контурних ЕРС, зумовлених джерелами ЕРС віток ;

– n – мірний вектор-стовпець контурних ЕРС, зумовлених джерелами струмів.

можна знайти , за яким обчислюють .

Недолік – матриця імпедансів несиметрична і знайти її безпосередньо з схеми не можна, а лише за формулою.

Коли Б , то симетрична. Тоді:

= .

Перепишемо:

.

Координати замикаються по контурах, які відповідають матриці Г, тобто вони є координатами вектора-стовпця контурних струмів . Отже, за умови Б рівняння (3) вироджується у рівняння методу контурних струмів, який ефективний при неавтоматизованих розрахунках.

 

 

Метод незалежних напруг. Метод вузлових напруг

 

 

(1) можливе, коли є квадратна неособлива матриця. Ця умова забезпечується, оскільки є друга субматриця інциденцій хорд, тобто компоненти вектора-стовпця відповідають хордам графа.

Аналогічно компоненти відповідають ребрам дерева. Це означає, що компоненти не утворюють жодного замкненого контуру,тобто - вектор-стовпець незалежних напруг:

 

Б , (3)

 

де Б - матриця перетворення незалежних напруг. При множенні зліва вектор-стовпця незалежних напруг на він перетворюється у вектор-стовпець напруг віток.

Підставимо в рівняння :

 

Б – рівняння матриці незалежних напруг.

 

Б – (q-v) (q-v) – мірна матриця адмітансів ;

– (q-v) (q-v) – мірна матриця перетворення ЕРС. Множенням її на вектор-стовпець ЕРС, останній перетворюється на (q-v) – мірний вектор-стовпець джерел струму . Приймемо: = .

Отже,

. (2')

 

Знайдений з (2) вектор-стовпець незалежних напруг дозволяє знайти всі інші напруги на основі (1).

- несиметрична і не записується із схеми, а обчислюється.

Коли Б = , то – симетрична.

Аналізуючи тепер (3), видно, що координати вектора-стовпця незалежних напруг дорівнюють сумі напруг ребер дерева, починаючи від базової вершини до розглядуваної (в межах кожного компоненту зв’язності ). Тоді:

= – ,

де – (q-v) - мірний вектор-стовпець вузлових напруг, тобто:

Б = – .

Отже, рівняння методу вузлових напруг:

 

,

 

де – (q-v) (q-v) – мірна матриця вузлових адмітансів.

 

Матриці вхідних і взаємних адмітансів, коефіцієнтів розподілу і матриці вузлових імпедансів

 

Розглядаючи струми віток електричного кола як результат дії ЕРС і джерел струмів, варто знати пряму взаємозалежність між багатомірним вектором струмів віток та багатомірним вектором ЕРС віток і джерел струмів:

 

 

де

де – квадратна матриця р-го порядку вхідних і взаємних адмітансів.

Елемент на перетині ℓ рядка і s стовпця дає взаємний адмітанс віток ℓ і s. Елементи діагоналі матриці , ℓ = s називаються вхідними адмітансами.

Матриця – діагонально-симетрична.

Числово взаємний адмітанс дорівнює струмові в ℓ -ій вітці при дії в s-ій вітці одиночної ЕРС і відсутності джерел в усіх інших вітках і вузлах.

Вхідний адмітанс дорівнює струмові вітки при дії в ній одиночної ЕРС і за відсутності джерел енергії в інших вітках і вузлах.

Матриця: – прямокутна матриця коефіцієнтів розподілу. Рядки її підпорядковані віткам кола, стовпці – вузлам.

Елемент дорівнює струмові у вітці ℓ при дії між вузлом s і базовим вузлом одиничного джерела струму.

та не можна одержати із схеми.

Коли під час розрахунку режиму в першу чергу виникає потреба визначення напруг віток кола, то доцільно користуватися матрицею умовних вузлових імпедансів.

– матриця умовних вузлових імпедансів.

Множенням на вектор-стовпець еквівалентних вузлових струмів дістаємо вектор-стовпець напруг віток . Стовпці цієї матриці підпорядковані незалежним вузлам кола, рядки – віткам кола. Добуток імпедансу цієї матриці на (еквівалентний струм джерел струмів у вузлі s як сума струмів джерел струмів вузла s і струмів короткозамкнених віток, що сходяться у цьому вузлі) дорівнює складовій напруги вітки ℓ, зумовленій цим еквівалентним струмом.

Під час розрахунків електроенергетичних мереж часто користуються поняттям матриці вузлових імпедансів, яка дорівнює оберненій матриці вузлових адмітансів:

 

3.4 Контрольні запитання

1. Що називають графом?

2. Чим відрізняється орієнтований граф від неорієнтованого?

3. Який зміст укладається в сигнальні графи для випадку електричної системи?

4. Що називають деревом графа?

5. Як називають ребра графа, що увійшли до складу дерева, і ті, що не ввійшли?

6. Яки контури називають головними? Як вони утворюються?

7. Що називають розрізом?

8. За якими правилами утворюється дерево електричної системи?

9. Як складають матрицю інциденцій?

10. Які матричні рівняння можна скласти за допомогою матриці інциденцій електричної системи?

11. Як детермінант визначають через дерева графа?

12. Як обчислити загальну кількість дерев графа?

13. Як складають матрицю перетинів?

14. Які матричні рівняння можна скласти за допомогою матриці перетинів електричної системи?

15. Як складається цикломатична матриця?

16. Які матричні рівняння можна скласти за допомогою цикломатичної матриці електричної системи?

17. Який існує зв'язок між цикломатичною матрицею і матрицею перетинів?

18. Які співвідношення характеризують окремі елементи електричної системи?

19. Як обчислити кількість невідомих змінних в повній системі рівнянь математичної моделі електричної системи?

20. Доведіть, що система топологічних та компонентних рівнянь електричної системи є достатньою для повного опису цієї системи.

21. У чому полягає сенс перетворення повної системи рівнянь електричної системи в рівняння за методами вузлових напруг і контурних струмів?

22. Як можна отримати систему рівнянь за методом вузлових напруг, застосовуючи матричні співвідношення?

23. Як можна перетворити джерела напруги в джерела струму для електричної системи?

24. Як можна обчислити напруги та струми на елементах електричної системи після розв'язування системи вузлових рівнянь?

25. У чому полягає суть методу визначальних координат?

26. Як обчислюють передачу сигнального графа за формулою Мейсона?

27. Поясніть еквівалентні перетворення сигнальних графів.

28. Як можна отримати перетворення рівнянь з комплексної площини в дійсну?

29. Поясніть методику перетворення рівнянь з комплексної площини в дійсну на прикладі електричної системи.


Розділ 4. Стійкість режимів електроенергетичних систем

 

Однією з основних задач аналізу електроенергетичних систем є оцінка стійкості їхніх режимів під час різноманітних збурень.

Здатність системи при неглибоких збуреннях режиму повертатися до вихідного (чи близького до нього) стану називають статичною стійкістю режиму системи.

Збурення режиму енергетичних систем бувають датовими і глибокими (наприклад, к.з.). Під час таких збуджень можуть наступати значні відхилення координат режиму систем від їхніх вихідних значень.

Здатність системи після раптових короткотривалих глибоких збурень режиму повертатись до стану, близького до вихідного, називається динамічною стійкістю режиму системи.

Якщо стійка динамічно, то стійка статично.

З математичного погляду дослідження стійкості режиму енергетичної системи зводиться до оцінки стійкості розв’язань диференційних рівнянь її стану при відповідних збуреннях, що можна здійснити шляхом інтегрування таких рівнянь за умови, що при цьому забезпечується чисельна стійкість інтегрування.

Рівняння повинні описувати електромеханічний стан як основних – первинних елементів (агрегати, ЛЕП), так і допоміжних – вторинних елементів (автоматика, захист).

Статична стійкість режиму енергетичної системи розглядається як стійкість стану рівноваги системи.

Кожний усталений режим системи статично стійкий.

§4.1 Алгебраїчні критерії стійкості

 

Такі критерії стійкості справедливі для випадку алгебраїчних характеристичних рівнянь:

і є групою нерівностей, складених з коефіцієнтів цих рівнянь, при задовольнянні яких рівняння відповідають стійкій системі у першому наближенні.

Необхідною умовою асимптотичної стійкості рівноваги системи є наявність усіх додатних дійсних коефіцієнтів рівняння (1).

Необхідної умови не досить для збереження стійкості; потрібно, щоб задовольнялися і достатні умови.

Ці вимоги формулює критерій Гурвіца або Рауса.

Критерій Гурвіца

З коефіцієнтів рівняння (1) формулюємо квадратну n-го порядку матрицю Гурвіца:

 

,

 

в якій усі коефіцієнти з індексом більшим від nзамінені нулем.

Критерій Гурвіца складається з n нерівностей, одержаних з матриці за правилом головних мінорів:

 

 

При обов’язковій умові (2) відповідають стійкості системи.

Необхідною умовою стійкості стану рівноваги є наявність всіх додатних коефіцієнтів характеристичного рівняння.

Це положення загальне незалежно від системи рівнянь.

При додатних коефіцієнтах характеристичного рівняння (1) у випадку нестійкості рівноваги це рівняння мусить містити комплексно-спряжені корені.

При додатних коефіцієнтах алгебраїчного характеристичного рівняння порушення стійкості рівноваги системи може мати тільки коливний характер з наростаючими амплітудами, тобто у формі само розхитування, аперіодичного порушення стійкості при додатних коефіцієнтах характеристичного рівняння це може бути.

Критерій Рауса

Ефективний при високих порядках характеристичних рівнянь. В основу визначення цього критерія покладено таблицю Рауса, складену з коефіцієнтів характеристичного рівняння (1).

У два перші із загальної кількості (n+1) рядків таблиці Рауса заносять відповідно парні і непарні коефіцієнти. Елементи наступних рядків записують за формулами:

,

де k – номер рядка, ℓ - стовпця.

В елементах нульового стовпця записують коефіцієнт:

при k ≥ 3.

Необхідні та достатні умови стійкості стану рівноваги за Раусом записують:

Якщо ставиться задача тільки оцінки стійкості рівноваги системи, то таблиця Рауса складається лише до досягнення першого від’ємного коефіцієнта .

Коли необхідно визначити число коренів з додатною частиною, то проводиться повний розрахунок, і число змін знака у першому стовпці дорівнює кількості коренів.

§4.2 Частотні критерії стійкості

Ці критерії ґрунтуються на побудові частотних характеристик характеристичних рівнянь.

Частотною характеристикою функції f(р) називається залежність, виражена цією функцією, коли замість у загальному випадку комплексного параметра р підставити уявний параметр jω, який може змінюватись в межах 0... +∞. Для рівняння (1) частотна характеристика:

Годограф f(jω), побудований у комплексній площині називається амплітудно-фазовою характеристикою функції; залежність А(ω) – амплітудною чи амплітудно-частотною характеристикою функції; залежність φ(ω) – фазовою чи фазочастотною характеристикою функції.

В(ω) і С(ω) – дійсна і уявна частотні характеристики.

Один з найчастіше використовуваних критеріїв – критерій Михайлова:

,

де θ – повна зміна аргументу частотної характеристики при зміні ω від 0 до ∞.

У загальному випадку з n коренів може бути h з від’ємними дійсними частинами й ℓ – з додатними. Тоді:

,

де m = ℓ–ℓ ; m = k+ℓ – дають змогу обчислити кількість “ стійких “ і “ нестійких “ коренів.

На практиці критерій Михайлова застосовують на основі графічної побудови чи табличного обчислення годографа, з якого визначають θ.

До частотних критеріїв належить також критерій Найквіста, який дає змогу оцінити стійкість без обчислення коефіцієнтів характеристичного рівняння системи – на основі частотної характеристики комплексної характеристики комплексного коефіцієнта передачі системи.

4.3 Контрольні запитання

 

1. Які існують види збурень електричних систем?

2. Що називають статичною і динамічною стійкістю системи?

3. У чому полягає суть першого методу Ляпунова?

4. Сформулюйте теореми першого методу Ляпунова.

5. Роз'ясніть суть другого методу Ляпунова.

6. Сформулюйте необхідну і достатню умову асимптотичної стійкості рівноваги.

7. Запишіть рівняння типових ланок структурних схем (пропорційної, аперіодичної, диференційної, інтегральної, запізнення, коливної, суматора).

8. Як виражають передавальну функцію розімкненої системи?

9. Які формули застосовують для перетворень структурних схем? Наведіть приклад.

10. Як можна знаходити передавальну функцію структурної схеми за допомогою формули Мейсона? Наведіть приклад.

11. Поясніть суть критеріїв Гурвіца і Рауса.

12. Що називається частотною характеристикою функції?

13. У чому полягає спосіб D-розбиття?

14. Як формулюється задача аналізу динамічної стійкості режиму електроенергетичних систем в загальному вигляді?