Декартова прямоугольная система координат
Основные понятия
|
|
|
Геометрическим вектором называется направленный отрезок с начальной точкой A и конечной В.
Длиной вектора называется неотрицательное число, равное длине отрезка AB, соединяющего точки A и B. Обозначается .
Если точки A и B совпадают, то вектор называется нулевым.
Вектора, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Два вектора называются равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
Линейные операции над векторами
1. Сложение векторов
·
|
· по правилу параллелограмма
|
|
2.
|
|
|
|
3. Умножение вектора на число
Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину и направление, совпадающее с , если и противоположное, если .
Проекция вектора на ось
|
Если продолжить вектор до пересечения с осью u, то – угол наклона вектора к оси u.
. (3.1)
Основные свойства проекций:
· при сложении двух и более векторов их проекции на произвольную ось складываются, т.е. ;
· при умножении вектора на число его проекция умножается на это число, т.е. .
Декартова прямоугольная система координат
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox (абсцисс), Oy (ординат) и Oz (аппликат) единичные вектора (орты) .
Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат. Тогда разложение вектора по ортам координатных осей имеет вид:
, (3.2)
где x, y, z – координаты вектора , проекции вектора на соответствующие координатные оси.
Если даны две точки и , являющиеся соответственно началом и концом вектора , то его координаты определяются по формулам:
. (3.3)
Модуль (длина) вектора может быть вычислен по формуле:
. (3.4)
Если — углы, которые составляет вектор с координатными осями, то называются направляющими косинусами вектора.
Координаты вектора могут быть вычислены по формулам
, , . (3.5)
Для любого вектора справедлива формула:
. (3.6)
Действия над векторами, заданными своими координатами.
Пусть два вектора и заданы своими координатами, тогда
· при сложении (вычитании) этих векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются) ;
· при умножении вектора на число координаты ветора умножаются на это число ;
· два вектора равны тогда и только тогда. Когда равны их одноименные координаты, т.е. ;
· если вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны, и наоборот, т.е. и – коллинеарные , где k – коэффициент пропорциональности, .